Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Метод точного решения задачи ближнего наведения с двумя разворотами

Полный текст:

Аннотация

Задача определения параметров наведения методом «маневр с двумя разворотами» связана с решением уравнения, определяющего траекторию движения истребителя-перехватчика, численными методами. Предложен простой в программной реализации подход, основанный на точном решении задачи на каждом шаге итерационного процесса, построенного по одному из параметров

Для цитирования:


Феликсон А.Е. Метод точного решения задачи ближнего наведения с двумя разворотами. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2018;(4):91-99.

For citation:


Felikson A.E. The method of exact solution of the problem of short-range guidance with two turns. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2018;(4):91-99. (In Russ.)

Проблемы автоматизированного управления истребительной авиацией, решения штурман­ских задач и задач управления наведением ис­требителей-перехватчиков (ИП) рассматрива­лись в ряде работ [1-3].

Для решения задачи выбора параметров траектории наведения ИП с одним разворотом предложены различные методы [3], в том чис­ле основанные на методе линейного програм­мирования.

Вместе с тем траектории наведения ИП с одним разворотом в ряде случаев не позволяют провести перехват цели на наилучшем рубеже, а иногда и вовсе не дают решения [3, 4].

Траектории с двумя разворотами обладают большими возможностями. Однако, как можно видеть из работ [1, 2, 4], для вычисления па­раметров траектории полета ИП применяются различные допущения и упрощения, в том чис­ле предположения о малости углов разворота и дискретности изменения радиусов разворота.

В интересах сокращения затрат вычис­лительных ресурсов при автоматизированном расчете параметров траектории полета ИП в простейшем случае в программах предусма­триваются два уровня радиуса разворота.

Сначала ищут решение для рекомендуе­мого радиуса разворота. Если оно не найдено, то ведут поиск решения для минимального ра­диуса разворота. Если оно снова отсутствует, то считается, что наведение данным методом невозможно.

Такой порядок расчета параметров траек­тории полета ИП влечет за собой увеличение времени решения задачи, причем чем больше градаций радиуса разворота используется, тем затраты вычислительных ресурсов выше.

Кроме того, при определенных условиях подобные допущения приводят к необосно­ванному выбору минимального радиуса разво­рота, который достигается путем увеличения крена самолета и повышения перегрузок, что крайне нежелательно.

В данной работе представлен метод, ко­торый позволяет упростить решение задачи и не обладает указанными недостатками.

Рассматривается задача ближнего наве­дения ИП на цель. Под ближним наведением подразумевается заключительный этап назем­ного наведения, в результате которого ИП вы­водится в точку, расположенную на заданном расстоянии от цели, с обеспечением заданного курса ИП относительно курса цели.

Для наведения ИП необходимо опреде­лить параметры траектории движения ИП. Тра­ектория движения ИП при методе «маневр с дву­мя разворотами» состоит из первого разворота, прямолинейного участка и второго разворота.

Исходными данными для решения зада­чи определения параметров траектории поле­та ИП являются начальные положения, курсы движения и скорости цели и ИП, положение конечной точки траектории движения ИП от­носительно цели, конечная скорость ИП, ра­курс атаки (курс ИП относительно цели в ко­нечной точке).

В изложенной формулировке задача определения параметров траектории движе­ния ИП является задачей из области механики, именуемой кинематикой. Кинематика изучает движение тел, не исследуя причин, вызываю­щих это движение.

Обычно движение рассматривается в ка­кой-либо системе координат. В работе [5] при­ведены основные сведения по системам коор­динат, используемым при расчетах, которые связаны с траекториями движения летатель­ных аппаратов.

Задачи выполнения штурманских расче­тов и наведения в автоматизированных сис­темах управления удобно решать в системе ко­ординат, связанной с целью [1, 3].

Начало координат этой системы совпада­ет с положением цели. Ось П прямоугольной системы координат направлена вдоль курса по­лета цели. Положительное направление оси П совпадает с направлением движения цели. Ось Б направлена перпендикулярно курсу цели. Положительное направление оси Б - вправо от направления движения цели.

Будем рассматривать только положитель­ные значения Б, так как случай Б < 0 сводится к случаю Б > 0 путем соответствующего изме­нения координат и курса.

Исходные данные по цели и ИП, как пра­вило, задаются в местной прямоугольной сис­теме координат одного из управляющих ко­мандных пунктов (КП). Далее будем считать, что ось X системы координат КП направлена на север, а ось Y - на восток.

С учетом углов поворота осей и смеще­ний начал координат пересчет данных из мест­ной прямоугольной системы координат (X, Y) КП в систему координат цели (Б, П) произво­дится с помощью выражений

где Q - курс ИП относительно оси X систе­мы координат КП;

X, Y - координаты ИП в системе коорди­нат КП;

Хц, Yц - координаты цели в системе коор­динат КП;

Б,П - координаты ИП в системе коорди­нат цели;

Qц - курс цели относительно оси X сис­темы координат КП;

γ - курс ИП относительно курса цели (против часовой стрелки).

Если вычисленное значение γ< 0 , то принимается γ* = γ+2π.

Если вычисленное значение Б < 0 , то принимается Б* = -Б, γ* = 2π-γ.

Обратный пересчет выполняется по фор­мулам

Рассмотрим траекторию полета ИП в сис­теме координат цели при реализации метода «маневр с двумя разворотами».

Введем обозначения:

Vц - скорость цели;

Vп - программная скорость полета ИП;

α1 - угол первого разворота;

R1 - радиус первого разворота;

α2 - угол второго разворота;

R2 - радиус второго разворота;

Vк - скорость ИП в конечной точке траек­тории наведения;

Б, П - начальные координаты ИП в систе­ме координат цели ( Б - поперечная составля­ющая, П - продольная составляющая);

С - длина прямолинейного участка траек­тории ИП;

Sк - расстояние от ИП до цели в конечной точке траектории наведения;

p - ракурс ИП по отношению к цели (курс ИП относительно курса цели) в конечной точке наведения;

m1 - признак направления 1-го разворота;

m2 - признак направления 2-го разворота;

γ1 - курс ИП на прямолинейном участке траектории полета;

γ0 - курс ИП в начальной точке траекто­рии наведения;

L - рубеж, на котором находится цель в момент выхода ИП в конечную точку траек­тории наведения.

На рис. 1 показана траектория полета ИП в системе координат цели.

 

Рис. 1. Траектория полета ИП:

Ц — цель в момент нахождения ИП в начальной точке наведения; Цк — цель в момент нахождения ИП в конеч­ной точке наведения; И — ИП в начальной точке наведения; Ик — ИП в конечной точке наведения

 

Каждый из признаков направления раз­ворота M1, M2 принимает значение +1, если ИП совершает разворот по часовой стрелке (правый разворот), и -1, если против часовой стрелки (левый разворот).

Скорость ИП предполагается постоянной от начальной точки до начала второго разво­рота и равной программной скорости полета истребителя-перехватчика Vп.

На участке второго разворота скорость ИП равномерно изменяется от программной скорости полета Vп до заданной скорости в конечной точке Vк.

Курс ИП отсчитывается против часовой стрелки в пределах от 0 до 2π.

Для определения параметров траектории полета ИП составим уравнения баланса по ко­ординатам и времени полета. Для этого найдем проекции составляющих элементов траекто­рий полета ИП и цели на оси координат Б, П.

Исходные координаты ИП равны Б, П.

Перемещения ИП вдоль осей координат при движении ИП:

  • по дуге окружности первого разворота:

  • по прямолинейному участку С:

  • по дуге окружности второго разворота:

Перемещения цели вдоль осей координат за время движения ИП:

  • по дуге окружности первого разворота:

  • по прямолинейному участку траекто­рии:

  • по дуге окружности второго разворота:

Смещение цели вдоль осей координат относительно положения ИП в конечной точ­ке траектории:

С учетом указанных составляющих эле­ментов траекторий полета ИП и цели может быть записана система уравнений баланса по координатам и времени, которая обеспечивает выход ИП в заданное положение с заданным курсом относительно цели:

После подстановки найденных составля­ющих в систему уравнений (1) получаем

В систему уравнений (2) входят углы раз­ворота ИП O1 и α2. Для определения модуля угла первого разворота обозначим

Возможны четыре случая, изображенных на рис. 2:

если m1 = +1, γ10 (рис. 2, а), то α1 = 2π-Δγ1;

если m1 = +1, γ10 (рис. 2, б), то α1 = 2π-Δγ1;

если m1 = -1, γ1 < γ0 (рис. 2, в), то α1 = Δγ1;

если m1 = -1, γ1 > γ0 (рис. 2, г), то α1 = Δγ1

 

Рис. 2. Угол первого разворота: a - правый разворот от большего значения курса к меньшему; б - правый разворот от меньшего значения курса к большему; в - левый разворот от большего значения курса к меньшему; г - левый разворот от меньшего значе­ния курса к большему

 

Анализ выражений для угла первого раз­ворота показывает, что знак перед приращени­ем курса Δγ1 является противоположным знаку признака направления разворота M1. Слагаемое 2π появляется в случае m1 = +1. Поэтому

получим выражение для угла второго разво­рота:

Для успешного обнаружения, захвата цели бортовой РЛС и последующего пуска ра­кет курс p ИП в конечной точке должен удов­летворять определенным ограничениям.

Для задней полусферы атаки цели

2π - Δρ ≤ p < 0 или 0 ≤ p ≤ Δρ.

Для передней полусферы

π - Δp < p < π + Δp.

Обычно принимается

Δv = π / 6.

Если известно начальное положение (Б, П) ИП, скорости ИП Vп, Vк и скорость цели Vu, начальный курс ИП γ0, радиусы R1, R2 и направления m1, m2 разворотов, конечный курс p ИП, конечное расстояние Sк ИП - цель, то в системе (2) остаются два неизвестных: курс γ1 на прямолинейном участке траектории и длина С этого участка.

Углы разворота α1, α 2, как это следует из выражений (5), (8), зависят от неизвестного параметра γ1.

Подставляя в систему (2) выражения (5), (8) для O1, α 2 и исключая из нее параметр С, имеем

Отсюда получаем уравнение для опреде­ления курса γ1 ИП на прямолинейном участке траектории полета:

Длина прямолинейного участка С опре­деляется путем подстановки значения курса γ1 в одно из выражений (9).

Для существования решения задачи не­обходимо, чтобы длина прямолинейного участ­ка С траектории была неотрицательной вели­чиной.

Выбор окончательного решения из воз­можных проводится по показателю наилучше­го рубежа атаки цели:

Данное выражение определяет положе­ние цели Цк в момент выхода ИП в конечную точку. Это путь, который проходит цель за вре­мя полета ИП от начальной до конечной точки траектории.

Радиусы разворота далее будем считать одинаковыми: R1 = R2 = R.

В рассматриваемом методе для решения уравнения (10) предлагается использовать в качестве начального приближения траекторию ИП с радиусами разворота R = 0. В этом случае для начального приближения уравнение (10) приобретает вид

При этом неизвестная величина γ1 оста­ется только под знаком тригонометрических функций, и уравнение сводится к квадратному.

Для получения решения задачи при ре­альном радиусе разворота он постепенно уве­личивается от нулевого до заданного значения с последовательным определением параметров полета ИП на каждом шаге изменения радиуса разворота.

Учитывая, что процесс перехода от на­чального решения к окончательному происхо­дит в результате постепенного направленного изменения дополнительно выбранной величи­ны, ее можно назвать ведущим параметром.

В качестве ведущего параметра в данной работе принят радиус разворота ИП.

Ориентировочное значение курса ИП на очередном шаге определяется с использо­ванием производной от курса ИП по радиусу разворота:

где ΔR - принятый для расчетов шаг по ради­усу разворота.

Для выполнения вычислений по форму­ле (12) требуется найти выражение производ­ной  от функции γ1 (R), которая задана не­явно с помощью уравнения (10). Для этого вы­полняем дифференцирование уравнения (10) по параметру R:

Поскольку выражение (12) учитывает только линейную часть изменения курса γ1 ИП, найденное значение γ1 не будет являться решением уравнения (10). Однако уравне­ние (10) можно решить относительно радиуса разворота R.

С учетом обозначений, принятых в урав­нении (10), получаем

Подставляя эти значения в уравне­ние (10), находим

Для найденного с помощью выраже­ния (12) значения курса γ1( k+1) имеется возмож­ность определения точного значения радиуса разворота R из выражения (14).

Пара (R, γ1) удовлетворяет уравне­нию (10). Последовательный переход от шага к шагу обеспечивает приближение к искомому решению, соответствующему заданному ради­усу разворота R3.

В результате изложенного процесса на­ходим решение уравнения

F(γ1) = R3 - R (γ1) = 0,                                         (15)

где R3 - заданное значение радиуса разворота;

R (y1) определяется по формуле (14).

Уравнение (15) эквивалентно уравне­нию (10) и дает решение задачи, если оно су­ществует. Если решение задачи при R3 не су­ществует, то итерационный процесс позволяет найти возможные варианты решения при ра­диусах разворота R, отличных от R3.

Если вместо постоянного шага ΔR вос­пользоваться методом касательных, то для определения искомого решения, как показы­вают многочисленные примеры, требуются 2-7 итераций.

В этом случае вместо формулы (12) для определения значения курса γ1 на очередном шаге итерационного процесса следует приме­нять выражение

Здесь производная от функции R (y1) вы­ражена через производную, определяемую по формуле (13), от обратной к ней функции y1 (R).

Радиус разворота изменяется на каждом шаге итерационного процесса так, что пара (R, γ1) удовлетворяет уравнению (10).

Для демонстрации особенностей и пре­имуществ предлагаемого в статье метода рас­смотрим числовой пример.

Пусть ИП находится в точке Б = 80км,П = 200 км, имеет курс γ0 = 250° и скорость Vп = 0,35 км/с.

В конечной точке траектории полета ИП должен находиться на расстоянии Sк = 50 км от цели, иметь курс p = 150° (атака в переднюю полусферу цели) и скорость Vк = 0,25 км/c.

Скорость цели, на которую наводится ИП, составляет Vц = 0,30 км/с.

Наведение выполняется методом «ма­невр с двумя разворотами». Первый разво­рот происходит направо (m1 = +1 , второй разворот - налево (m2 = -1 . Рекомендуемый радиус разворота равен Rp = 25 км, минималь­ный - Rmin = 10 км.

Для сравнения процессов вычислений и получаемых при этом результатов выполним расчеты двумя методами.

Новый метод (метод ведущего параме­тра) : радиус разворота является переменным и принят в качестве ведущего параметра в итерационном процессе. Решается уравнение F(y1) = R3 - R(y1) = 0.

Старый метод (постоянный радиус) : радиус разворота сохраняет постоянное зна­чение, равное заданному, на всех шагах ите­рационного процесса. Решается уравнение f (γ1 ) = e cos γ1 + (γ1 + d2 )sin γ1 + s = 0.

На рис. 3 показана зависимость радиу­са разворота от курса ИП на прямолинейном участке траектории полета, построенная для данного числового примера с помощью фор­мулы (14). При R3 = Rp = 25 км решение от­сутствует, а при R3 = Rmin = 10 км - существует (см. рис. 3). Располагая априори этими сведе­ниями, оценим, как работают оба рассматриваемых метода расчета.

 

Рис. 3. Зависимость радиуса разворота от курса ИП на прямолинейном участке траектории полета

 

Результаты расчетов сведем в таблицы, которые содержат результаты расчетов кур­са γ1 на прямолинейном участке траектории полета, радиуса разворота R, длины прямо­линейного участка С , углов разворота α1, α2, рубежа L, функций f (γ1) и F (γ1).

В табл. 1 приведены данные для вновь предлагаемого метода ведущего парамет­ра с постоянным шагом ΔR = 2,5км при R3 = Rp = 25 км.

 

Таблица 1

Итерационный процесс с постоянным шагом ΔR = 2,5 км при R3 = Rp = 25 км

Номер итерации

Курс γ1, град

Радиус разво­рота R, км

f(γ1), км

F(γ1), км

С, км

α1 град

α2 град

L,

км

0

144,17

0

0

25,00

93,96

105,83

5,83

80,53

1

141,81

2,39

0

22,61

90,36

108,19

8,19

81,67

2

139,23

4,77

0

20,23

86,46

110,77

10,77

82,90

3

136,37

7,13

0

17,87

82,18

113,63

13,63

84,25

4

133,15

9,47

0

15,53

77,46

116,85

16,85

85,74

5

129,49

11,79

0

13,21

72,24

120,51

20,51

87,39

6

125,21

14,07

0

10,93

66,37

124,79

24,79

89,25

7

120,08

16,31

0

8,69

59,68

129,92

29,92

91,38

8

113,66

18,49

0

6,51

51,86

136,34

36,34

93,89

9

105,10

20,55

0

4,45

42,34

144,90

44,90

96,95

10

92,32

22,39

0

2,61

29,79

157,68

57,68

100,90

11

67,49

23,60

0

1,40

9,12

182,51

82,51

106,22

В табл. 2 приведены данные, получаемые на каждом шаге итерационного процесса с пе­ременным шагом для R3 = Rp = 25 км.

 

Таблица 2

Итерационный процесс с переменным шагом при R3 = Rp = 25 км

Метод

Номер итерации

γ1,
град

R, км

f(γ1), км

F(γ1), км

С, км

α1, град

α2, град

L, км

Новый (метод ведущего параметра)

0

144,17

0

0

25,00

93,96

105,83

5,83

80,53

1

120,61

16,10

0

8,90

60,36

129,39

29,39

91,17

2

98,30

21,68

0

3,32

35,44

151,70

51,70

99,14

3

74,44

23,47

0

1,53

14,60

175,56

75,56

105,09

 

Старый (постоянный радиус)

 

0

144,17

25,00

65,47

0

-

-

-

-

1

105,26

25,00

19,55

0

-

-

-

-

2

76,86

25,00

8,12

0

-

-

-

-

3

27,99

25,00

7,08

0

-

-

-

-

Из табл. 1, 2 следует, что новый ме­тод, несмотря на отсутствие решения при R3 = = Rp = 25 км, позволяет принять в качестве ре­шения задачи результаты, в наибольшей степени отвечающие заданным исходным данным, а именно γ1 = 74,44°, R = 23,47 км, C = 14,60 км, U1 = 175,56°, α2 = 75,56°, L = 105,09 км.

Траектория полета ИП, соответствующая этим данным, показана на рис. 1.

Старый метод не дает решения, так как значения курса γ1, получаемые в процессе ите­раций, не удовлетворяют уравнению (10).

В табл. 3 приведены данные, получаемые на каждом шаге итерационного процесса по­иска решения для R3 = Rmin = 10 км

 

Таблица 3

Итерационный процесс с переменным шагом при R3 = Rmin = 10 км

Метод

Номер итерации

γ1,
град

R, км

f(γ1), км

F(γ1), км

С, км

α1, град

α2, град

L, км

Новый (метод ведущего параметра)

0

144,17

0

0

10,00

93,96

105,83

5,83

80,53

1

134,75

8,35

0

1,65

79,79

115,25

15,25

85,00

2

132,48

9,92

0

0,08

76,49

117,52

17,52

86,04

3

132,36

10,00

0

0

76,32

117,64

17,64

86,10

Старый (постоянный радиус)

0

144,17

10,00

26,19

0

-

-

-

-

1

132,98

10,00

1,29

0

-

-

-

-

2

132,36

10,00

0,00

0

76,32

117,64

17,64

86,10

Из табл. 3 следует, что для R3 = Rmin = 10 км оба метода дают одинаковый результат.

Данный пример показывает, что новый подход позволяет не просто отказаться от излишних вычислений, но и найти более прием­лемое решение с точки зрения перегрузок, действующих на самолет.

Объем программы, реализующей пред­лагаемый метод, составляет 100 операторов языка С. При этом часть программы, выпол­няемой в цикле, составляют 25 операторов. Общий объем исполняемого файла с учетом исходных условий, подготовки данных и ор­ганизации вычислений составляет 30 Кбайт, что на 15 % меньше объема программы, применявшейся ранее [4].

Среднее по множеству задач время ре­шения задачи для предложенного метода на 30 % меньше, чем для ранее применявше­гося при ошибках вывода ИП в конечную точку траектории полета, не превышающих 10-2 км.

Результаты проведенного исследования:

  1. Разработан метод решения системы уравне­ний баланса для ИП и цели, который позволяет избежать выбора параметров траекторий по­лета ИП с необоснованно малыми радиусами разворота.
  2. Метод основан на выполнении итера­ций, в процессе которых изменяются радиус разворота и курс ИП на прямолинейном участ­ке траектории таким образом, что они удовлет­воряют уравнениям баланса.
  3. При наличии решения для задан­ного радиуса разворота метод позволяет най­ти точное решение задачи, а при его отсутст­вии - выбрать точное решение для другого радиуса разворота без выполнения дополнитель­ных вычислений.

Автор благодарит рецензентов за заме­чания, которые способствовали повышению аргументированности и качества изложения материала статьи.

Об авторе

А. Е. Феликсон
АО «Концерн ВКО «Алмаз - Антей»
Россия


Для цитирования:


Феликсон А.Е. Метод точного решения задачи ближнего наведения с двумя разворотами. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2018;(4):91-99.

For citation:


Felikson A.E. The method of exact solution of the problem of short-range guidance with two turns. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2018;(4):91-99. (In Russ.)

Просмотров: 52


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)