Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Математическое моделирование и вычислительные алгоритмы в радиотехнических системах

Полный текст:

Аннотация

Разработаны компьютерные программы поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей, градуировочных характеристик измерительных систем и датчиков с повышенными точностными характеристиками и быстродействием. Произведена взаимная компенсация составляющих погрешностей результата. Оптимизирован набор алгоритмов для вычисления функции arcsin( x )

Для цитирования:


Чекушкин В.В., Михеев К.В., Жиганов С.Н., Быков А.А. Математическое моделирование и вычислительные алгоритмы в радиотехнических системах. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(1):98-104.

For citation:


Chekushkin V.V., Mikheev K.V., Zhiganov S.N., Bykov A.A. Mathematical modelling and computational algorithms in radio engineering systems. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2017;(1):98-104. (In Russ.)

Введение

Переход на цифровые методы обработки ин­формации предполагает оптимизацию мето­дов реализации функциональных зависимо­стей, определяющих характеристики специализированных вычислителей (СВ) радиотех­нических систем [1, 2]. Правильный выбор физических эталонов, узлов интерполяции по­линомов наилучшего приближения Чебышёва при калибровке обеспечивает повышение точностных характеристик измерительных систем, находящихся в эксплуатации [3, 4], в несколько раз. Высокая эффективность СВ достигается за счет упрощения, адаптации вычислительных алгоритмов к более узкому классу задач и требований по точности пу­тем минимизации разрядных сеток [2, 5, 6]. Так, например, измерительный канал с вось­миразрядными аналого-цифровыми преобра­зователями (АЦП) и СВ при использовании специальных методов обработки информации могут обеспечить погрешность результата δρ менее единицы (1/256) младшего разряда представления выходной информации в дво­ичной системе, т. е. соответствовать прибору с приведенной относительной погрешностью 0,195 % класса точности 0,2/0,1.

В СВ для приближения стандартных функций, воспроизведения рабочих эталонов, калибровки измерительных систем широко применяется полиномиальный метод. Аппроксимируем функцию f (x) с помощью полино­ма степени n

При этом ограничение числа операций и устранение избыточной точности результата достигается путем ограничения числа членов в полиноме (1), начиная с (n + 1)-й степени, исходя из оценки максимального значения по­грешности метода δmax м в полиноме Чебышёва

Здесь  - производная   (n +1) -го порядка на интервале аппроксимации;

f (x) - Ln (х) = δτ - текущая погрешность метода воспроизведения функции.

Необходимо проводить оптимизацию ко­эффициентов полинома, когда имеет место изменение значений производной f[ я+1]( x). Важно правильно выбрать интервал аппрок­симации в полиноме (1) [2, 7, 8].

Улучшению методов воспроизведения типовых функциональных зависимостей, ис­пользуемых в вычислительных процедурах ос­новных алгоритмов работы радиолокационных устройств, с позиций оптимизации критериев вычислительного процесса (точностных ха­рактеристик, быстродействия и программно­аппаратных затрат) посвящен ряд работ [2, 6-8]. Однако в указанных работах по большей степени рассмотрены конечные результаты со­вершенствования непосредственно численных методов воспроизведения типовых функцио­нальных зависимостей, не приведены конкрет­ные методы математического моделирования, компьютерной математики, которая развивается как научное направление на стыке мате­матики и информатики. Кроме того, в них не рассмотрены вопросы уменьшения времени для реализации компьютерных программ по­иска оптимальных алгоритмов.

Цель работы - разработка быстродей­ствующих компьютерных программ поиска полиномов наилучшего приближения для вос­произведения функциональных зависимостей, градуировочных характеристик информаци­онно-измерительных систем с повышенны­ми точностными характеристиками, быстро­действием и ограниченным числом разрядов представления информации в СВ.

Совершенствование методов моделирования и оптимизации вычислительных алгоритмов

На первом этапе оптимизация процесса вы­числения полинома (1) производится путем минимизации числа вычислительных опера­ций А и числа обращений к памяти m при за­данных значениях погрешности δmax. м.

Поиск проводится в соответствии со стратегией максимальной идентичности гра­фиков функции f (x) или преобразователь­ной характеристики датчика измерительной системы и приближающего полинома Ln (х) [7, 8]. При этом исключаются неэффектив­ные, оказывающие меньшее влияние на зна­чение погрешности δmaxм члены ряда ai xi , константы ai, например, когда задаются а0 = 0, а1 = 1, используются только четные (нечетные) члены ряда и т. п. В усеченном полиноме наилучшего приближения Ln (x) с m < n +1 оставшимися константами ai на интервале аппроксимации обеспечивает­ся, по крайней мере (m +1) точек, в кото­рых с учетом неустранимых погрешностей Δδmaxм погрешности δmaxм принимают рав­ные максимальные значения +(δmaxм ± Δδmaxм ) и -(δmaxм ± Δδmaxм ) (рис 1). По сравнению с полиномом (1) для уменьшения числа членов, констант полинома требуется меньшее число операций, узлов аппроксимации и физиче­ских эталонов, как при вычислении функций, так и при калибровке измерительного канала системы.

 

Рис. 1. Окно программы поиска полиномов наилучшего приближения

 

При компьютерном моделировании обе­спечивается возможность получить полиномы наилучшего приближения, например, с 16 де­сятичными цифрами результата. В то же время уже с тремя десятичными верными цифрами фактически можно обеспечить десятиразряд­ное представление результата в двоичной си­стеме счисления. Такое представление потен­циально обеспечивает возможность получить приведенную относительную погрешность ре­зультата порядка 0,05-0,1 %. В измерительном канале с аналоговым датчиком, работающим на восьмиразрядном АЦП, принципиально можно уменьшить приведенную относитель­ную погрешность системы обработки инфор­мации до значений 2-9 · 100...2-8 · 100 %.

Работающие с датчиками и системами АЦП имеют примерно равный двум двоич­ным разрядам дискрет приращения разряд­ности. Для оптимизации аппаратурных за­трат путем устранения избыточной точности СВ, реализуемые на программируемых ло­гических интегральных схемах (ПЛИС), це­лесообразно проектировать с переменной и минимальной разрядностью. При меньшем числе разрядов существенно снижаются про­граммно-аппаратурные затраты на реализацию ПЛИС и повышается быстродействие СВ. По этим причинам актуально уменьшение разряд­ных сеток операндов СВ при приемлемом со­хранении заданных точностных характеристик систем в целом. Однако в реальных условиях при обработке информации, воспроизведе­нии функций возникает дополнительная со­ставляющая погрешности δк, обусловленная квантованием констант полинома с урезанием разрядных сеток в полиноме (1): δк = Δα + + Δα х + Δα x2 + ... + Δα xn.

Обеспечим уменьшение погрешности δΓ, на выходе СВ системы, определяемой как сум­ма погрешностей метода δм квантованного представления δαί набора констант ai, промежуточных преобразований δпр с ограничен­ным числом разрядов в форматах данных СВ. В связи с этим на втором этапе оптимизации вычислительного алгоритма производится та­кое сокращение разрядных сеток СВ, чтобы погрешность результата не увеличивалась бо­лее чем на 5-10 % от погрешности δmax . м. При возрастании значений аргумента график по­грешности δm полинома наилучшего прибли­жения в полиноме (1) представляет знакочере­дующуюся функцию (см. рис. 1). Его формой можно управлять, меняя узлы аппроксимации или коэффициенты в полиноме. Значения по­грешностей урезания констант ai определя­ют степень наклона линейной функции aix и растяжения парабол aixi и монотонно воз­растают по абсолютной величине с ростом аргумента E. В то же время в совокупности графики комбинаций парабол с разным зна­ком, например, y = ∆a3x3 -∆a1X1, функции δк = = Δα0р + Δαx + Δαx2 + ... + Δαxn при опре­деленных соотношениях квантованного пред­ставления δαί набора констант at могут напо­минать графики погрешностей аппроксима­ции полиномом наилучшего приближения (см. рис. 1), в том числе и с противоположными знаками.

Из анализа графиков совместного влияния составляющих погрешностей на погрешность δρ разрабатываются алгоритмы взаимной ком­пенсации составляющих погрешности резуль­тата. В определенных пределах эти погрешно­сти с использованием методов математического моделирования искусственно можно сделать с разными знаками и «спрятать» друг в друга.

Компенсацию можно реализовать мето­дом простого перебора всех возможных вза­имных комбинаций отклонений констант в пределах определенного числа последних отбрасываемых цифр с фиксацией каждый раз наименьшего значения δр. Общее число ком­бинаций составляет j = sm (где m < n - ко­личество коэффициентов полинома; s - число перебираемых вариантов для одной констан­ты ai), но при таком подходе при s = 1000 и m = 7 получим 10007 вариантов перебора. Для значительного уменьшения числа вариантов перебора (итераций) осуществляется после­довательное урезание одной или определен­ного числа разрядных цифр с последующей проверкой только максимального значения погрешности и сравнения ее с ранее полу­ченным значением δmax . м. Поиск полиномов с урезанием разрядных сеток операндов про­водится до таких критических минимальных значений числа значащих цифр констант, ког­да их последовательное сокращение еще не оказывает практического влияния на погреш­ность δρ (например, увеличение δρ по сравне­нию с δmax. м на 1-2 %). После этого урезается еще одна разрядная цифра, определяется число итераций комбинаций (в данном случае 107 ) и запускается цикл перебора массива пробных коэффициентов (рис. 2).

 

Рис. 2. Алгоритм минимизации числа разрядов для расчета коэффициентов полинома

 

Этот цикл выполняется методом прямо­го перебора по всем возможным комбинаци­ям значений коэффициентов. Для очередной итерации определяется максимальная погреш­ность, которая сравнивается с предыдущим значением. Коэффициенты с меньшим значе­нием погрешности запоминаются. По оконча­нии цикла фиксируются коэффициенты с наи­меньшим значением погрешности результата. Если значение погрешности δp превышает зна­чение δmaxм на 5-10 %, то число разрядных цифр увеличивается на 1. С помощью разра­ботанного графического интерфейса резуль­таты моделирования с параметрами полинома и графика погрешности выводятся на экран. 

В соответствии с вышеизложенным, были разработаны методы поиска полиномов наилучшего приближения в средах програм­мирования MathCad, Delphi, Builder C+ + [8]. Перед проведением эксперимента вводится количество членов полинома (например, 3), аппроксимируемая функция (arcsin(x)), нача­ло и конец интервала (0 и π/4), определяется наличие только членов полинома с нечетной степенью. Под надписью «Экстраполяция» находится указатель «Есть», который обозна­чает присутствие члена полинома а0. В следу­ющем за этой надписью окне задается число десятичных цифр после запятой. Командой «Пуск» задается полином Ньютона, а с помо­щью команды «Улучш.» он превращается в по­лином наилучшего приближения. В програм­ме предусмотрена последующая компенсация составляющих погрешностей результата при урезании разрядных сеток.

Оптимизированный набор алгоритмов вычисления функции arcsin (л)

Специализированные вычислители широко используются в приборах для генерации гар­монических сигналов, в быстродействующих цифровых вычислительных синтезаторах с аппаратурной реализацией воспроизведения функций sin(x), tg(x), arcsin(x) [8]. Для вы­числения функции arcsin (x) одного полино­ма при изменении значения аргумента x от -1 до 1 для максимальных значений погреш­ностей аппроксимации δmaxм в диапазоне 0,15-0,0015 обеспечивается незначительное приращение числа значащих цифр результа­та на одну операцию при последовательном увеличении степени полинома с первой до девятой и выше. Исходя из этого, для поиска набора полиномов с большим увеличением значений приращения числа двоичных цифр результата на одну операцию был исследован интервал [0; 0,707].

В соответствии с разработанными алго­ритмами поиска полинома наилучшего при­ближения для функции arcsin(x) в интерва­ле значений аргумента [0; 0,707] при часто используемой на практике области значений угла [0°; 45°] для диапазона 2,09851 10-2­6,229703 10-9 погрешностей δmaxм получены полиномы с нечетными степенями (табл. 1). Уменьшение погрешности для полинома тре­тьей степени по сравнению с полиномом пер­вой степени составит 20,98/1,6 = 13,1. Тогда для полиномов пятой степени по сравнению с третьей степенью уменьшение погреш­ности составит 16,02/1,628 = 9,84, седьмой степени по сравнению с пятой степенью - 16,28/1,897 = 8,582, девятой степени по срав­нению с седьмой степенью - 18,97/2,392 = = 7,93, 11-й степени по сравнению с девятой степенью - 23,92/3,188 = 7,5. В среднем име­ем приращение порядка одной разрядной дво­ичной цифры на одну операцию. Проведено исследование возможности уменьшения дис­крета приращения числа операций путем фак­тического исключения константы ai в полино­ме (принимаем ах = I, полином № 2' в табл. 1).

 

Таблица 1

Полиномы вычисления функции arcsin (х) на интервале x е [0; 0,707]

Формулы полиномов

Максимальная погрешность

Количество операций

A + m

A

1

а0 = 0, а1 ≠ 1

P(x) = 1,08x

2,09 10-2

4

2

2

а0 = 0, а1 ≠ 1

P(x) = x(0,9895 + 0,2379x2)

1,60 10-3

6

4

2'

а0 = 0, а1 ≠ 1

P(x) = x + 0,2379x3

7,96 10-3

5

3

3

а0 = 0, а1 ≠ 1

P(x) = x(1,0015 + x2 (0,1453 + 0,1454x2))

1,62 10-4

9

6

4

а0 = 0, а1 ≠ 1

P(x) = x(0,99977 + x2(0,17219 + x2(0,04023 + 0,11817x2)))

1,8910-5

12

8

В данном случае уменьшение числа операций на 1 обеспечивает уменьшение погрешности по сравнению с полиномом первой степени только в 20,98/1,96 = 2,63 раза.

Для поиска полиномов с возможным большим увеличением значения приращения числа двоичных цифр результата на одну опе­рацию интервал [0; 0,707] был разбит на два подынтервала с двумя полиномами от первой до седьмой степени с примерно одинаковы­ми погрешностями δmax м на подынтервалах (табл. 2). Для двух полиномов первой степени не обеспечено уменьшение погрешности δmax м по сравнению с полиномом третьей степени P(x) = x(0,9895 + 0,2379x2) с одним интерва­лом интерполяции и одинаковым количеством операций, равным 6. В то же время для двух полиномов седьмой степени с общим числом операций, равным 16, максимальное значение погрешности составит 5,35 10-7.

 

Таблица 2

Полиномы вычисления функции arcsrn(x) с разбиением на подынтервалы

Интервал

Формула полинома

δMM

1

[0; 0,475]

P(x) = 1,042x - 0,004

3,9810-3

[0,475; 0,707]

P(x) = 1,251x - 0,103

2

[0; 0,499]

P(x) = 0,0001 + x(0,9973 + 0,1968x2)

1,6610-4

[0,499; 0,707]

P(x) = 0,0371 + x(0,8885 + 0,3389x2)

3

[0; 0,511]

P(x) = -8,92 · 10-6 + x(1,00021 + x2 (0,16238 + 0,10272x2))

8,90 10-6

[0,511; 0,707]

P( x) = -0,01662 + x(1,05802 + x2 (0,02646 + 0,25181x2))

В результате удалось обеспечить взаим­ную компенсацию составляющих погрешно­стей для уменьшения разрядных сеток операн­дов. Для полинома 15-й степени

без компенсации погрешность составила δр = = 7,83 · 10-8.

С компенсацией для полинома она равна δρ = 6,2 · 10-9, т. е. погрешность уменьшилась в 7,83 · 10-8/6,2 · 10-9 = 12 раз.

Введение сокращенного интервала для значений угла от 0° до 45° обеспечивает при­ращение одной двоичной цифры результата на одну операцию, что примерно в 3 раза больше приращения для значений углов от 0° до 90°. При взаимной компенсации составляющих погрешностей результата обеспечено умень­шение разрядных сеток операндов для поли­номов седьмой степени и выше примерно на два-три двоичных разряда.

Заключение

В средах программирования MathCad, Delphi, Builder C++ разработаны программы поис­ка полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимо­стей с взаимной компенсацией составляющих погрешностей результата. Созданы алгорит­мы вычисления функции arcsin(x) с устра­нением избыточной точности путем обеспе­чения последовательного дискретного при­ращения 1-3 двоичных цифр результата при возрастании сложности алгоритмов не более чем на 2-5 операций в диапазоне представ­ления выходных данных приборов и систем 3-32 двоичными разрядами. Математическое моделирование вычислительных алгоритмов обеспечило сокращение разрядных сеток СВ на 2-5 двоичных разряда.

Список литературы

1. Ларионов В.А. Концепция калибровки интеллектуальных датчиков // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика.2012. № 12. С. 46-51.

2. Гришин В.Ю., Пантелеев И.В., Чекушкин В.В. Совершенствование методов, математических моделей реализации вычислительных процессов в радиолокационных системах // Вестник воздушно-космической обороны. 2014. № 3. С. 25-29.

3. Аверьянов А.М., Чекушкин В.В. Метод поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей калибровки датчиков и измерительных систем // Датчики и системы. 2009. № 3. С. 2-6.

4. Чекушкин В.В., Алексеева Л.Г. Коррекция погрешностей в измерительных приборах // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2008. № 5. С. 38-43.

5. Caro D., Petra N., Strollo A. Direсt digital frequency synthesizer using nonuniform piece-wise-linear approximation // IEE Trans. Circuit Syst. I, Reg. Papers. 2011. Vol. 58. No. 10. Pp. 2409-2419.

6. Чекушкин В.В., Михеев К.В., Пантелеев И. В. Совершенствование полиномиальных методов воспроизведения функциональных зависимостей в информационно-измерительных системах // Измерительная техника. 2015.№ 4. С. 16-21.

7. Чекушкин В.В., Михеев К.В. Быстродействующие алгоритмы поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей в информационно-измерительных системах // Измерительная техника. 2016. № 4. С. 7-10.

8. Чекушкин В.В., Михеев К.В. Программа поиска полиномов наилучшего приближения для воспроизведения функциональных зависимостей с взаимной компенсацией составляющих погрешностей результата. Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ № 2015610539. 13.01.2015.


Об авторах

В. В. Чекушкин
Муромский институт (филиал) федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
Россия


К. В. Михеев
АО «Муромский завод радиоизмерительных приборов»
Россия


С. Н. Жиганов
Муромский институт (филиал) федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
Россия


А. А. Быков
Муромский институт (филиал) федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
Россия


Для цитирования:


Чекушкин В.В., Михеев К.В., Жиганов С.Н., Быков А.А. Математическое моделирование и вычислительные алгоритмы в радиотехнических системах. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(1):98-104.

For citation:


Chekushkin V.V., Mikheev K.V., Zhiganov S.N., Bykov A.A. Mathematical modelling and computational algorithms in radio engineering systems. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2017;(1):98-104. (In Russ.)

Просмотров: 94


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)