Метод точного решения задачи ближнего наведения с двумя разворотами

Проблемы автоматизированного управления истребительной авиацией, решения штурман­ских задач и задач управления наведением ис­требителей-перехватчиков (ИП) рассматрива­лись в ряде работ [1-3].

Для решения задачи выбора параметров траектории наведения ИП с одним разворотом предложены различные методы [3], в том чис­ле основанные на методе линейного програм­мирования.

Вместе с тем траектории наведения ИП с одним разворотом в ряде случаев не позволяют провести перехват цели на наилучшем рубеже, а иногда и вовсе не дают решения [3, 4].

Траектории с двумя разворотами обладают большими возможностями. Однако, как можно видеть из работ [1, 2, 4], для вычисления па­раметров траектории полета ИП применяются различные допущения и упрощения, в том чис­ле предположения о малости углов разворота и дискретности изменения радиусов разворота.

В интересах сокращения затрат вычис­лительных ресурсов при автоматизированном расчете параметров траектории полета ИП в простейшем случае в программах предусма­триваются два уровня радиуса разворота.

Сначала ищут решение для рекомендуе­мого радиуса разворота. Если оно не найдено, то ведут поиск решения для минимального ра­диуса разворота. Если оно снова отсутствует, то считается, что наведение данным методом невозможно.

Такой порядок расчета параметров траек­тории полета ИП влечет за собой увеличение времени решения задачи, причем чем больше градаций радиуса разворота используется, тем затраты вычислительных ресурсов выше.

Кроме того, при определенных условиях подобные допущения приводят к необосно­ванному выбору минимального радиуса разво­рота, который достигается путем увеличения крена самолета и повышения перегрузок, что крайне нежелательно.

В данной работе представлен метод, ко­торый позволяет упростить решение задачи и не обладает указанными недостатками.

Рассматривается задача ближнего наве­дения ИП на цель. Под ближним наведением подразумевается заключительный этап назем­ного наведения, в результате которого ИП вы­водится в точку, расположенную на заданном расстоянии от цели, с обеспечением заданного курса ИП относительно курса цели.

Для наведения ИП необходимо опреде­лить параметры траектории движения ИП. Тра­ектория движения ИП при методе «маневр с дву­мя разворотами» состоит из первого разворота, прямолинейного участка и второго разворота.

Исходными данными для решения зада­чи определения параметров траектории поле­та ИП являются начальные положения, курсы движения и скорости цели и ИП, положение конечной точки траектории движения ИП от­носительно цели, конечная скорость ИП, ра­курс атаки (курс ИП относительно цели в ко­нечной точке).

В изложенной формулировке задача определения параметров траектории движе­ния ИП является задачей из области механики, именуемой кинематикой. Кинематика изучает движение тел, не исследуя причин, вызываю­щих это движение.

Обычно движение рассматривается в ка­кой-либо системе координат. В работе [5] при­ведены основные сведения по системам коор­динат, используемым при расчетах, которые связаны с траекториями движения летатель­ных аппаратов.

Задачи выполнения штурманских расче­тов и наведения в автоматизированных сис­темах управления удобно решать в системе ко­ординат, связанной с целью [1, 3].

Начало координат этой системы совпада­ет с положением цели. Ось П прямоугольной системы координат направлена вдоль курса по­лета цели. Положительное направление оси П совпадает с направлением движения цели. Ось Б направлена перпендикулярно курсу цели. Положительное направление оси Б - вправо от направления движения цели.

Будем рассматривать только положитель­ные значения Б, так как случай Б < 0 сводится к случаю Б > 0 путем соответствующего изме­нения координат и курса.

Исходные данные по цели и ИП, как пра­вило, задаются в местной прямоугольной сис­теме координат одного из управляющих ко­мандных пунктов (КП). Далее будем считать, что ось X системы координат КП направлена на север, а ось Y - на восток.

С учетом углов поворота осей и смеще­ний начал координат пересчет данных из мест­ной прямоугольной системы координат (X, Y) КП в систему координат цели (Б, П) произво­дится с помощью выражений

где Q - курс ИП относительно оси X систе­мы координат КП;

X, Y - координаты ИП в системе коорди­нат КП;

Х_ц, Y_ц - координаты цели в системе коор­динат КП;

Б,П - координаты ИП в системе коорди­нат цели;

Q_ц - курс цели относительно оси X сис­темы координат КП;

γ - курс ИП относительно курса цели (против часовой стрелки).

Если вычисленное значение γ< 0 , то принимается γ* = γ+2π.

Если вычисленное значение Б < 0 , то принимается Б* = -Б, γ* = 2π-γ.

Обратный пересчет выполняется по фор­мулам

Рассмотрим траекторию полета ИП в сис­теме координат цели при реализации метода «маневр с двумя разворотами».

Введем обозначения:

V_ц - скорость цели;

V_п - программная скорость полета ИП;

α₁ - угол первого разворота;

R₁ - радиус первого разворота;

α₂ - угол второго разворота;

R₂ - радиус второго разворота;

V_к - скорость ИП в конечной точке траек­тории наведения;

Б, П - начальные координаты ИП в систе­ме координат цели ( Б - поперечная составля­ющая, П - продольная составляющая);

С - длина прямолинейного участка траек­тории ИП;

S_к - расстояние от ИП до цели в конечной точке траектории наведения;

p - ракурс ИП по отношению к цели (курс ИП относительно курса цели) в конечной точке наведения;

m₁ - признак направления 1-го разворота;

m₂ - признак направления 2-го разворота;

γ₁ - курс ИП на прямолинейном участке траектории полета;

γ₀ - курс ИП в начальной точке траекто­рии наведения;

L - рубеж, на котором находится цель в момент выхода ИП в конечную точку траек­тории наведения.

На рис. 1 показана траектория полета ИП в системе координат цели.

Каждый из признаков направления раз­ворота M₁, M₂ принимает значение +1, если ИП совершает разворот по часовой стрелке (правый разворот), и -1, если против часовой стрелки (левый разворот).

Скорость ИП предполагается постоянной от начальной точки до начала второго разво­рота и равной программной скорости полета истребителя-перехватчика V_п.

На участке второго разворота скорость ИП равномерно изменяется от программной скорости полета V_п до заданной скорости в конечной точке V_к.

Курс ИП отсчитывается против часовой стрелки в пределах от 0 до 2π.

Для определения параметров траектории полета ИП составим уравнения баланса по ко­ординатам и времени полета. Для этого найдем проекции составляющих элементов траекто­рий полета ИП и цели на оси координат Б, П.

Исходные координаты ИП равны Б, П.

Перемещения ИП вдоль осей координат при движении ИП:

• по дуге окружности первого разворота:

• по прямолинейному участку С:

• по дуге окружности второго разворота:

Перемещения цели вдоль осей координат за время движения ИП:

• по дуге окружности первого разворота:

• по прямолинейному участку траекто­рии:

• по дуге окружности второго разворота:

Смещение цели вдоль осей координат относительно положения ИП в конечной точ­ке траектории:

С учетом указанных составляющих эле­ментов траекторий полета ИП и цели может быть записана система уравнений баланса по координатам и времени, которая обеспечивает выход ИП в заданное положение с заданным курсом относительно цели:

После подстановки найденных составля­ющих в систему уравнений (1) получаем

В систему уравнений (2) входят углы раз­ворота ИП O₁ и α₂. Для определения модуля угла первого разворота обозначим

Возможны четыре случая, изображенных на рис. 2:

если m₁ = +1, γ₁ <γ₀ (рис. 2, а), то α₁ = 2π-Δγ₁;

если m₁ = +1, γ₁ >γ₀ (рис. 2, б), то α₁ = 2π-Δγ₁;

если m₁ = -1, γ₁ < γ₀ (рис. 2, в), то α₁ = Δγ₁;

если m₁ = -1, γ₁ > γ₀ (рис. 2, г), то α₁ = Δγ₁

Анализ выражений для угла первого раз­ворота показывает, что знак перед приращени­ем курса Δγ₁ является противоположным знаку признака направления разворота M₁. Слагаемое 2π появляется в случае m₁ = +1. Поэтому

получим выражение для угла второго разво­рота:

Для успешного обнаружения, захвата цели бортовой РЛС и последующего пуска ра­кет курс p ИП в конечной точке должен удов­летворять определенным ограничениям.

Для задней полусферы атаки цели

2π - Δρ ≤ p < 0 или 0 ≤ p ≤ Δρ.

Для передней полусферы

π - Δp < p < π + Δp.

Обычно принимается

Δv = π / 6.

Если известно начальное положение (Б, П) ИП, скорости ИП V_п, V_к и скорость цели V_u, начальный курс ИП γ₀, радиусы R₁, R₂ и направления m₁, m₂ разворотов, конечный курс p ИП, конечное расстояние S_к ИП - цель, то в системе (2) остаются два неизвестных: курс γ₁ на прямолинейном участке траектории и длина С этого участка.

Углы разворота α₁, α ₂, как это следует из выражений (5), (8), зависят от неизвестного параметра γ₁.

Подставляя в систему (2) выражения (5), (8) для O₁, α ₂ и исключая из нее параметр С, имеем

Отсюда получаем уравнение для опреде­ления курса γ₁ ИП на прямолинейном участке траектории полета:

Длина прямолинейного участка С опре­деляется путем подстановки значения курса γ₁ в одно из выражений (9).

Для существования решения задачи не­обходимо, чтобы длина прямолинейного участ­ка С траектории была неотрицательной вели­чиной.

Выбор окончательного решения из воз­можных проводится по показателю наилучше­го рубежа атаки цели:

Данное выражение определяет положе­ние цели Ц_к в момент выхода ИП в конечную точку. Это путь, который проходит цель за вре­мя полета ИП от начальной до конечной точки траектории.

Радиусы разворота далее будем считать одинаковыми: R₁ = R₂ = R.

В рассматриваемом методе для решения уравнения (10) предлагается использовать в качестве начального приближения траекторию ИП с радиусами разворота R = 0. В этом случае для начального приближения уравнение (10) приобретает вид

При этом неизвестная величина γ₁ оста­ется только под знаком тригонометрических функций, и уравнение сводится к квадратному.

Для получения решения задачи при ре­альном радиусе разворота он постепенно уве­личивается от нулевого до заданного значения с последовательным определением параметров полета ИП на каждом шаге изменения радиуса разворота.

Учитывая, что процесс перехода от на­чального решения к окончательному происхо­дит в результате постепенного направленного изменения дополнительно выбранной величи­ны, ее можно назвать ведущим параметром.

В качестве ведущего параметра в данной работе принят радиус разворота ИП.

Ориентировочное значение курса ИП на очередном шаге определяется с использо­ванием производной от курса ИП по радиусу разворота:

где ΔR - принятый для расчетов шаг по ради­усу разворота.

Для выполнения вычислений по форму­ле (12) требуется найти выражение производ­ной  от функции γ₁ (R), которая задана не­явно с помощью уравнения (10). Для этого вы­полняем дифференцирование уравнения (10) по параметру R:

Поскольку выражение (12) учитывает только линейную часть изменения курса γ₁ ИП, найденное значение γ₁ не будет являться решением уравнения (10). Однако уравне­ние (10) можно решить относительно радиуса разворота R.

С учетом обозначений, принятых в урав­нении (10), получаем

Подставляя эти значения в уравне­ние (10), находим

Для найденного с помощью выраже­ния (12) значения курса γ_{1( k+1)} имеется возмож­ность определения точного значения радиуса разворота R из выражения (14).

Пара (R, γ₁) удовлетворяет уравне­нию (10). Последовательный переход от шага к шагу обеспечивает приближение к искомому решению, соответствующему заданному ради­усу разворота R₃.

В результате изложенного процесса на­ходим решение уравнения

F(γ₁) = R₃ - R (γ₁) = 0,                                         (15)

где R₃ - заданное значение радиуса разворота;

R (y₁) определяется по формуле (14).

Уравнение (15) эквивалентно уравне­нию (10) и дает решение задачи, если оно су­ществует. Если решение задачи при R₃ не су­ществует, то итерационный процесс позволяет найти возможные варианты решения при ра­диусах разворота R, отличных от R₃.

Если вместо постоянного шага ΔR вос­пользоваться методом касательных, то для определения искомого решения, как показы­вают многочисленные примеры, требуются 2-7 итераций.

В этом случае вместо формулы (12) для определения значения курса γ₁ на очередном шаге итерационного процесса следует приме­нять выражение

Здесь производная от функции R (y₁) вы­ражена через производную, определяемую по формуле (13), от обратной к ней функции y₁ (R).

Радиус разворота изменяется на каждом шаге итерационного процесса так, что пара (R, γ₁) удовлетворяет уравнению (10).

Для демонстрации особенностей и пре­имуществ предлагаемого в статье метода рас­смотрим числовой пример.

Пусть ИП находится в точке Б = 80км,П = 200 км, имеет курс γ₀ = 250° и скорость V_п = 0,35 км/с.

В конечной точке траектории полета ИП должен находиться на расстоянии S_к = 50 км от цели, иметь курс p = 150° (атака в переднюю полусферу цели) и скорость V_к = 0,25 км/c.

Скорость цели, на которую наводится ИП, составляет V_ц = 0,30 км/с.

Наведение выполняется методом «ма­невр с двумя разворотами». Первый разво­рот происходит направо (m₁ = +1 , второй разворот - налево (m₂ = -1 . Рекомендуемый радиус разворота равен R_p = 25 км, минималь­ный - R_min = 10 км.

Для сравнения процессов вычислений и получаемых при этом результатов выполним расчеты двумя методами.

Новый метод (метод ведущего параме­тра) : радиус разворота является переменным и принят в качестве ведущего параметра в итерационном процессе. Решается уравнение F(y₁) = R₃ - R(y₁) = 0.

Старый метод (постоянный радиус) : радиус разворота сохраняет постоянное зна­чение, равное заданному, на всех шагах ите­рационного процесса. Решается уравнение f (γ₁ ) = e cos γ₁ + (γ₁ + d₂ )sin γ₁ + s = 0.

На рис. 3 показана зависимость радиу­са разворота от курса ИП на прямолинейном участке траектории полета, построенная для данного числового примера с помощью фор­мулы (14). При R₃ = R_p = 25 км решение от­сутствует, а при R₃ = R_min = 10 км - существует (см. рис. 3). Располагая априори этими сведе­ниями, оценим, как работают оба рассматриваемых метода расчета.

Результаты расчетов сведем в таблицы, которые содержат результаты расчетов кур­са γ₁ на прямолинейном участке траектории полета, радиуса разворота R, длины прямо­линейного участка С , углов разворота α₁, α₂, рубежа L, функций f (γ₁) и F (γ₁).

В табл. 1 приведены данные для вновь предлагаемого метода ведущего парамет­ра с постоянным шагом ΔR = 2,5км при R₃ = R_p = 25 км.

В табл. 2 приведены данные, получаемые на каждом шаге итерационного процесса с пе­ременным шагом для R₃ = R_p = 25 км.

Из табл. 1, 2 следует, что новый ме­тод, несмотря на отсутствие решения при R₃ = = R_p = 25 км, позволяет принять в качестве ре­шения задачи результаты, в наибольшей степени отвечающие заданным исходным данным, а именно γ₁ = 74,44°, R = 23,47 км, C = 14,60 км, U₁ = 175,56°, α₂ = 75,56°, L = 105,09 км.

Траектория полета ИП, соответствующая этим данным, показана на рис. 1.

Старый метод не дает решения, так как значения курса γ₁, получаемые в процессе ите­раций, не удовлетворяют уравнению (10).

В табл. 3 приведены данные, получаемые на каждом шаге итерационного процесса по­иска решения для R₃ = R_min = 10 км

Из табл. 3 следует, что для R₃ = R_min = 10 км оба метода дают одинаковый результат.

Данный пример показывает, что новый подход позволяет не просто отказаться от излишних вычислений, но и найти более прием­лемое решение с точки зрения перегрузок, действующих на самолет.

Объем программы, реализующей пред­лагаемый метод, составляет 100 операторов языка С. При этом часть программы, выпол­няемой в цикле, составляют 25 операторов. Общий объем исполняемого файла с учетом исходных условий, подготовки данных и ор­ганизации вычислений составляет 30 Кбайт, что на 15 % меньше объема программы, применявшейся ранее [4].

Среднее по множеству задач время ре­шения задачи для предложенного метода на 30 % меньше, чем для ранее применявше­гося при ошибках вывода ИП в конечную точку траектории полета, не превышающих 10^-2 км.

Результаты проведенного исследования:

1. Разработан метод решения системы уравне­ний баланса для ИП и цели, который позволяет избежать выбора параметров траекторий по­лета ИП с необоснованно малыми радиусами разворота.
2. Метод основан на выполнении итера­ций, в процессе которых изменяются радиус разворота и курс ИП на прямолинейном участ­ке траектории таким образом, что они удовлет­воряют уравнениям баланса.
3. При наличии решения для задан­ного радиуса разворота метод позволяет най­ти точное решение задачи, а при его отсутст­вии - выбрать точное решение для другого радиуса разворота без выполнения дополнитель­ных вычислений.

Автор благодарит рецензентов за заме­чания, которые способствовали повышению аргументированности и качества изложения материала статьи.