Математическая модель следящих систем с учетом нелинейностей переменных состояния

Введение

Во время проектирования следящих систем необходимо убедиться в правильности рабо­ты разрабатываемой системы. Моделирова­ние - эффективный инструмент для оценки параметров следящей системы, выбора тех­нических решений и предъявления требова­ний к составным частям следящих систем. Для объекта управления [1] без ограничений синтезировать регулятор в классе линейных систем не представляет сложности. В одном из наиболее применяемых методов синтеза используется желаемая передаточная функ­ция, которая, как системная функция, описы­вает поведение системы в целом. Однако на­личие конструктивных ограничений объекта управления [2, 3] переводит систему в класс нелинейных [2].

Обычно для моделирования работы сле­дящей системы с учетом нелинейностей ис­пользуют следующий подход: в классе линей­ных систем по заданному объекту управления и рассчитанной желаемой передаточной функ­ции синтезируется устройство управления, за­тем в модели объекта управления устанавлива­ются нелинейности и оцениваются показатели качества следящих систем с учетом имеющих­ся конструктивных ограничений [4]. Однако на ранних стадиях проектирования структура и большинство параметров объекта управления часто неизвестны, поэтому использовать опи­санный подход затруднительно.

В настоящей статье представлен под­ход к созданию модели, позволяющей учесть конструктивные ограничения на переменные состояния (скорость и ускорение) и нелиней­ность по моменту нагрузки. Для применения предложенного подхода не требуются кон­кретные знания об объекте управления, в нем используются коэффициенты желаемой пере­даточной функции линейной системы. Такой подход удобен на ранних стадиях проектиро­вания.

Математическая модель следящей системы

За основу линейной модели следящей систе­мы, как было указано ранее, взята желаемая передаточная функция замкнутой следящей системы, имеющая вид

где Δ_i - коэффициенты стандартной переда­точной функции, получаемые в соответствии с таблицей коэффициентов стандартной пере­даточной функции;

k, l - порядок полинома числителя и зна­менателя желаемой передаточной функции замкнутой системы соответственно;

ω₀ = tmp/tp - временной масштабный коэф­фициент, учитывающий время регулирования; tmp - табличный параметр; tp - время регулирования.

Передаточная функция (1) описывает ра­боту замкнутой следящей системы (рис. 1, а). Желаемую передаточную функцию можно рас­считывать разными методами при различных критериях к качеству функционирования сле­дящих систем. Так, например, можно задаться показателями качества (временем регулирова­ния и перерегулированием) и требованиями по отработке с нулевыми ошибками полино­миальных воздействий различной степени для астатических систем.

На практике часто возникает необходи­мость моделирования систем, структуры ко­торых соответствуют разомкнутым следящим системам, подобно приведенной на рис. 1, б.

Передаточная функция такой следящей системы имеет вид

где η, δ - коэффициенты числителя и знаме­нателя передаточной функции разомкнутой системы соответственно, значения которых определяются коэффициентами желаемой пе­редаточной функции (1);

m, n - порядок полинома числителя и зна­менателя передаточной функции разомкнутой системы соответственно.

Для получения возможности наклады­вать ограничения и учитывать нелинейности переменных состояния и момента нагрузки необходимо найти представление системы в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши [5]. От передаточ­ной функции разомкнутой системы (2) перей­дем к дифференциальному уравнению

Дифференциальному уравнению (3) со­ответствует система дифференциальных урав­нений в нормальной форме Коши

или матричном виде

i = 1,..., n вычисляются с помощью рекур­рентной формулы

в которой

а F_k рассчитываются следующим образом:

При таком выборе переменных состоя­ния матрицы системы имеют вид

На рис. 2 представлена структурная схе­ма, построенная по системе дифференциаль­ных уравнений в нормальной форме Коши (4).

Теперь рассмотрим математическое опи­сание типовых нелинейностей, которые пред­полагается использовать при моделировании конструктивных ограничений (переменных состояния и нелинейности момента нагрузки привода).

Модель нелинейности типа «насыще­ние» по отношению к переменной состояния y^(k) имеет вид

Приведем модель ограничения на мини­мальное значение переменной состояния у^(k)

и модель нелинейности по моменту

где М_н0 - номинальное (среднее) значение мо­мента нагрузки;

k - коэффициент зависимости момента на­грузки от выходной переменной (например, от угла поворота вала привода).

Также рассмотрим модель сухого трения на валу привода. Момент статического сопро­тивления механизма представляется как нели­нейная функция четырех переменных [6, 7]:

где M_тр - момент сухого трения скольжения (постоянная положительная величина);

М_д - момент двигателя.

Функция (6) представляется в виде

Такое представление момента позволяет учитывать нелинейные свойства сил трения и неупругой деформации как при движении, так и в покое, включая условия трогания и оста­новки механизмов.

Программная модель следящей системы

В среде MATLAB/Simulink на основе описан­ного выше алгоритма была спроектирована и реализована модель следящей системы, учи­тывающая ограничения скорости и ускорения системы, а также нелинейности момента на­грузки привода. В качестве параметров мо­гут быть заданы коэффициенты дифференци­ального уравнения, параметры ограничений, конструктивная постоянная электропривода и момент инерции. Модель Simulink приведена на рис. 3.

В качестве примера рассмотрим астати­ческую следящую систему порядка l = 3, об­ладающую порядком астатизма по входному воздействию v_g = 2, которая в соответствии с формулой (1) и численными значениями коэф­фициентов [8] Δ₀ = 1, Δ₁ = 6,35, Δ₂ = 5,1, Δ₃ = 1 и ω ₀ = 1 описывается желаемой передаточной функцией

Ставятся задачи оценки показателей ка­чества астатической следящей системы с уче­том нелинейностей и ухудшения этих показа­телей по сравнению с линейной.

Рассмотрены конструктивные ограниче­ния и параметры системы:

• ограничение на максимальное зна­чение ускорения и скорости  = 2 рад/с²;  = 0,6 рад/с;
• ограничение на минимальное значение скорости 
• нелинейность по моменту вида (5), где М_н0 = 0,1 Н м, k = 0,2;
• нелинейность по моменту с учетом сухого трения в соответствии с нелинейной функцией (6);
• конструктивная постоянная электро­привода C_m = 1,82 Н · м/А и момент инерции соответственно J = 0,022 Н · м².

С учетом (2) и (7) перейдем к передаточ­ной функции разомкнутой системы

Передаточной функции (8) соответствует диф­ференциальное уравнение

Тогда, согласно описанному выше алгоритму, матрицы системы дифференциальных уравне­ний в нормальной форме Коши, соответству­ющей дифференциальному уравнению (9), имеют вид

а систему запишем следующим образом:

По системе (10) в среде MATLAB/Simulink была построена модель (см. рис. 3), где, со­гласно (10), A(3,1) = 0, A(3,2) = 0, A(3,1) = -5,1, B(1) = 0, B(2) = 6,35, B(3) = -31,385.

В схеме использованы следующие блоки:

• субсистема входного воздействия Sub­system (рис. 4, а);
• субсистема нелинейностей скорости Subsystem2 (рис. 4, б);
• субсистема нелинейностей момента Subsystem1 (рис. 4, в);
• интеграторы Integrator 1, Integrator2, Integrator3;
• усилительные звеньяGain 1, Gain2, Gain 3, Gain4, Gain 5, Gain 6, Gain 7, Gain 8, Gain9;
• элемент типа «насыщение»

Анализ результатов

С помощью реализованной модели было про­ведено несколько экспериментов с разным на­бором нелинейностей.

1. Нелинейность вида «насыщение» по ускорению и скорости, т. е. ограничение на максимальную величину переменной состоя­ния (рис. 5). На графиках ускорения и скоро­сти можно видеть прямые участки, которые у линейной системы отсутствуют, - это участки, на которых сработали ограничения. Нелиней­ности вида «насыщение» по скорости и уско­рению привели к затягиванию переходного процесса и увеличению перерегулирования относительно линейной системы.
2. Нелинейность вида «мертвая зона», т. е. ограничение на минимальное значение скорости (рис. 6). Нелинейность этого вида приводит к возникновению в системе автоко­лебаний по ускорению и скорости при работе системы на малых скоростях, в результате воз­никает выходной сигнал «ступенчатого» вида. Относительно линейной системы переходный процесс в нелинейной системе также будет за­тягиваться.
3. Нелинейность по моменту нагрузки вида M_c = F(у). Поведение системы отобра­жено на рис. 7, а. Зависимость момента нагруз­ки от угла показана на рис. 7, б. В линейной системе момент нагрузки оставался постоян­ным. Как видно, увеличение момента нагрузки с увеличением координаты приводит к затягиванию переходного процесса относительно линейной системы с постоянным моментом нагрузки.
4. Нелинейность по моменту с учетом сил трения. Поведение системы отображено на рис. Переходный процесс значительно увеличился по сравнению с линейной систе­мой. Кроме того, при работе системы на ма­лых скоростях возникают автоколебания как по ускорению и скорости, так и по координате.

Выводы

Разработана математическая модель дина­мической следящей системы, учитывающей нелинейности переменных состояния. В от­личие от других известных следящих систем она основана на линейной модели замкнутой следящей системы в виде системной функции, а именно, желаемой передаточной функции.

Желаемая передаточная функция может быть построена по различным критериям, на­пример, для астатических систем с заданным временем регулирования и перерегулировани­ем. Модель можно применять для моделиро­вания работы следящих систем с различными нелинейностями переменных состояния, си­стемотехнических расчетов на ранних стадиях проектирования, предъявления требований к составным частям следящих систем (напри­мер, к параметрам исполнительного механиз­ма, минимальной скорости системы, неравно­мерности механической части и т. п.).

В среде MATLAB/Simulink реализована программная параметрическая модель с воз­можностью исследовать поведение как линей­ных, так и имеющих следующие нелинейности переменных состояния:

• «насыщение» по ускорению и скоро­сти (т. е. ограничение на максимальную вели­чину);
• «мертвая зона» по скорости (т. е. огра­ничение на минимальную величину);
• нелинейность по моменту нагрузки вида M_h = F(у) (зависимость момента на­грузки от угла поворота вала привода);
• нелинейность по моменту с учетом сил трения.

Проведено математическое моделирова­ние, иллюстрирующее применение описанно­го подхода для практической задачи - оценки качества работы следящей системы.