Математическое описание движения и оценка маневренных возможностей кинетического перехватчика с двигателем поперечного управления

Введение

В настоящее время в литературе по внешней баллистике и методам наведения ракет (см., например, [1-4]) достаточно детально описа­ны уравнения движения ракет в атмосфере с использованием аэродинамических методов управления полетом (за счет применения аэ­родинамических рулей и управления подъ­емной силой набегающего потока воздуха). С меньшей детализацией дается описание дви­жения при газодинамическом управлении по­летом - за счет использования газовых рулей, располагаемых в сопле двигателя ракеты, а также поворота сопла. При этом в известной литературе не приведены в явном виде уравне­ния движения для получившего широкое рас­пространение в ряде зарубежных комплексов противоракетной обороны метода управления полетом боевых ступеней ракет (кинетических перехватчиков) за счет применения двигателя поперечного управления полетом. Кроме того, оценку маневренных возможностей ракет (зе­нитных, наводимых на воздушные цели) в ли­тературе принято выполнять исходя из посыл­ки о равноускоренном движении ракеты, что для кинетического перехватчика, движение которого на заключительном этапе полета осу­ществляется при непрерывном расходовании топлива, ведущем к интенсивному изменению располагаемых ускорений, может привести к значимым погрешностям оценивания возмож­ностей по выбору промаха.

В настоящей статье получены основные соотношения для математического описания движения кинетического перехватчика в вер­тикальной плоскости с применением двигате­ля поперечного управления полетом, а также соотношения для оценки маневренных воз­можностей перехватчика, учитывающие не­равномерность его движения. Такой подход позволяет исследовать движение и оценивать маневренные возможности перехватчика на начальных стадиях проектирования. Использо­вание более сложных математических моделей движения может затруднить анализ особен­ностей управления движением и результаты моделирования.

Описание функционирования кинетического перехватчика с двигателем поперечного управления

Принцип использования двигателей попе­речного управления для управления полетом ракеты заключается в создании тяги и за счет этого перемещении корпуса ракеты в направ­лении, перпендикулярном ее продольной оси, без изменения направления самой оси. В цен­тре масс ракеты по периметру корпуса рас­полагаются несколько сопел двигателя, оси сопел ориентированы перпендикулярно про­дольной оси. Продукты сгорания двигателя попадают в то или иное сопло в зависимости от требуемого направления смещения корпу­са ракеты. Вектор тяги двигателя Р_дпу направ­лен противоположно открытому в данный мо­мент соплу или равнодействующей несколь­ких одновременно открытых сопел.

Двигатели поперечного управления при­меняются, как правило, в поражающих сту­пенях (кинетических перехватчиках) проти­воракеты, например, в поражающей ступени противоракеты THAAD (рис. 1), перехватчике LEAP типоряда противоракет SM-3, перехват­чике EKV противоракеты GBI (США).

Двигатели поперечного управления мо­гут быть жидкостными (THAAD, EKV) или твердотопливными (LEAP). Как правило, твер­дотопливный двигатель работает непрерывно, в течение десятков секунд с момента отделения перехватчика от ракеты-носителя и до встречи с целью. В жидкостных двигателях имеется возможность их периодического включения за счет управления подачей топлива.

Управление полетом кинетического пере­хватчика за счет двигателя поперечного управ­ления характеризуется малой инерционностью и возможностью перемещения перехватчика на сравнительно большое расстояние за малое время. Это обусловлено прежде всего малой массой перехватчика при относительно боль­шой тяге двигателя, а также тем, что тяга дви­гателя направлена практически по нормали к вектору скорости.

Поперечное управление не меняет на­правления продольной оси перехватчика. На­правление продольной оси при заатмосферном полете корректируется с помощью специальных газодинамических двигателей ориента­ции, размещаемых для создания плеча силы на некотором расстоянии от центра масс пе­рехватчика, как правило, в его хвостовой части. Двигатели ориентации обычно работают в импульсном режиме и обеспечивают поворот оси перехватчика в направлении на цель, соз­давая условия для наблюдения цели бортовым пеленгатором.

За счет применения двигателей попереч­ного управления осуществляются коррекция траектории полета перехватчика при движе­нии к цели и выбор (ликвидация) промаха непосредственно у цели. Учитывая большие относительные скорости сближения, ограни­ченные возможности малоразмерного пелен­гатора перехватчика по измерению параметров цели, когда данные о цели могут быть точно определены непосредственно перед встречей с ней, а также возможность маневра цели, по­перечное управление является эффективным способом выбора (ликвидации) промаха при стрельбе по скоростным целям.

Формализация движения кинетического перехватчика с двигателем поперечного управления

Для описания движения перехватчика, управ­ляемого с применением двигателя поперечно­го управления, используем известный подход разложения действующих сил относительно вектора скорости [1, 2]. Разложение выпол­ним в стартовой системе координат - пло­ской прямоугольной системе координат Oxy, начало которой совмещено с точкой начала движения ракеты (с точкой старта), ось Ox на­правлена по горизонтали в сторону цели, ось Oy - вертикально вверх. Траектория перехват­чика характеризуется динамично изменяю­щимся в процессе движения радиус-вектором r_п = (x, y)^T, где x, y - текущие координаты.

Траектория перехватчика при известном исходном состоянии полностью определяется его вектором скорости V, который направлен по касательной к траектории и характеризуется абсолютным значением V и углом наклона Θ. Вектор V отсчитывается относительно положи­тельного направления оси Ox. Параметры V, Θ определяют характер траектории и зависят от действующих на ракету сил. При управляе­мом полете угол наклона вектора скорости Θ задается методом наведения перехватчика.

Собственно траектория ракеты в стар­товой системе координат определяется двумя дифференциальными уравнениями

Xe = V cos Θ, у = V sin Θ,                              (1)

интегрируемыми в единой системе совместно с дифференциальными уравнениями, описы­вающими изменение величин V и Θ в зависи­мости от влияющих на них факторов.

Текущее значение вектора скорости пе­рехватчика зависит от начального состояния (на момент отделения от носителя) и измене­ний скорости из-за действующих в полете сил. Действующие на перехватчик силы с разло­жением их по направлению вектора скорости и ортогонально ему показаны на рис. 2. Здесь использованы следующие обозначения пере­менных:

Р _дпу - вектор силы тяги двигателя попе­речного управления, направлен ортогонально продольной оси перехватчика;

P - вектор силы тяги сбрасываемых че­рез кормовое сопло газов (или тяга доразгон- ного двигателя, если такой имеется в перехват­чике), направлен вдоль продольной оси;

X - лобовое сопротивление воздуха - вектор, направленный обратно вектору ско­рости;

Y - подъемная сила набегающего потока воздуха - вектор, направленный ортогонально вектору скорости;

G_r - вектор силы притяжения Земли на расстоянии r от ее центра, направлен к центру масс Земли;

α - угол отклонения продольной оси пе­рехватчика от вектора скорости;

r - расстояние от центра Земли до пе­рехватчика,

R₃ - радиус Земли.

Сила земного притяжения зависит от те­кущей массы перехватчика m и ускорения зем­ного притяжения g_r:

где g₀ - ускорение земного притяжения у по­верхности Земли.

Вектор силы земного притяжения раскла­дывается на две составляющие - тангенциаль­ную G_rт, действующую по вектору скорости, и ортогональную ему нормальную составля­ющую G_rн:

G_r - G_rт + G_rн,

каждая из которых может быть определена через соответствующую составляющую уско­рения земного притяжения:

G_rт = mg_rт G_rн = mg_rн.

Разложение ускорения земного притяже­ния на тангенциальную и нормальную состав­ляющие приведено в работе [1]. Оно вполне очевидно из рис. 2:

Аэродинамические силы X, Y зависят как от параметров ракеты, так и от параметров атмосферы Земли. Значение сил определяется по следующим формулам [1-3]:

Х = c_xqS, Y = c_yqS,

где с_х, с_у - безразмерные аэродинамические коэффициенты;

- скоростной напор набегающего потока воздуха;

ρ - плотность воздуха в данной точке траектории;

S - площадь миделя (наибольшего по­перечного сечения) перехватчика.

Рассмотрим процесс движения перехват­чика (см. рис. 2).

Перехватчик, отделившись от носителя, движется в разреженных слоях воздуха и да­лее - в безвоздушном пространстве. В момент отделения движение перехватчика определя­ется вектором скорости, который характери­зуется некоторыми значениями абсолютной величины V и угла наклона Θ.

Двигатель поперечного управления в по­лете создает боковое (управляющее) ускоре­ние, равное отношению тяги двигателя к массе перехватчика:

Сила тяги двигателя поперечного управ­ления P_дпу, определяя нормальные ускорения перехватчика, является управляющей силой.

Значение нормальных ускорений, по­требных для движения по заданной траекто­рии, определяется методом наведения пере­хватчика. В соответствии с методом наведения регулируются направление и сила тяги Р_дпу за счет открытия тех или иных сопел двига­теля, т. е. сила тяги Р_дпу является также па­раметром управления полетом, что отличает управляемый полет с использованием двига­теля поперечного управления от других спо­собов управления полетом. Например, при аэ­родинамическом способе управления полетом управляющей силой является подъемная сила набегающего потока воздуха, а параметром управления - угол атаки ракеты.

Для жидкостного двигателя возможно также регулирование тяги двигателя дозиро­ванной подачей топлива в камеру сгорания. Часть избыточного газа из камеры сгорания двигателя может сбрасываться через кормовое сопло, создавая тягу P, направленную вдоль продольной оси перехватчика.

Продольная ось перехватчика ориентиро­вана в общем случае под углом α относительно вектора скорости, обеспечивающим необходи­мые условия для наблюдения цели бортовым пеленгатором. Угол α является независимой ве­личиной, создается в момент окончания атмо­сферного полета органами аэродинамического управления носителя и при дальнейшем (заат- мосферном) полете может корректироваться с помощью специальных двигателей ориента­ции перехватчика. На заключительном участке полета к цели этот угол близок или равен нулю.

Система динамических уравнений дви­жения перехватчика, основанных на описан­ном разложении сил, имеет вид

где W_T - тангенциальное ускорение, направ­лено по касательной к траектории;

W_H - нормальное ускорение, ортогональ­ное касательной к траектории.

Раскрыв зависимости для векторов сил, получим уравнения

Анализ составляющих динамических уравнений движения (3), (4) показывает сле­дующее.

Изменение скорости перехватчика, при­данной ему носителем на момент отделения, при заатмосферном полете определяется в ос­новном действием тангенциальной составля­ющей ускорения земного притяжения g_rт и ускорением Р/m под воздействием реактив­ной тяги сбрасываемых через кормовое сопло газов (или тяги доразгонного двигателя).

Форма траектории с учетом разреженно­сти воздуха определяется в основном совмест­ным действием ускорения P_ДПУ/m, создавае­мого двигателем поперечного управления, и нормальной составляющей ускорения земного притяжения g_{r н}.

Пусть форма траектории задана методом наведения перехватчика, т. е. известны нор­мальные ускорения, характеризующие кривиз­ну траектории

W _н.тр =V Θ.

Тогда из (4) можно определить ускорения перехватчика, создаваемые двигателем попе­речного управления, потребные для обеспе­чения движения перехватчика по траектории заданной формы:

В этом случае тяга двигателя, использу­емая в формуле (3), равна

Р_дпу = m W _{потр. дпу}

Анализируя формулу (5), можно увидеть, что управляющий параметр Р_дпу при управле­нии полетом перехватчика с помощью двигате­ля поперечного управления является функци­ей угла Θ и его производной  задаваемых методом наведения. Формула (5) определяет требования к двигателю поперечного управ­ления исходя из необходимости обеспечения движения по траектории заданной формы и компенсации искажений траектории, обуслов­ленных действием гравитации, сопротивлени­ем воздуха и тягой сбрасываемых через кормо­вое сопло газов.

Уравнения (3), (5), дополненные кине­матическими уравнениями (1) и уравнениями связи используемых переменных, позволяют рассчитывать траекторию управляемого поле­та перехватчика.

Для случая пассивного полета перехватчи­ка (без работы доразгонного двигателя, P = 0) в безвоздушном пространстве (скоростной напор воздуха отсутствует, q = 0) с нулевым углом наклона продольной оси α уравнения движения принимают вид:

т. е. изменение скорости перехватчика полно­стью определяется действием гравитации, а форма траектории - совместным действием дви­гателя поперечного управления и гравитации.

Для этого случая потребные ускорения двигателя поперечного управления составят

W_{потр.дпу} = W_н.тр + g _rн                                                      (6)

т. е. двигатель должен создать ускорения, по­зволяющие обеспечить как движение по пред­писанной траектории, так и компенсацию гра­витации.

Из формулы (6) следуют зависимости для некоторых характерных траекторий:

• при движении перехватчика по прямой с постоянным углом наклона Θ производная угла равна нулю  = 0. Двигатель попереч­ных ускорений должен создавать ускорение, непрерывно компенсирующее нормальную со­ставляющую ускорения земного притяжения: W_{потр.дпу} = g _rн
• при движении по Кеплеровой траекто­рии (траектории свободного полета) метод наведения формирует управляющее ускорение, равное W_н.тр = - g_rн, в связи с чем двигатель управления выключен (W_{потрдпу} = 0).

Формализация маневренных возможностей кинетического перехватчика

Маневренные возможности перехватчика ха­рактеризуют его способность своевременно переместиться на заданное расстояние в пло­скости, ортогональной вектору скорости (вы­брать ошибку наведения заданной величины и компенсировать внезапный маневр цели). Далее такое перемещение будем называть вы­бором промаха h.

Маневренные возможности зенитных ракет принято оценивать величиной добавки характеристической скорости, которая при­менительно к кинетическому перехватчику с учетом рассмотренных выше переменных определяется интегралом

где τ_дпу - общая продолжительность работы двигателя.

Показатель V_x является техническим в том смысле, что не зависит от конкретной траектории полета и текущего момента вре­мени. Он определяет предельные скоростные возможности перехватчика, и на его основе можно сделать выбор в пользу того или иного перехватчика, однако он не позволяет оценить возможности перехватчика по выбору прома­ха при полете по конкретной траектории и в определенный момент времени.

Для оценки маневренных возможностей кинетического перехватчика для текущего мо­мента времени при его полете по конкретной траектории будем использовать запас распо­лагаемых ускорений ∆W_дпу и время выбора промаха заданной величины T_h.

Показатели ∆W_дпу и T_h определяются следующим образом.

На протяжении всего управляемого поле­та перехватчика его располагаемые нормаль­ные ускорения должны превышать потребные, т. е. должно выполняться неравенство

W_дпу > W_{потр.дпу}

Превышение располагаемых ускорений над потребными

ΔW_дпу = W_дпу - W_{потр.дпу}

определяет запас нормальных ускорений пе­рехватчика, которые могут быть использованы для выбора промаха. При этом величина W_дпу рассчитывается в общем случае по форму­ле (2), а W_{потр.дпу} - по формуле (5), или для рассмотренного выше случая пассивного по­лета по формуле (6).

Для случая равномерного расходования топлива, имеющего место в практике на за­ключительном этапе полета перехватчика, ве­личина W_дпу может быть определена следую­щим образом.

Текущая масса m перехватчика равна

m = m_o - m_т.дпуt,                                             (7)

где m₀ - начальная масса перехватчика;

m _т.дпу - секундный массовый расход топли­ва двигателя.

При равномерной выработке топлива ве­личина секундного расхода массы

где m_т.дпу - начальная масса топлива.

Сила тяги двигателя может быть оценена по формуле

где u - скорость истечения газов.

В итоге располагаемые ускорения пере­хватчика могут быть вычислены по формуле

Время выбора промаха в простейшем случае может быть определено из следующих соображений. Известно, что путь, который мо­жет пройти тело, движущееся с постоянным

ускорением W за время t, равен От­сюда время, затрачиваемое телом на прохож­дение пути S при постоянном ускорении W, может быть определено по формуле

В силу зависимости (8) при равномерном расходе топлива двигателя во время полета пе­рехватчика функция ускорений W_дпу (t) растет по гиперболе, достигая максимума к моменту выработки всего запаса топлива. Учитывая, что запас топлива составляет десятки процен­тов массы самого перехватчика, изменение функции W_дпу (t) характеризуется высокой ин­тенсивностью, что не позволяет использовать формулу (9) для оценки времени выбора боль­ших промахов.

Получим формулу для расчета пути, ко­торый может пройти неравномерно движуще­еся тело за время Δt начиная с момента t при известной функции ускорений W (t).

Скорость, которую приобретет тело за время Δt начиная с момента t, равна

Путь, который будет пройден телом за этот интервал времени, равен

Объединяя обе формулы, получаем экви­валентное выражение для расчета пути, кото­рый будет пройден телом за время Δt начиная с момента t:

Для перехватчика на компенсацию про­маха h используются не все располагаемые нормальные ускорения, а только та их часть, которая превышает потребные для движения по заданной методом наведения траектории. С учетом этого путь, который будет пройден перехватчиком в плоскости, ортоганальной вектору скорости, за заданное время t₃ начи­ная с момента t, равен:

Уравнение (10) представляет собой фор­мулу величины промаха, выбираемого за t₃ начиная с момента t.

Из формулы (10) выразить в явном виде зависимость для расчета времени выбора про­маха T_h не удается. В связи с этим для оценки времени T_h по формуле (10) следует для опре­деленного момента времени t получить набор оценок промахов h⁰ для разных значений t_n и в качестве оценки времени T_h выбрать то зна­чение, при котором промах h⁰ ближе всего к заданному значению промаха h.

Для приближенной оценки времени вы­бора промаха T_h для момента времени t, исходя из формулы (9), может использоваться следу­ющее выражение:

Оценка возможностей кинетического перехватчика

Исходные данные. В качестве примера рассмотрим кинетический перехватчик про­тиворакеты THAAD. Известны основные тех­нические характеристики противоракеты [5]. Максимальная скорость противоракеты состав­ляет 2800 м/с, нижняя граница зоны поражения - 40 км, верхняя и дальняя, соответственно, 150 и 200 км. Масса перехватчика т₀ = 90 кг. На основе анализа зоны поражения комплекса примем время работы двигателя перехватчика t_дпу = 90 с. Расход топлива равномерный. Учи­тывая развитие зарубежных технологий созда­ния двигательных установок [4], скорость исте­чения газов принимаем равной и = 2800 м/с.

Движение перехватчика к цели после от­деления от носителя происходит практически по прямой траектории. Рассмотрим пять тра­екторий с углами наклона к горизонту 40°, 50°, 60°, 70°, 80°, перекрывающих зону поражения. Начало траекторий перехватчика - на высоте 40 км (высота отделения перехватчика от носи­теля). Начальные скорости перехватчика равны скоростям ракеты на высоте 40 км и зависят от наклона траектории. Предварительное модели­рование движения ракеты сквозь плотные слои атмосферы позволило определить начальные скорости перехватчика для каждой из траекторий - они находятся в диапазоне от 1870 м/с (угол наклона 40° - «медленная» траекто­рия из-за длительного прохождения плотных слоев атмосферы) до 2660 м/с (угол наклона 80° - «быстрая» траектория благодаря быстро­му набору высоты).

Масса топлива перехватчика THAAD не­известна. На основе анализа состава обору­дования перехватчика, наблюдаемого на его разрезном макете (см. рис. 1), сделано предпо­ложение, что масса топлива может составлять одну треть - половину массы перехватчика, т. е. значение массы топлива находится в пре­делах m_тдпу = 30...45 кг. В соответствии с этим оценку возможностей перехватчика выполним для двух крайних значений указанного диапа­зона массы m_тдпу.

Результаты расчетов и оценки. Для расчетов использована система уравнений (3), (5), (1), описывающих управляемое движение перехватчика. Тяга принята равной нулю P = 0 (пассивный полет перехватчика), угол ориен­тации продольной оси перехватчика α = 0.

1. Оценка влияния гравитации на воз­можности перехватчика.

На рис. 3 показаны расчетные траекто­рии кинетического перехватчика при движе­нии под разными углами и соответствующие им нормальные составляющие ускорения зем­ного притяжения g_{r н}.

Анализ полученных зависимостей пока­зывает, что нормальная составляющая ускоре­ния земного притяжения для рассматриваемого диапазона изменения высот применения пере­хватчика THAAD зависит главным образом не от высоты, а от угла наклона траектории. Чем больше угол наклона траектории, тем меньше величина g_{r н} (однако при этом растет величи­на тангенциальной составляющей ускорения земного притяжения g_{r т} как дополнение ре­зультирующего ускорения g_r). При угле на­клона траектории 80° величина g_{r н} составляет -1,6.. .1,5 м/с², в то время как при угле 40° она находится в пределах -7,3.7,0 м/с². Из этого следует, что требования к двигателю попереч­ного ускорения при полете перехватчика по траекториям, близким к вертикальным, суще­ственно ниже, чем при горизонтальном полете. При вертикальном полете гравитация оказывает тормозящее действие и снижает скорость пере­хватчика (за счет действия составляющей при­тяжения g_{r т}), однако не влияет на возможности двигателя поперечного управления по выбору промаха в горизонтальной плоскости.

2. Оценка маневренных возможностей перехватчика.

На рис. 4, 5 показано изменение характери­стик перехватчика в динамике полета при началь­ной массе топлива, соответственно, 30 кг и 45 кг Расчеты выполнены по формулам (7), (8), (10).

При массе топлива 30 кг располагаемые ускорения перехватчика растут по мере вы­работки топлива от -10,4 до 15,5 м/с². Этих ускорений достаточно для компенсации нор­мальной составляющей гравитации при движе­нии по любой из рассмотренных траекторий, однако может быть недостаточно для выбора промаха, возникающего из-за маневра цели. Расчеты показывают, что за время работы дви­гателя поперечного управления 1 с может быть выбран промах -2.7 м в зависимости от угла наклона траектории и текущей массы пере­хватчика, а за 2 с —7.27 м.

При массе топлива 45 кг перехватчик обладает существенно более высокими ма­невренными характеристиками: располага­емые нормальные ускорения в зависимости от выработки топлива находятся в диапазоне -16.31 м/с². За 1 с может быть выбран промах -4.14,5 м, а за 2 с —17.58 м.

3. Оценка возможности использования формулы (11) для расчета времени выбора промаха T_h.

Сравнительная оценка результатов рас­чета промаха по точной формуле (10) и при­ближенной формуле (11) показывает, что по­следняя дает существенные погрешности: при времени выбора промаха более 20 с погреш­ность превышает 10 %. Такое значительное время выбора промаха может быть характерно для перехватчиков большой дальности, напри­мер, EKV и LEAP. Для этого случая расчеты необходимо выполнять по формуле (10). При времени выбора промаха 10 с погрешность около 1 %. При времени выбора промаха, со­ставляющем единицы секунд, погрешность незначительна и для практических расчетов может использоваться формула (11). Заключение

Полученные в статье динамические уравне­ния движения кинетического перехватчика на заатмосферном участке полета формально подобны известным уравнениям для атмо­сферного полета, однако имеют иной состав и другое физическое содержание. Основной особенностью уравнений движения является наличие в их составе тяги двигателя попереч­ного управления в качестве параметра управ­ления полетом и одновременно управляющей силы. Получение зависимости параметров векто­ра скорости от указанной силы позволило опре­делить ускорения двигателя поперечного управ­ления, потребные для обеспечения движения перехватчика по траектории заданной формы с учетом необходимости компенсации действия сил гравитации, сопротивления воздуха, а также тяги сбрасываемых через кормовое сопло газов.

Кроме того, в статье получены математи­ческие выражения для оценки маневренных воз­можностей кинетического перехватчика с учетом неравномерности его движения, что является характерным для перехватчика, так как его рас­полагаемые ускорения в результате выработки топлива нелинейно меняются в процессе полета.

Совокупность полученных выражений по­зволяет на начальных стадиях конструирова­ния выполнять аналитическое моделирование движения кинетического перехватчика в верти­кальной плоскости, оценивать его маневренные возможности и возможности по выбору промаха, а также формировать требования к двигателю поперечного управления перехватчика - к его тяге, длительности работы и к запасу топлива.

Решенная практическая задача по оценке характеристик двигателя поперечного управ­ления и возможностей кинетического пере­хватчика противоракеты THAAD подтверждает работоспособность предложенного математи­ческого аппарата.