Перейти к:
Эквивалентность некоторых схем построения адаптивной пространственной фильтрации в фазированных антенных решетках
https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-1-13-17
Аннотация
Ключевые слова
Для цитирования:
Кирякмасов А.К. Эквивалентность некоторых схем построения адаптивной пространственной фильтрации в фазированных антенных решетках. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(1):13-17. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-1-13-17
For citation:
Kiryakmasov A.K. Equivalence of some schemes for constructing adaptive spatial filtering in phased antenna arrays. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(1):13-17. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-1-13-17
Введение
Наиболее известным вариантом схемы адаптивной пространственной фильтрации (АПФ) является однородная схема в пространстве элементов (рис. 1), в которой в тракте каждого элемента имеется адаптивный регулируемый весовой коэффициент wi и выходной сигнал всей решетки у является весовой суммой входных сигналов [1]:
у = wH x, (1)
где w - вектор весовых коэффициентов, w = (wi, ..., wN), определяемый соотношением (без учета нормировки):
w = R-1s; (2)
x - N-мерный (по числу элементов решетки) вектор сигналов с выходов элементов,
x = … (x1, x2, ..., xN)T
Здесь корреляционная матрица (КМ)
входных сигналов;
s - опорный вектор, состоящий из единиц1;
()Н - знак эрмитова сопряжения;
- знак статистического усреднения.
При значительном числе элементов решетки N объем вычислений по (2), пропорциональный N3, оказывается чрезмерно большим, так что возникает проблема уменьшения объема вычислений посредством снижения размерности задачи.
Рис. 1. Однородная схема АПФ в пространстве элементов
Возможными вариантами снижения размерности задачи являются переход к схеме с выделенным основным каналом или к АПФ в пространстве лучей. В обоих случаях возможны два варианта построения соответствующих схем АПФ. Целью настоящей работы является доказательство эквивалентности двух вариантов в каждом из этих случаев.
АПФ в схеме с выделенным основным каналом
В схеме с выделенным основным каналом адаптивные весовые коэффициенты включены в тракты L элементов решетки (L < N), ко - торые могут быть названы вспомогательными каналами. При этом возможны два варианта построения: в первом случае в N -элементной антенной решетке к основному каналу относятся N - L элементов (рис. 2, а), во втором случае к основному каналу относятся все N элементов решетки (рис. 2, б), при этом адаптивными остаются L из них.
Рис. 2. Два варианта построения схемы АПФ с выделенным основным каналом:
а - N-L элементов в основном канале; б - N элементов в основном канале
В схеме с выделенным основным каналом весовой вектор определяется соотношением [2]:
w L = RL-1 a
где RL - КМ сигналов с выходов L адаптивных элементов,
a - корреляционный вектор (КВ),
у0 - сигнал с выхода основного канала;
( )* - знак комплексного сопряжения;
xL - L-мерный вектор сигналов с выходов адаптивных каналов.
Тогда результирующий весовой вектор для всей решетки при первом варианте построения схемы АПФ (см. рис. 2, а) выглядит следующим образом:
w1 = (w0, -wL1) (4)
при втором варианте (см. рис. 2, б):
w2 = (w0, sL - wL2) (5)
где w0 - фиксированный весовой вектор для N - L неадаптивных элементов;
sL - L -элементный опорный вектор, состоящий из единиц.
Покажем, что w1 = w 2. Очевидно, что КМ RL и ей обратная RL-1 будут одинаковыми для обоих вариантов, и в случае воздействия одного источника помехи они имеют вид:
при воздействии M источников:
где σ02 - мощность собственных шумов в элементе решетки;
σi2 - мощность i-го источника помехи в элементе решетки;
- сигнальный вектор с адаптивных элементов, соответствующий i-му источнику помехи;
I - единичная матрица.
Последнее равенство в формуле (7) представляет собой рекуррентный алгоритм для нахождения обратной КМ.
Для двух вариантов схем КВ будет разный в силу коррелированности или некоррелированности собственных шумов в основном и вспомогательном каналах. Для случая воздействия одного источника помехи КВ равен для первого и второго вариантов соответственно:
при воздействии M источников:
где - сигнальный вектор с неадаптивных элементов, соответствующий i-му источнику помехи;
s0 - (N-L)-элементный опорный вектор, состоящий из единиц.
Подставляя формулы (6), (8), (9) в уравнение (3), получим для первого варианта
для второго варианта
в первом случае векторы и s0 являются (N-L)-элементными, а во втором - N-элементными. Преобразуя выражение в скобках и приводя подобные члены, соотношение (13) можно представить в виде
причем x01-H и S0 в выражении (14) являются уже (N-L)-элементными векторами.
Подставляя формулы (12) и (14) соответственно в уравнения (4) и (5), получаем одинаковые выражения для w1 и w 2.
Для случая воздействия M источников доказательство равенства векторов w1 и w2 проведем методом математической индукции. Для M-1 помех весовой вектор при первом и втором вариантах построения схемы будет равен соответственно
Будем исходить из того, что w1 (M -1) = = w2 (M -1 .Тогда
Перепишем выражение (15) с учетом формулы (3) в виде
или, умножая обе части на RL (M -1),
Остается показать, что в случае M помех соотношение (16) также справедливо, т. е. что
Из выражений (7), (10), (11) следует, что
Подставляя формулы (18)-(20) в (17), получаем
В последнем выражении в левой части векторы и S0 являются (N - L)-элементными, в правой - N -элементными, что и доказывает справедливость соотношения (17).
Пространство лучей
При АПФ в пространстве лучей проводится переход от пространства элементов в пространство лучей с помощью матрицы преобразования B, столбцами которой являются ортонормированные векторы амплитудно-фазового распределения по раскрыву антенны для формирования соответствующих лучей. Другими словами, L-элементный вектор сигналов с выходов лучей xл, КМ Rл и опорный вектор sл в пространстве лучей формируются следующим образом:
где x - N-мерный вектор сигналов с выходов элементов;
R - КМ входных сигналов; s - опорный вектор в пространстве элементов.
Ввиду ортогональности вспомогательных лучей опорный вектор в пространстве лучей примет вид (для определенности элемент, относящийся к сигнальному лучу, расположен на первом месте):
sл =(√N, ...,0,0)T (21)
Сформированные лучи соответствуют L каналам обработки - их число меньше, чем число элементов N в решетке (L < N). Обычно один из каналов называют сигнальным, остальные L-1 каналов - компенсационными или вспомогательными. Такую схему называют также многоканальным автокомпенсатором [3, 4]. В пространстве лучей также возможны два варианта построения схемы АПФ: однородная схема (адаптивными являются все лучи на рис. 3, а) и схема с выделенным основным каналом, где основным (неадаптивным) каналом считается один выбранный луч (луч 1 на рис. 3, б).
Рис. 3. Два варианта построения схемы АПФ в пространстве лучей: а - однородная схема; б - схема с выделенным основным каналом
Оптимальное решение в однородной схеме в пространстве лучей выглядит следующим образом [5]:
В схеме с выделенным основным каналом в пространстве лучей по аналогии с АПФ в пространстве элементов весовой вектор можно записать в виде
где RL - корреляционная матрица сигналов с L адаптивных лучей;
aL - корреляционный вектор, ;
у0 - сигнал с выхода основного луча; xL - вектор сигналов с выходов L адаптивных лучей.
Общий (составной) весовой вектор в этом случае будет равен
wл = (1, wL) (24)
Покажем эквивалентность выражений (22) и (24). В пространстве лучей в случае схемы с выделенным основным каналом число адаптивных весовых коэффициентов равно L-1, т. е. на единицу меньше общего числа лучей L. Поэтому матрицу RЛ-1 можно найти методом окаймления матрицы RL-1 [6]. Матрицу Rл запишем в виде
Тогда обратная матрица имеет вид
Подставляя формулу (25) в (22) и учитывая выражения (21) и (23), получим
что с точностью до нормировки совпадает с (24).
Заключение
Таким образом, доказана эквивалентность двух вариантов построения схемы АПФ в пространстве лучей и эквивалентность двух вариантов схемы АПФ с выделенным основным каналом. Это определяет возможность проводить исследование только для одного из вариантов, а именно того, для которого это оказывается проще и удобнее в заданной ситуации.
Рецензия
Для цитирования:
Кирякмасов А.К. Эквивалентность некоторых схем построения адаптивной пространственной фильтрации в фазированных антенных решетках. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(1):13-17. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-1-13-17
For citation:
Kiryakmasov A.K. Equivalence of some schemes for constructing adaptive spatial filtering in phased antenna arrays. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(1):13-17. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-1-13-17