Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Эквивалентность некоторых схем построения адаптивной пространственной фильтрации в фазированных антенных решетках

Полный текст:

Аннотация

Доказано, что при адаптивной пространственной фильтрации в пространстве элементов в схеме с выделенным основным каналом результаты фильтрации не изменяются от того, включаются ли вспомогательные элементы в основной канал или нет. Доказано также, что в пространстве лучей однородная схема и схема с выделенным основным каналом эквивалентны

Для цитирования:


Кирякмасов А.К. Эквивалентность некоторых схем построения адаптивной пространственной фильтрации в фазированных антенных решетках. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(1):13-17.

For citation:


Kiryakmasov A.K. Equivalence of some schemes for constructing adaptive spatial filtering in phased antenna arrays. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(1):13-17. (In Russ.)

Введение

Наиболее известным вариантом схемы адаптив­ной пространственной фильтрации (АПФ) является однородная схема в пространстве эле­ментов (рис. 1), в которой в тракте каждого элемента имеется адаптивный регулируемый весовой коэффициент wi и выходной сигнал всей решетки у является весовой суммой вход­ных сигналов [1]:

у = wH x,                                                                                   (1)

где w - вектор весовых коэффициентов, w = (wi, ..., wN), определяемый соотношением (без учета нормировки):

w = R-1s;                                                                                   (2)

x - N-мерный (по числу элементов решет­ки) вектор сигналов с выходов элементов,

x = … (x1, x2, ..., xN)T

Здесь  корреляционная матрица (КМ)

входных сигналов;

s - опорный вектор, состоящий из единиц1;

()Н - знак эрмитова сопряжения;

- знак статистического усреднения.

При значительном числе элементов ре­шетки N объем вычислений по (2), пропорци­ональный N3, оказывается чрезмерно боль­шим, так что возникает проблема уменьшения объема вычислений посредством снижения размерности задачи.

 

Рис. 1. Однородная схема АПФ в пространстве эле­ментов

 

Возможными вариантами снижения раз­мерности задачи являются переход к схеме с выделенным основным каналом или к АПФ в пространстве лучей. В обоих случаях возмож­ны два варианта построения соответствующих схем АПФ. Целью настоящей работы является доказательство эквивалентности двух вариан­тов в каждом из этих случаев.

АПФ в схеме с выделенным основным каналом

В схеме с выделенным основным каналом адаптивные весовые коэффициенты включе­ны в тракты L элементов решетки (L < N), ко - торые могут быть названы вспомогательными каналами. При этом возможны два варианта построения: в первом случае в N -элемент­ной антенной решетке к основному каналу относятся N - L элементов (рис. 2, а), во вто­ром случае к основному каналу относятся все N элементов решетки (рис. 2, б), при этом адаптивными остаются L из них.

 

Рис. 2. Два варианта построения схемы АПФ с выде­ленным основным каналом:

а - N-L элементов в основном канале; б - N элементов в основном канале

 

В схеме с выделенным основным каналом весовой вектор определяется соотношением [2]:

w L = RL-1 a

где RL - КМ сигналов с выходов L адаптив­ных элементов, 

a - корреляционный вектор (КВ), 

у0 - сигнал с выхода основного канала;

( )* - знак комплексного сопряжения;

xL - L-мерный вектор сигналов с выходов адаптивных каналов.

Тогда результирующий весовой вектор для всей решетки при первом варианте по­строения схемы АПФ (см. рис. 2, а) выглядит следующим образом:

w1 = (w0, -wL1)                                                                      (4)

при втором варианте (см. рис. 2, б):

w2 = (w0, sL - wL2)                                                                 (5)

где w0 - фиксированный весовой вектор для N - L неадаптивных элементов;

sL - L -элементный опорный вектор, со­стоящий из единиц.

Покажем, что w1 = w 2. Очевидно, что КМ RL и ей обратная RL-1 будут одинаковыми для обоих вариантов, и в случае воздействия одно­го источника помехи они имеют вид:

при воздействии M источников:

где σ02 - мощность собственных шумов в эле­менте решетки;

σi2 - мощность i-го источника помехи в элементе решетки;

 - сигнальный вектор с адаптивных элементов, соответствующий i-му источнику помехи;

I - единичная матрица.

Последнее равенство в формуле (7) пред­ставляет собой рекуррентный алгоритм для нахождения обратной КМ.

Для двух вариантов схем КВ будет раз­ный в силу коррелированности или некоррелированности собственных шумов в основном и вспомогательном каналах. Для случая воздей­ствия одного источника помехи КВ равен для первого и второго вариантов соответственно:

при воздействии M источников:

где - сигнальный вектор с неадаптивных элементов, соответствующий i-му источнику помехи;

s0 - (N-L)-элементный опорный вектор, состоящий из единиц.

Подставляя формулы (6), (8), (9) в урав­нение (3), получим для первого варианта


для второго варианта

в первом случае векторы  и s0 являются (N-L)-элементными, а во втором - N-элемент­ными. Преобразуя выражение в скобках и при­водя подобные члены, соотношение (13) мож­но представить в виде

причем x01-H и S0 в выражении (14) являются уже (N-L)-элементными векторами.

Подставляя формулы (12) и (14) соответ­ственно в уравнения (4) и (5), получаем одина­ковые выражения для w1 и w 2.

Для случая воздействия M источников доказательство равенства векторов w1 и w2 проведем методом математической индукции. Для M-1 помех весовой вектор при первом и втором вариантах построения схемы будет ра­вен соответственно

Будем исходить из того, что w1 (M -1) = = w2 (M -1 .Тогда

Перепишем выражение (15) с учетом формулы (3) в виде

или, умножая обе части на RL (M -1),

Остается показать, что в случае M помех соотношение (16) также справедливо, т. е. что

Из выражений (7), (10), (11) следует, что

Подставляя формулы (18)-(20) в (17), получаем

В последнем выражении в левой части векторы  и S0 являются (N - L)-элемент­ными, в правой - N -элементными, что и до­казывает справедливость соотношения (17).

Пространство лучей

При АПФ в пространстве лучей проводит­ся переход от пространства элементов в про­странство лучей с помощью матрицы пре­образования B, столбцами которой являются ортонормированные векторы амплитудно-фа­зового распределения по раскрыву антенны для формирования соответствующих лучей. Другими словами, L-элементный вектор сиг­налов с выходов лучей xл, КМ Rл и опорный вектор sл в пространстве лучей формируются следующим образом:

где x - N-мерный вектор сигналов с выходов элементов;

R - КМ входных сигналов; s - опорный вектор в пространстве элемен­тов.

Ввиду ортогональности вспомогатель­ных лучей опорный вектор в пространстве лу­чей примет вид (для определенности элемент, относящийся к сигнальному лучу, расположен на первом месте):

sл =(√N, ...,0,0)T                                                                         (21)

Сформированные лучи соответству­ют L каналам обработки - их число меньше, чем число элементов N в решетке (L < N). Обычно один из каналов называют сигналь­ным, остальные L-1 каналов - компенса­ционными или вспомогательными. Такую схему называют также многоканальным автокомпенсатором [3, 4]. В пространстве лу­чей также возможны два варианта построения схемы АПФ: однородная схема (адаптивными являются все лучи на рис. 3, а) и схема с вы­деленным основным каналом, где основным (неадаптивным) каналом считается один вы­бранный луч (луч 1 на рис. 3, б).

 

Рис. 3. Два варианта построения схемы АПФ в про­странстве лучей: а - однородная схема; б - схема с выделенным основ­ным каналом

 

Оптимальное решение в однородной схе­ме в пространстве лучей выглядит следующим образом [5]:

В схеме с выделенным основным кана­лом в пространстве лучей по аналогии с АПФ в пространстве элементов весовой вектор можно записать в виде

где RL - корреляционная матрица сигналов с L адаптивных лучей;

aL - корреляционный вектор, ;

у0 - сигнал с выхода основного луча; xL - вектор сигналов с выходов L адаптив­ных лучей.

Общий (составной) весовой вектор в этом случае будет равен

wл = (1, wL)            (24)

Покажем эквивалентность выражений (22) и (24). В пространстве лучей в случае схемы с выделенным основным каналом чис­ло адаптивных весовых коэффициентов равно L-1, т. е. на единицу меньше общего числа лу­чей L. Поэтому матрицу RЛ-1 можно найти ме­тодом окаймления матрицы RL-1 [6]. Матрицу Rл запишем в виде

Тогда обратная матрица имеет вид

Подставляя формулу (25) в (22) и учиты­вая выражения (21) и (23), получим

что с точностью до нормировки совпадает с (24).

Заключение

Таким образом, доказана эквивалентность двух вариантов построения схемы АПФ в пространстве лучей и эквивалентность двух вариантов схемы АПФ с выделенным основ­ным каналом. Это определяет возможность проводить исследование только для одного из вариантов, а именно того, для которого это оказывается проще и удобнее в заданной ситуации.

Об авторе

А. К. Кирякмасов
АО «Всероссийский научно-исследовательский институт радиотехники»
Россия


Для цитирования:


Кирякмасов А.К. Эквивалентность некоторых схем построения адаптивной пространственной фильтрации в фазированных антенных решетках. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(1):13-17.

For citation:


Kiryakmasov A.K. Equivalence of some schemes for constructing adaptive spatial filtering in phased antenna arrays. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(1):13-17. (In Russ.)

Просмотров: 46


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)