Исследование динамических характеристик трехлинейного регулятора расхода

Введение

Трехлинейные регуляторы расхода золотнико­вого типа (далее - ЗРР) широко применяются в гидроприводах с дроссельным регулированием для ограничения объемного расхода, подавае­мого к исполнительным органам в широком диапазоне нагрузок. В зависимости от назна­чения гидропривода и условий нагружения к ЗРР могут предъявляться различные требо­вания по устойчивости и быстродействию. В большинстве случаев при использовании ЗРР в гидроприводах грузоподъемных машин специальных требований к быстродействию не предъявляется, однако при этом должна быть обеспечена устойчивость работы регулятора.

Рассматриваемый ЗРР применяется в гидроприводе высокой грузоподъемности, не требующем высокого быстродействия. При функционировании привода, в состав которого входит ЗРР, в некоторых случаях наблюдались посторонние шумы в гидросистеме, вызванные колебаниями подвижных элементов ЗРР. Уро­вень акустического шума и колебания давления, наблюдаемые при этом, позволяют говорить о резонансных явлениях в гидросистеме и ЗРР.

Известно, что неустойчивая работа ЗРР может быть обусловлена резонансными явле­ниями, возникающими вследствие:

• ошибочно выбранных геометрических и физических характеристик элементов ЗРР (жесткость пружины, условия перекрытия дроссельной щели в золотниковой паре, гид­равлическое демпфирование и т. д.);
• колебаний объемного расхода и дав­ления в напорной линии, вызванных работой насоса;
• колебаний нагрузки на исполнительном органе гидропривода;
• действия на исполнительный элемент - золотник - внутренних возмущающих сил (турбулентность потока, кавитация, условия трения в золотниковой паре и т. д.).

В настоящей статье приведены резуль­таты работы, являющейся развитием исследо­вания [1], по поиску зон устойчивости ЗРР к колебаниям давления при различном геомет­рическом исполнении золотника.

Описание динамической модели

На рис. 1 приведена расчетная схема динами­ческой модели работы ЗРР. При ее построении были сделаны следующие допущения:

• гидродинамические силы и силы тре­ния в золотниковой паре, действующие на зо­лотник, малы по сравнению с другими силами;
• жидкость несжимаема.

В качестве математического описания демпферов Д1 и Д2 были рассмотрены две модели [2]:

1. квадратичная для отверстия в тонкой стенке: 
2. линейная для истечения через длин­ную щель: 

Исследование устойчивости ЗРР прово­дилось для трех решений геометрии золотни­ка, приведенных на рис. 2 [1].

Зависимости коэффициента местного сопротивления дроссельной щели в золотни­ковой паре от положения золотника А₁(х) для первого варианта:

для третьего варианта:

в общем виде:

А₁( х) = k_ix ^-2,

где ζ - коэффициент расхода, при расчетах ζ = 2 [2];

ρ - плотность рабочей жидкости, при рас­четах р= 860 кг/м³;

α, - угол канавки золотника, для второго варианта α₂ = 30°, для третьего - α₃ = 45°; i - номер варианта.

Соответствующая описанной расчетной схеме динамическая математическая модель ЗРР представляет собой систему дифференци­ально-алгебраических уравнений:

где m - масса золотника;

- ускорение золотника;

Р_п1, Р_п2 - давление в подпоршневых полос­тях золотника;

Q_п1, Q_п2 - объемный расход из подпоршне- вых полостей золотника, вызванный его дви­жением;

Ад₁, Ад₂, Вд₁, Вд₂ - коэффициенты сопротив­ления квадратичных и линейных демпфирую­щих дросселей. В оригинальной конструкции ЗРР линейный демпфирующий дроссель Д2 не предусмотрен, однако в математическую модель коэффициенты A_п2 и B_п2 введены для оценки влияния его возможной установки;

х - скорость золотника.

Линеаризация модели

Системы (1) и (2) являются системами нели­нейных дифференциальных уравнений. Для исследования устойчивости необходимо при­вести их к линейному виду. В данной работе для линеаризации системы уравнений был применен метод малых отклонений.

Введем обозначения: р₂, р - входные пере­менные; х - выходная переменная; р_2.0, р₀, х₀ - значения переменных в точке линеаризации; р'₂, р', х' - малые отклонения в окрестностях точки линеаризации. Дальнейшие выражения за­писаны применительно к системе уравнений (1).

Согласно исследованию [3], если раз­ложить нелинейную функцию F (u, y, t) в ряд Тейлора в окрестностях значений u₀, y₀ и от­бросить слагаемые, содержащие отклонения u' и у' в степени выше первой, то получится:

Первое уравнение системы (1) с учетом уравнений для демпферов Д1, Д2 и расходов Q_п1 и Q_п2 примет вид:

Тогда после линеаризации

Так как точка линеаризации определя­ет равновесное положение системы, то , , а сумма сил, действующих на золотник в точке линеаризации, тоже равна нулю, то 

Тогда уравнение примет вид

Второе уравнение системы (1), уравне­ние расходов, с учетом выражений для Q₁ , Q₂ и Q_п1 будет выглядеть следующим образом:

где 

Тогда после применения уравнения (5)

Так как точка линеаризации определяет равновесное положение системы, то

Запишем линеаризованное уравнение  

Выразив из уравнения р', получим

С учетом уравнения (7) выражение (6) принимает вид

или

Приведя уравнение (8) к стандартному виду, получим

Линеаризация системы (4) может быть проведена аналогичным образом. Тогда сис­тема уравнений (4) может быть приведена к уравнению вида

Уравнения (9) и (10) отличаются друг от друга только коэффициентами при переменной X' (a₂ и a₂₂), следовательно, при принятых до­пущениях квадратичные демпферы, описывае­мые как местное сопротивление, согласно урав­нению (1), не влияют на устойчивость системы.

Учитывая однотипность уравнений (9) и (10), далее опустим обозначение коэффициен­та a₂₂ и заменим его на a₂ .

Для анализа устойчивости систем, опи­сываемых уравнениями (9) и (10), использо­вался частотный критерий Найквиста.

Обозначим: s - комплексная переменная в пространстве изображений, X(s) - функция- изображение, соответствующая функции-оригиналу x(t), P₂(s)- функция-изображе­ние, соответствующая функции-оригиналу P₂(t). Тогда после перехода в пространство изображений и преобразований к стандарт­ному виду уравнения (9) и (10) примут сле­дующий вид:

На рис. 3, а приведена структурная схема ЗРР с отрицательной обратной связью с коэф­фициентом обратной связи K_о.с.

На рис. 3, б показана структурная схема ЗРР, приведенная к виду с единичной обратной связью. Передаточная функция такой системы следующая:

Исследование устойчивости

Исследование устойчивости ЗРР проводи­лось для условий его работы с параметрами Р_2.0 = (1, 5, 12, 20) МПа, р_1.0 = 0 Па, A₂ = 7,2 х х 1013 кг/м⁷, В_д1 = 0, Вд₂ = 1,379 · 10¹²кг/(м⁴ ·с). Точки линеаризации (р_2.0, р₀, х₀), для которых определялась устойчивость системы, были вы­числены с использованием статической модели работы ЗРР [1]:

Согласно критерию устойчивости Най- квиста, замкнутая система устойчива, если устойчива эквивалентная ей разомкнутая сис­тема и ее амплитудно-фазовая частотная харак­теристика (АФЧХ) не огибает точку (-1,j₀) [4].

Проведенный анализ показал устойчи­вость разомкнутой системы с передаточной функцией (12) по критерию Гурвица.

Результаты построения АФЧХ системы с передаточной функцией (12) приведены на рис. 4.

Из графиков на рис. 4 следует, что ни в одном из рассмотренных случаев АФЧХ ра­зомкнутой системы 12 не огибает точку (-1, j₀), значит система (11) устойчива. Кроме того, наи­больший запас устойчивости как по амплитуде, так и по фазе имеют АФЧХ-системы с геомет­рией варианта 1 и линейным демпфером.

Заключение

Проведенный анализ устойчивости ЗРР позво­ляет заключить, что при принятых допущениях:

• ЗРР рассматриваемой конструкции со­храняет устойчивость при нестационарной характеристике давления на нагрузке р₂ и на входе р;
• все рассмотренные варианты геомет­рии золотника не являются причиной неустой­чивой работы ЗРР.

Также результаты работы показали, что на устойчивость работы ЗРР фактически не влияют демпферы, математическое описание которых аналогично описанию местного сопротивления (диафрагма, отверстие в тонкой стенке). При этом демпферы, описываемые линейной зависимостью давления от расхода (щелевое отверстие), оказывают значительное влияние на запас устойчивости ЗРР.

По результатам исследования можно за­ключить, что ни колебания входного давления или расхода, ни геометрические параметры ЗРР не являются причинами его неустойчивой ра­боты и их следует искать во внутренних факторах - воздействие внутренних гидродинами­ческих сил и условия трения в золотниковой паре.

При подготовке и разработке методики исследования также использовались источни­ки [5-7].