Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Итерационный алгоритм обращения корреляционной матрицы помех

Полный текст:

Аннотация

Рассмотрена эффективность многоканального компенсатора помех в зависимости от числа используемых компенсационных каналов при фиксированном числе внешних помехопостановщиков. Предложен итерационный алгоритм обращения корреляционной матрицы помех, позволяющий на определенном шаге достичь нулевых потерь на выходе компенсатора и уменьшить вычислительную сложность нахождения весовых коэффициентов компенсационных каналов

Для цитирования:


Ястребов А.В. Итерационный алгоритм обращения корреляционной матрицы помех. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(2):4-9.

For citation:


Yastrebov A.V. Iterative inversion algorithm for an interference correlation matrix. Journal of «Almaz – Antey» Air and Defence Corporation. 2017;(2):4-9. (In Russ.)

Введение

В настоящее время продолжается быстрое развитие средств радиолокационного проти­водействия, таких как постановщики актив­ных шумовых помех (АШП), что влечет за собой усложнение аппаратуры станций обна­ружения целей [1-3]. В первую очередь это связано с ростом интенсивности использо­вания беспилотных летательных аппаратов. На них устанавливаются излучатели помех, поэтому число действующих АШП постоян­но растет. Одним из методов борьбы с АШП является применение многоканального компенсатора помех (МКП) в составе радиолока­ционных станций (РЛС). Причем число ком­пенсационных каналов компенсатора должно быть не меньше числа помехопостановщиков [1, 3], поэтому на этапе проектирования РЛС число компенсационных каналов выбирается исходя из предполагаемого максимально воз­можного числа АШП.

В работе проанализирована возмож­ность адаптивного использования ресурсов МКП по компенсации АШП с целью умень­шения вычислительной сложности алгорит­ма пространственной обработки при количе­стве помехопостановщиков, меньшем числа компенсационных каналов компенсатора. Это позволяет использовать высвободившиеся ре­сурсы вычислительной системы для решения других задач.

Многоканальный компенсатор помех

Структурная схема МКП представлена на рис. 1. Обычно используют компенсацион­ные каналы, диаграммы направленности (ДН) Α(φ) (где A - нормированное усиление антенной системы, дБ; φ - азимут, град) которых имеют глубокий провал в направлении макси­мума ДН основного канала, как показано на рис. 2.

 

Рис. 1. Структурная схема МКП

 

 

Рис. 2. Диаграмма направленности основного и компенсационных каналов

 

Для максимизации выходного отношения сигнал-шум (ОСШ) весовой вектор W должен удовлетворять уравнению Винера - Хопфа [1, 3] и может быть найден по формуле

W = -M-1P,                                                           (2)

где M = < KKH > - корреляционная матрица (КМ) помех в компенсационных каналах;

P = < K х* > - вектор взаимно корреляци­онных моментов между процессами в основ­ном и компенсационных каналах МКП;

<·> - знак статистического усреднения. На рис. 3 представлена зависимость по­терь B в ОСШ на выходе МКП от числа к ис­пользуемых компенсационных каналов при фиксированном числе J действующих АШП относительно ОСШ на выходе МКП при ис­пользовании всех K компенсационных кана­лов. Заданы следующие параметры моделиро­вания: общее число компенсационных каналов K = 8; число помехопостановщиков J = 3; мощность собственных шумов одинакова во всех каналах МКП, мощность внешних помех одинакова, а их суммарная мощность относи­тельно собственного шума равна 5000.

 

Рис. 3. Зависимость потерь в ОСШ от числа компенсационных каналов

 

Согласно данным рис. 3, потери в ОСШ практически равны нулю, когда количество ис­пользуемых компенсационных каналов равно числу АШП (k = J). Поиск весового вектора МКП (2) включает в себя процедуру обраще­ния КМ помех, вычислительная сложность которой пропорциональна третьей степени по­рядка КМ (K3). Следовательно, использование не всех компенсационных каналов позволяет существенно сократить объем вычислений, если количество АШП меньше общего числа компенсационных каналов (J < K), к тому же без потерь в ОСШ.

В обоих случаях в направлениях на все помехопостановщики формируются глубо­кие провалы, однако в случае использования меньшего числа компенсационных каналов несколько выше уровень боковых лепестков результирующей ДН (рис. 4).

 

 

Использование части компенсационных каналов соответствует применению части КМ помех M. Например, при наличии в весовой сумме (1) только первого канала вместо всей КМ M и вектора взаимных корреляций P до­статочно взять из них по одному элементу: m11 - элемент матрицы M, находящийся на пересечении первой строки и первого столб­ца, и P1 - первый элемент вектора P соответ­ственно.

Использование же двух компенсацион­ных каналов подразумевает обращение ма­трицы второго порядка, являющейся частью исходной КМ помех M K-го порядка, и умно­жение ее на вектор взаимных корреляций меж­ду сигналом в основном и сигналами в первых двух компенсационных каналах и т. д.

Итерационный алгоритм

Рассмотрим итерационный алгоритм обраще­ния КМ помех, позволяющий на каждом к-м шаге вычислять обратную КМ для к исполь­зуемых компенсационных каналов. В осно­ве предлагаемого алгоритма лежит формула Ф. Г. Фробениуса обращения блочных ма­триц [4]:

где H = D - CA−1 B.

Введем обозначение A к для КМ помех в к первых компенсационных каналах (k ≤ K) или, что аналогично, для матрицы, состав­ленной из элементов, находящихся в к первых строках и столбцах исходной КМ M порядка K (рис. 5). С помощью Рk обозначим вектор взаимных корреляций между сигналом в ос­новном канале и сигналами в первых к компенсационных каналах.

 

Рис. 5. Итерации алгоритма обращения КМ: а - матрица A1; б - матрица A2; в - матрица A3

 

Матрица M - эрмитовая, поэтому с уче­том данных рис. 5

Первый шаг соответствует использова­нию одного компенсационного канала, весо­вой коэффициент w1 которого вычисляется по формуле

Здесь вектор P1 состоит из единствен­ного комплексного элемента.

Так как матрица M - эрмитовая, матрица A1 = m11 (рис. 5, а) является действительным числом, следовательно, обратная к ней матри­ца также является действительным числом:

Второй шаг соответствует использова­нию двух компенсационных каналов МКП. Найдем обратную матрицу к матрице A2 (рис. 5, б), для этого перепишем формулу (3):

где H1 = D1 - C1A1-1B1.

Так как КМ M - эрмитовая, то матрица D1 в формуле (7) является действительным числом. Величина C1A-1B1 с учетом (4) может быть записана как B1H A1-1B1. Полученное выражение является квадратичной формой и дей­ствительным числом. Следовательно, матрица H1 - действительное число, поэтому обратная матрица к матрице H1 также является дей­ствительным числом, равным 1/H1. Учитывая вышеизложенное, можно переписать выраже­ние (7) следующим образом:

где с учетом (4) введено обозначение

Продолжая итерационную процедуру, можно аналогичным образом найти обратную матрицу к матрице A3 (рис. 5, в).

Шаг нахождения КМ помех для k > 1 компенсационных каналов можно записать следующим образом:


Вычислительная сложность алгоритма

Определим необходимые вычислительные ре­сурсы для выполнения к-го шага итерацион­ной процедуры.

Для вычисления вектора Еk-1 по форму­ле (11) потребуется (k -1)2 комплексных ум­ножений (КУ).

Для вычисления Hk-1 по формуле (12) потребуется (k - 1) КУ.

В формуле (10) матрица A-1k-1 уже извест­на с предыдущего шага. Так как Hk-1 - дей­ствительное число, то для вычисления величи­ны Еk-1/Hk-1 необходимо выполнить 2(k - 1) действительных умножений (ДУ).

На выполнение операции умноже­ния комплексного вектора-столбца на нор­мированный эрмитово-сопряженный вектор Ek-1k-1/Hk-1)H потребуется 2(k - 1) Ду для нахождения диагональных элементов и 2(k - 1)(k - 2) ДУ для нахождения элементов ниже главной диагонали.

Учитывая то, что одно КУ состоит из че­тырех ДУ, суммарная вычислительная слож­ность Qит алгоритма нахождения обратной КМ размера k х k, выраженная в КУ, составляет

На практике для поиска обратной КМ помех M-1 размера K х K часто применяется метод Холецкого, или, как его еще называют, метод квадратных корней [5]. Его вычисли­тельная сложность составляет Qкв  = K3 / 2 + K 2 КУ [1]. Согласно рис. 6, а, число требуе­мых операций для обоих методов практически одинаково. Рис. 6, б содержит график отноше­ния вычислительной сложности метода ква­дратных корней Qкв при K = 8 к вычислитель­ной сложности каждого шага предлагаемого метода Qит(k) при k = 1, 2, ..., K.

В рассмотренном выше случае наличия J = 3 АШП и K = 8 компенсационных каналов можно остановить итерационную процедуру при k ≥ 3 и использовать матрицу Ak-1 для на­хождения весового вектора компенсатора. При этом вычислительная сложность предлагаемо­го метода, например, для k = 3 приблизитель­но в 20 раз ниже метода квадратных корней (см. рис. 6, б).

 

 

Алгоритм остановки итерационной процедуры

Мощность процесса (1) на выходе компенса­тора при оптимальном весовом векторе W (2) равна

где σx2 - суммарная мощность помех и соб­ственного шума (СШ) в основном канале.

Предполагая, что СШ являются незави­симыми во всех приемных каналах, запишем выражение для суммарной мощности СШ на выходе компенсатора:

где σ02 - мощность СШ в основном канале;

σΚ2 - мощность СШ в каждом из компен­сационных каналов.

Будем считать, что мощности СШ апри­ори известны.

На каждом k-м шаге итерационной про­цедуры обращения матрицы необходимо вы­числять вектор весовых коэффициентов

Здесь Рk - вектор, состоящий из первых к-элементов вектора взаимных корреляций P.

Мощность на выходе компенсатора на к-м шаге итерационной процедуры обращения КМ помех может быть найдена путем подста­новки выражения (16) в уравнение (14):

Суммарную мощность СШ на выходе компенсатора с учетом выражений (15) и (16) на k-м шаге итерационной процедуры можно определить следующим образом:

При оптимальном весовом векторе W (2) процесс на выходе компенсатора (1) не корре­лирует с действующими на входе помехами, поэтому выходная мощность (14) при опти­мальном векторе равна суммарной мощности СШ (15).

Следовательно, условие для остановки процедуры итерационного обращения и на­хождения необходимого числа kопт компенса­ционных каналов для подавления действую­щих АШП в случае использования вместо точных КМ помех M и вектора взаимных кор­реляций P их максимально правдоподобных оценок  и  выглядит следующим образом:

где  - вектор весовых коэффициентов, найденный на k-м шаге итерационной проце­дуры в случае использования оценок M и P;

γ - коэффициент, зависящий от точности оценок мощностей (17) и (18).

Заключение

Используя изложенный алгоритм, можно прервать итерационную процедуру обраще­ния КМ помех. В результате сократятся вре­мя и вычислительные ресурсы на реализацию пространственной обработки сигналов в РЛС при практически нулевых потерях в ОСШ и небольшом увеличении уровня боковых ле­пестков результирующей ДН.

Список литературы

1. Монзинго Р.А., Миллер Т.У. Адаптивные антенные решетки. Введение в теорию. Пер. с англ. В. А. Лексаченко. М.: Радио и связь, 1986. 448 с.

2. Richards M.L., Scheer J.A., Holm W. A. Principles of Modern Radar. In 2 vol. Vol. 1. Basic Principles. NJ.: SciTech Publishing, Edison, 2010. 924 c.

3. Melvin W.L., Scheer J.A. Principles of Modern Radar. In 2 vol. Vol. 2. Advanced Techniques. NJ.: SciTech Publishing, Edison, 2013. 846 c.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. 552 с.

5. Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Гостехиздат, 1950. 240 с.


Об авторе

А. В. Ястребов
ФГБОУ ВО «Нижегородский государственный технический университет им. Р. Е. Алексеева»
Россия


Для цитирования:


Ястребов А.В. Итерационный алгоритм обращения корреляционной матрицы помех. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(2):4-9.

For citation:


Yastrebov A.V. Iterative inversion algorithm for an interference correlation matrix. Journal of «Almaz – Antey» Air and Defence Corporation. 2017;(2):4-9. (In Russ.)

Просмотров: 41


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)