Разработка методики синтеза нейро-нечеткого регулятора с настройкой генетическим алгоритмом

Введение

Необходимость решения актуальных задач автоматического управления динамически­ми объектами, в частности беспилотными летательными аппаратами, при действии различного рода случайных возмущений в на­стоящее время все чаще требует применения интеллектуальных методов математического моделирования, таких как нечеткая логика, ге­нетические алгоритмы (ГА), нейронные сети. Объединение нейронных сетей, ГА и нечет­ких алгоритмов позволяет решать задачи раз­личной сложности и неопределенности (по исходным данным), но самое важное - они становятся универсальным инструментом для обработки неточной, неполной или нечеткой информации [1].

Применение интеллектуальных методов при построении систем управления позволя­ет существенно снизить влияние неопреде­ленности на качество систем управления, а также компенсировать недостаток априор­ной информации на этапе проектирования систем [2].

В настоящей статье представлена ме­тодика разработки нейро-нечеткого регуля­тора (ННР) с настройкой его параметров ГА. ННР и работоспособность ГА для его настрой­ки протестированы в рамках решения класси­ческой модельной задачи стабилизации дина­мического объекта - вертикальный маятник на подвижной тележке.

Постановка задачи

Рассматривается замкнутая система управле­ния динамическим объектом (рис. 1) - система стабилизации (СС) [3].

Для синтеза математической модели ННР с настройкой ГА в СС со структурой, представленной на рис. 1, предлагается сле­дующий алгоритм.

Алгоритм синтеза математической модели ННР с настройкой ГА

Этап 1. Построение математической модели ОУ и решение задачи синтеза регулятора клас­сическим методом. Предварительно необхо­димо выбрать структуру регулятора (П-, ПИ-, ПИД-регуляторы [3] и др.), а далее рассчитать или подобрать его коэффициенты.

Этап 2. Проведение тестирования по­строенной СС (этап 1) в диапазоне возможных режимов работы и подтверждение устойчиво­сти. Получение обучающей выборки для выполнения процедуры синтеза нечеткого регу­лятора (НР).

Этап 3. Принятие решения о структуре НР (в простейшем случае это будет структура один вход - один выход). Осуществление выбора лингвистического описания для входной (входных) и выходной переменной НР (фаззификация [4]). На рис. 2 приведена структу­ра НР один вход - один выход. В структуре по­казаны три необходимых для работы НР функ­циональных блока.

В блоке «фаззификация» содержится не­четкое описание входного e(t) и выходного па­раметра u_p (t) в виде терм-множества лингвисти­ческих переменных. Каждый из параметров обо­значим обобщенно х, а пример терм-множества показан на рис. 2. Степень гранулированности ин­формации (количество термов) определяется экс­пертом исходя из особенностей решения задачи.

Этап 4. На основании данных обучающей выборки (табл. 1) составляются схемы логиче­ских выводов в нечеткой базе правил в соот­ветствии с лингвистическим описанием этапа

3. Общий вид логических выводов следующий:

если e (t) = T_i, то u_p (t) = T_j,                                  (1)

где T_i - терм входной переменной;

i = 1,2,..., n - число термов входной пере­менной;

T_j - терм выходной переменной, j = 1,2,..., m (число термов выходной пере­менной).

Этап 5. Выбор вида дефаззификации результата нечеткого вывода. Наиболее часто используется метод центра тяжести [4].

Этап 6. Проведение тестирования СС с НР. Дается заключение об устойчивости.

Если СС с НР окажется неустойчивой, то кор­ректируются границы термов X₁, х₂, ..., x_n(_m) до получения устойчивой СС.

Этап 7. Разработка ГА для настройки па­раметров НР в рамках стандартного процесса получения оптимального решения [1]:

1. формирование начальной популяции;
2. появление текущей популяции;
3. работа генетических операторов;
4. появление новых хромосом (переход на этап 2);
5. проверка условия остановки;
6. остановка эволюции;
7. оптимальное решение.

Формирование начальной популяции вы­полняется на этапе 3 - границы термов вход­ных и выходных переменных. Условие оста­новки работы ГА в рамках функционирования СС предлагается выбрать в виде интегрального критерия качества [3]:

Этап 8. Проведение тестирования ГА на­стройки параметров НР (границ термов). Для этого выбирается тестовое управление u(t) на входе СС и выполняется настройка парамет­ров НР относительно установленных на эта­пе 6 значений границ в заданных диапазонах их вариаций. Результат тестирования должен показать корректность работы ГА, т. е. после­довательное приближение к оптимальному решению - набору параметров НР.

Этап 9. Настройка параметров НР с по­мощью ГА для заданного вида входного воз­действия u(t) .

Этап 10. Введение в НР одного формаль­ного нейрона, позволяющего при построении результирующего вывода задавать вес каждо­го правила. В результате появляется структура ННР. Схематично процедура построения ре­зультирующего вывода для базы из пяти пра­вил представлена на рис. 3.

Аргумент функции активации g опреде­ляется по формуле

Этап 11. Тестирование ННР при единич­ных весах правил . Если резуль­таты тестирования совпадают с результатом этапа 9, то подбираются a_j в интервале от 0 до 1 таким образом, чтобы по критерию (2) результат работы СС для заданного вида вход­ного воздействия u(t) оказался лучше, чем на этапе 9, либо делается вывод о невозможности дальнейшего улучшения качества работы СС.

Решение задачи синтеза математической модели ННР с настройкой ГА

Предложенный в статье алгоритм успешно апробирован при решении задачи стабилиза­ции вертикального маятника на подвижной тележке.

Задача стабилизации вертикального ма­ятника - классическая проблема в сфере авто­матического управления и широко использу­ется как эталон для тестирования алгоритмов управления. Вследствие простоты интерпре­тации параметров и нелинейности данная за­дача часто применяется в качестве тестового объекта, на котором демонстрируется функ­ционирование различных регуляторов.

Авторы статьи также использовали опи­санную задачу для тестирования функциони­рования ННР с настройкой ГА при решении задачи стабилизации положения неустойчи­вого динамического объекта (вертикального маятника).

Вертикальный маятник представляется в виде легкого жесткого стержня длиной 21 с точечной массой m на конце, его основа­ние закреплено по центру тележки массой M. Коэффициент вязкого трения при движении те­лежки - b; - сила, прикладываемая к тележке (управление); x - координата тележки; θ - угол отклонения маятника от вертикали [5, 6].

Уравнения движения вертикального ма­ятника на тележке имеют вид

Поскольку цель СС - удерживать ма­ятник вертикально, то данные нелинейные уравнения можно линеаризовать в окрестно­сти точки  и построить ма­тематическую модель ОУ по углу отклонения маятника θ в форме передаточной функции:

ОУ с передаточной функцией (6) не­устойчив по критерию Гурвица, так как среди коэффициентов характеристического уравне­ния (знаменатель в формуле (6)) есть отрицательные значения [3]. Для обеспечения устой­чивости ОУ построим систему стабилизации с единичной обратной связью и ПИД-регулятором в прямой цепи управления (см. рис. 1). В данном случае: u(t) = θ_зад (заданное значение угла отклонения маятника при стабилизации), e(t) = Δθ (отклонение от θ_зад ), u_p (t) = F (сила, прикладываемая к тележке), x(t) = θ (фактиче­ский угол отклонения маятника).

Устойчивость и быстродействие математи­ческой модели ОУ (6) обеспечивается ПИД-регулятором с коэффициентами K_d, K_i и K:

С помощью построенной СС получим обучающую выборку для синтеза математиче­ской модели НР. В качестве тестовых входных воздействий выбраны: ступенчатое воздей­ствие 1( t) заданной амплитуды θ_зад и гармо­ническое воздействие θ_задsin(ωt) с ω = 1, 1/с.

Этапы 1 и 2 алгоритма синтеза ННР с настройкой ГА выполнены.

Этап 3 работы алгоритма синтеза свя­зан с выбором структуры НР. Ограничимся простой структурой один вход - один выход. НР в контуре СС вертикального маятника на тележке должен по значениям параметра вход­ного сигнала Δθ формировать на выходе сиг­нал управления F , который далее поступает на ОУ и изменяет значение угла θ в сторону заданного значения θ_зад.

Структура разрабатываемого НР соот­ветствует схеме, показанной на рис. 1. В бло­ке «фаззификация» содержится нечеткое опи­сание входного параметра Δθ и выходного параметра F в виде терм-множества лингвис­тических переменных (см. рис. 2), каждая из которых соответствует одному из уровней сиг­нала: Н - нулевой, ПМ - положительный ма­ленький, ОМ - отрицательный маленький, ПБ - положительный большой, ОБ - отрица­тельный большой. Параметры нечетких пере­менных, соответствующие каждому из описаний, определяются по обучающей выборке (табл. 2).

Обозначим диапазоны возможных значе­ний для границ лингвистических термов вход­ных и выходных параметров в соответствии с результатами моделирования, представленны­ми в табл. 2. Так, например, для малого значе­ния входного воздействия Δθ (терм ПМ) от 0 до 30° выходной параметр F варьируется от -7,5 до 235 Н. В соответствии с этой логикой графически термы представлены на рис. 4, а диапазоны для границ термов описаны сле­дующими выражениями:

Для проведения анализа работы НР в СС вертикального маятника на тележке без на­стройки установим базовые (начальные) значе­ния границ лингвистических термов входных и выходных параметров в виде средних значений в рамках принятых диапазонов:

В блоке правил каждое логическое пра­вило должно формировать вывод в виде не­четкого описания переменной F, соответствую­щей каждой возможной входной переменной Δθ.

База правил в системе нечеткого логи­ческого вывода с учетом описания входной переменной Δθ и выходного параметра F (см. рис. 4) представлена в табл. 3.

Для построения нечеткого вывода в НР выбран механизм Мамдани в связи с тем, что он наиболее широко используется при постро­ении регуляторов в технических системах. Дефаззификация выполняется по методу центра тяжести [5]. Этапы 3-5 алгоритма синтеза ННР с настройкой ГА выполнены.

Для проведения тестирования работы СС с НР (этап 6) был разработан программный модуль НР, преобразованный к виду функци­онального блока СС, входами которого являются массивы параметров термов:

Тестирование работы СС с НР показало, что система с НР без настройки устойчива.

Для настройки параметров НР был раз­работан ГА. Порядок работы генетического алгоритма следующий.

1. Формирование начальной популяции. Начальная популяция формируется из началь­ных данных (11) с учетом симметричности описания лингвистических термов (см. рис. 4).

Для входных и выходных переменных НР начальные популяции хромосом имеют вид

В соответствии с хромосомами (12) вы­числяется значение функции пригодности (ФП) по формуле (2).

2. Определение диапазонов значений для генов. Предполагается, что значение каждого гена в хромосомах (12) является числом в за­данных интервалах:

Случайный выбор значений из интерва­лов (13), (14) формирует новую хромосому.

3. Создание популяции. Случайным обра­зом в рамках диапазонов значений (13), (14) ге­нерируются по 3 хромосомы типа (12). Пример формирования хромосом приведен в табл. 4.

Поскольку хромосома a отвечает за фор­мирование входных переменных НР, а хромо­сома b - за формирование выходных, то из представленных в табл. 4 хромосом формиру­ется 9 сочетаний (каждая с каждой).

4. Оценка степени пригодности текущей популяции. Признак пригодности хромосомы определяется следующим образом:

В противном случае k_ij = 0.

Коэффициент выживаемости определя­ется так:

В противном случае Δ_n = 0.

5. Вычисление процента выживаемо­сти. Так как задача состоит в том, чтобы по признаку пригодности отобрать хромосомы популяции с наибольшим коэффициентом выживаемости, то процент выживаемости рас­считывается по следующему выражению:

Представляя колесо рулетки, разбитое на доли в процентах для каждой хромосомы, не­обходимо «крутить» его по 2 раза для каждой пары (отец-мать). Выбранные таким образом 3 пары сочетаний хромосом являются пока лишь хромосомами-кандидатами для следую­щей популяции. Прежде чем их действительно скопировать в новую популяцию, эти хромо­сомы должны подвергнуться кроссинговеру и мутации [1]. В настоящем алгоритме процесс мутации не применяется.

6. Построение новой популяции хромо­сом. Пусть на предыдущем шаге выбраны пары сочетаний хромосом, представленные в табл. 5.

7. Выполнение операции кроссинговера. Операция применяется к хромосомам, прошед­шим отбор в новую популяцию (см. табл. 5). Для выполнения кроссинговера разделим соче­тания хромосом на входные и выходные. Пер­вую часть хромосомы-потомка всегда формиру­ет хромосома-отец, а вторую - хромосома-мать.

Аналогично данным табл. 6 формиру­ются потомки хромосомы b - это  Далее на основе полученных данных строятся сочетания (a_m^П, b_s^П), где  и снова вычисляется пригодность найденных решений.

Шаги алгоритма выполняются до тех пор, пока не будет найдено минимальное значение инте­грального критерия (2), т. е. для всех сочетаний хромосом, и признак пригодности к не станет равен 0 для всех потомков.

Работоспособность разработанного ГА проверена на СС вертикального маятника на тележке. Пример процесса оптимизации пара­метров НР с помощью ГА представлен в табл. 7.

На шаге i = 0 (до начала работы ГА) гра­ницы термов соответствуют начальным значе­ниям (10), (11). При i = 1 (первый шаг работы ГА) границы термов изменились в пределах диапазонов (13), (14) в сторону улучшения качества работы СС с НР. Значение крите­рия (2) уменьшилось с 1,26 до 0,032. ГА закон­чил работу на третьем шаге, когда качество рабо­ты СС повысилось до ИКО = 0,0071, улучшить результат не удалось. При i = 3 произошло ду­блирование результата и остановка работы ГА.

Этап 10 алгоритма синтеза ННР с на­стройкой ГА выполняется в соответствии со схемой, показанной на рис. 3. В алгоритм не­четкого вывода встраивается формальный ней­рон, с помощью которого донастраивается НР (этап 11) в части весов каждого из правил вы­вода в базе (см. табл. 2).

Разработка ННР с настройкой ГА для СС вертикального маятника на тележке завершена.

Тестирование работы ННР с настройкой ГА в СС вертикального маятника на подвиж­ной тележке выполнялось при наличии случай­ного воздействия на ОУ как по типу «белый шум», так и случайного импульсного характера (рис. 5, а). На рис. 5, б приведена СС с ННР в прямой цепи и случайным возмущением на ОУ.

На рис. 6 приведены графики изменения во времени выходного параметра СС θ при наличии случайного возмущения импульсного характера (см. рис. 5, а) на ОУ (маятник) при t = 0,2, 1,5 и 2,5 с. Графики на рис. 6 позволяют сделать вывод о том, что ННР при правильной настройке обеспечивает высокое качество ра­боты СС даже при наличии случайных возму­щений на ОУ.

Заключение

Предложенная в статье методика синтеза ННР протестирована в условиях ограниченного объема исходных данных (объема обучаю­щей выборки), размер которой не влияет на качество работы алгоритма. Достаточно всего двух или трех значений параметров выборки, чтобы сформировать диапазоны для границ термов нечетких переменных, а далее опти­мальные значения подбираются ГА. В усло­виях отсутствия исходных данных (без обу­чающей выборки) разработанный ГА также сможет выполнить свою задачу, только диапа­зоны для значений границ термов потребуется задавать более широкими без привязки к зна­чениям обучающей выборки, а число шагов счета ГА увеличится в сотни раз.

Разработанная методика синтеза ННР с настройкой ГА может быть рекомендована для применения при создании систем стабилиза­ции беспилотных управляемых летательных аппаратов.