Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Метод определения пространственного положения центра тяжести машин

Полный текст:

Аннотация

На основании результатов анализа традиционных методов определения координат центра тяжести машин разработан трехкоординатный метод с использованием наиболее простых и доступных средств подвешивания изделий кран-балкой. Метод отличается от аналогов минимальным числом взвешиваний при отсутствии в составе измерительной схемы силоизмерительных средств. Представлена математическая модель, лежащая в основе метода, и компьютерная модель, позволяющая минимизировать трудоемкость математической обработки результатов измерений

Для цитирования:


Блинов И.А. Метод определения пространственного положения центра тяжести машин. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(2):71-82.

For citation:


Blinov I.A. Method for determining the spatial position of the center of gravity of machines. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(2):71-82.

Введение

Значение точного и удобного способа опреде­ления положения центра тяжести изготовляе­мых изделий трудно переоценить. Положение центра тяжести машины влияет на такие ее качественные показатели, как устойчивость во время движения, плавучесть, распреде­ление нагрузки по несущим элементам кон­струкции, плавность хода и др. [1].

Наиболее простой и распространенный (применяется в том числе в АО «ИЭМЗ «Ку­пол») экспериментальный метод определения центра тяжести машины заключается в следую­щем. Испытываемую машину (поз. 1 на рис. 1) подвешивают за специальные кронштейны (поз. 2) с помощью строп (поз. 3), закрепленных на траверсе (поз. 4). Подъем траверсы осущест­вляется кран-балкой. Положение центра тяжести в поднятом состоянии влияет на распределение нагрузки по стропам. Координаты центра тяже­сти машины xc, yc определяют в зависимости от показаний динамометров (поз. 5) из уравнений равновесия машины в подвешенном состоянии:

Ti - сила натяжения в стропе i.

 

Рис. 1. Схема измерений:

1 - испытываемая машина; 2 - кронштейны; 3 - стро­пы; 4 - траверса; 5 - динамометры

 

Данный метод обладает рядом недостат­ков, наиболее существенным является невоз­можность определения высотной координаты центра тяжести zc.

Альтернативный способ определения центра тяжести изложен в [2]. Согласно ГОСТ 30750 -2001, центр тяжести определяется ме­тодом измерения реакции опор при установке испытываемой машины в горизонтальное и два наклонных положения: с поднятой передней и задней частями в соответствии с рис. 2. Для определения реакции опор используют плат­форменные весы.

Первое взвешивание проводят с накло­ном корпуса в продольной плоскости на угол α (рис. 2, а). Наклон можно обеспечить подня­тием передней части машины кран-балкой. Ре­зультаты взвешивания позволяют определить координату центра тяжести ас по формуле

Для второго взвешивания обеспечивают наклон машины β в той же плоскости в другую сторону, приподнимая заднюю часть машины (рис. 2, б). Вторую координату центра тяжести bc определяют по формуле

 

Рис. 2. Схемы к методу по ГОСТ 30750 -2001: а - первое взвешивание; б - второе взвешивание; в - третье взвешивание

 

Этой координате соответствуют точки в плоскости Ω.

Первые два взвешивания ограничивают область поиска центра тяжести до прямой h в пересечении плоскостей Θ и Ω. Точное по­ложение центра тяжести на прямой h опре­деляется координатой xc, рассчитываемой по формуле

в зависимости от результатов третьего взве­шивания в горизонтальном положении маши­ны (рис. 2, в). Для определения действитель­ной массы изделия m необходимо еще одно взвешивание.

Стандартный метод выгодно отличается от применяемого на предприятии возможно­стью определения высотной координаты цен­тра тяжести, однако требует использования платформенных весов, большего количества взвешиваний и занимает больше времени.

Несмотря на существование ряда техни­ческих решений задачи определения центра тяжести изделий, нет достаточно универсаль­ного и простого способа, который давал бы исчерпывающую информацию о положении центра тяжести и при этом не увеличивал бы номенклатуру производственного оснащения для ее получения. В связи с этим целью дан­ной статьи является разработка метода опре­деления пространственного положения центра тяжести подвешиванием с использованием простых и распространенных технологиче­ских средств при минимизации применения специальных силоизмерительных приборов и количества операций взвешивания.

Для выполнения экспериментальной ча­сти процесса откажемся от сложной специ­альной оснастки в пользу имеющейся в цехах производства транспортно-грузовой: будем использовать грузовую траверсу, стропы и кран козлового либо башенного типа. Тогда постав­ленной цели можно достигнуть установлением аналитических взаимосвязей между положения­ми изделия в подвешенном равновесном состоя­нии на грузовой траверсе и тремя координатами его центра тяжести. Взаимосвязи можно выра­зить уравнениями равновесия элементов измери­тельной системы и уравнениями аналитической геометрии, а их количество и состав в математи­ческой модели подобрать таким образом, чтобы исключить силовые параметры из перечня не­зависимых (подлежащих экспериментальному определению). Это позволит устранить необхо­димость в использовании силоизмерительных средств в составе измерительной схемы.

В зависимости от числа одновременно обрабатываемых координат рассматриваемая задача может быть либо пространственной, либо плоской. Практический интерес представ­ляет решение наиболее общей пространствен­ной задачи. Однако выполнить предваритель­ную теоретическую проверку принципиальной возможности определения наиболее проблем­ной высотной координаты предлагаемым спо­собом рациональнее на примере решения ма­тематически простой плоской задачи.

Решение плоской задачи

Установившееся равновесное состояние гео­метрически изменяемой системы траверса - стропы - машина зависит от координат центра тяжести машины и траверсы. Две искомые коор­динаты центра масс машины в плоскости можно определить по аналогии с рассмотренным стан­дартным методом путем подвешивания машины под двумя разными углами. Реализовать подвеши­вание под разными углами можно за счет примене­ния пар строп разной длины, меняя местами пары.

Каждому положению центра тяжести со­ответствует комбинация положений системы траверса - стропы - машина до и после пере­мены строп местами. Чтобы выразить анали­тически это соответствие, обратимся к схеме нагружения элементов системы в двух случаях, изображенных на рис. 3. Здесь ADG - траверса, шарнирно закрепленная относительно под­веса с одной степенью свободы - вращением вокруг шарнира D. Положение траверсы опре­деляется углом γTi, где i ∈{ ,1 2} - порядковый номер подвешивания. Траверса характеризу­ется следующими известными параметрами: массой mT, размерами HT и lT , координатой положения ее центра масс ZCT . AO и GK - стропы с длинами I1 и I2 соответственно. Силы натяжения в стропах T1i и T2i отклонены от вертикали на углы α1; и α2i соответственно.

 

Рис. 3. Расчетные схемы для плоской задачи: а - до перемены пар строп местами; б - после переме­ны пар строп местами

 

Испытываемая машина условно пред­ставлена в виде прямоугольника MNFE. Точки O и K- крепление строп к корпусу машины (кронштейны). Точка С - центр тяжести маши­ны с искомыми координатами xc, zc относи­тельно левого кронштейна O в системе коор­динат машины. Полярные координаты центра тяжести машины - радиус-вектор ρ и его угол наклона φ. Ориентация машины в установив­шемся положении i определяется углом ее на­клона к горизонтали γi. Прочие известные па­раметры машины: масса т, размеры LM и H, расстояние между кронштейнами L, коорди­ната левого кронштейна относительно торца машины L0.

В плоскости рисунка примем декартову систему координат xDz. Соединения строп с машиной и траверсой условимся считать иде­альными шарнирами без сил трения, удлине­ниями строп при их натяжении и массой строп пренебрегаем.

Свяжем положения системы при двух подвешиваниях с полярными координатами центра тяжести машины уравнениями равно­весия [3]. В установившемся положении i рав­нодействующий момент, создаваемый смещен­ными относительно точки D силами тяжести траверсы и машины, должен быть нулевым:

где AD- длина плеча траверсы, AD = 

δ- угол при вершинах A и G траверсы, 

γ1 и γ 2 - углы наклона машины к гори­зонтали в первом и во втором случае соответ­ственно; верхний знак «+» относится к γ 1, нижний «-» к γ 2.

Совместное решение двух уравнений (1), составленных для каждого из двух случаев при известных параметрах положения системы (YТ1, YТ2, Y1, Y2, α11, α22), позволяет определить полярные координаты центра тяжести машины ρ и φ. К декартовым координатам центра тя­жести можно перейти известным способом [4]:

Параметры γТ1, γТ2, γ 1, γ2, α11, α22 пред­варительно определяются из математических моделей, описывающих каждое из двух равно­весных положений системы. Модели содержат уравнения равновесия и уравнения, выражаю­щие геометрические связи элементов в систе­ме. Два силовых и одно моментное уравнения равновесия траверсы имеют вид

где сила натяжения тягового троса определя­ется по формуле

T = (m + mT) g.                                                                               (6)

Геометрические уравнения выражают замкнутость геометрически изменяемого че­тырехугольника AGKO:

В проекциях на оси z и x и получим еще два уравнения

Таким образом, получено по пять урав­нений для каждого случая i с шестью пере­менными параметрами: T1i,T2i, α1i, α2i, γTi, γi. Один параметр среди них можно считать неза­висимым и подлежащим измерению. Остальные пять параметров определяются в зави­симости от него через пять составленных уравнений.

Если выбрать в качестве независимого измеряемого параметра геометрический, на­пример угол наклона машины γ i, то исчезает необходимость в определении силовых пара­метров, а значит, и в использовании силоизме­рительных средств. Угол наклона достаточно просто определить экспериментально, напри­мер, по разнице высот двух точек машины E и F над уровнем пола по формуле

Таким образом, мы удостоверились в принципиальной возможности определения высотной координаты центра тяжести подве­шиванием и в отсутствии необходимости ис­пользования для этого каких-либо силоизме­рительных средств.

Вторым этапом решим пространствен­ную задачу и разработаем алгоритм определе­ния положения центра тяжести.

Решение пространственной задачи

Решение задачи в пространстве во многом аналогично решению плоской задачи. Основ­ные отличия в большем количестве параме­тров, описывающих равновесные состояния элементов измерительной системы, которые определяются большим числом совместно решаемых уравнений.

В пространстве удобно пользоваться формулами матричных преобразований при пространственных поворотах и смещениях [4]. Поэтому пространственные объекты зададим в виде матриц координат их узловых точек. Силы в пространстве определяются тремя не­зависимыми параметрами. Зададим их проек­циями на оси координат, это позволит исполь­зовать в качестве плеч моментов в уравнениях статики соответствующие координаты точек приложения этих сил.

Расчетные схемы системы в пространстве для двух взвешиваний изображены на рис. 4. Положение траверсы ABDEF в случае i зада­ется углами ее поворота вокруг собственных координатных осей γTix, γTiy и γTiz, nA - век­тор нормали к плоскости фигуры BDEF. Tjik - проекции силы натяжения стропы j в случае i на координатную ось k.

 

Рис. 4 (начало). Расчетные схемы для пространственной задачи: а - до перемены пар строп местами

 

 

Рис. 4 (окончание). Расчетные схемы для пространственной задачи: б - после перемены пар строп местами

 

Если матрица пространственных коор­динат узловых точек траверсы до ее поворота вокруг собственных осей, проходящих через шарнир А,

то в установившемся равновесном состоянии координаты узловых точек зависят от углов ориентации траверсы γTiy и γTiz в соответ­ствии с известной формулой

Координаты концов строп связаны с ко­ординатами узловых точек траверсы уравне­нием

где Tij - силы натяжения в стропах, Tij

BO, DG, FM, EK - длины строп в растянутом под нагрузкой состоянии.

По закону Гука длина стропы j в растя­нутом состоянии lj + JljTji, где J - продольная податливость стропы [5].

Представленные в уравнениях (10) и (11) координаты узловых точек используются в ма­тематических моделях положения системы в двух случаях.

Математические модели представляют собой совокупность уравнений равновесия и геометрических уравнений. Шесть уравнений равновесия траверсы для случая i имеют вид

где T - сила натяжения тягового троса, опре­деляется по формуле (6);

m B ∈ (B, E, F, D), - зависимости координат узло­вых точек от углов ориентации траверсы, вы­числяются из формулы (10).

Геометрические уравнения выражают условия замкнутости пространственных четы­рехугольников BOKE и BOMF при различных углах ориентации машины в пространстве γiy и γiz:

В проекциях на координатные оси с уче­том (10) и (11) получаем дополнительно девять уравнений:

При известных углах ориентации машины система пятнадцати уравнений (12) –(26), решенная относительно 15 неизвестных – T1ix , T1iy , T1iz, T2ix , T2iy , T2iz, T3ix , T3iy , T3iz, T4ix , T4iy , T4iz, γTix , γTiy , γTiz, – позволяет полностью определить параметры положения системы в данном случае i.

Углы ориентации машины в простран­стве γix , γiy и γiz в случае i находятся из мат­ричного преобразования координат трех точек V, Q, R при повороте машины (см. рис. 4):

Если выразить из формулы (27) разницы высотных координат точек V, Q, R попарно и приравнять их к разницам измеренных высот этих точек над уровнем пола, то получим си­стему трех уравнений для определения углов 

 

Параметры положения системы в двух случаях необходимы для определения коор­динат центра тяжести машины из моментных уравнений равновесия

где функциональные зависимости координат центра тяжести машины в системе xyz от ко­ординат центра тяжести в собственной систе­ме координат Xc , Yc , Zc :

функциональные зависимости координат уз­ловых точек траверсы от углов ее ориентации   выражаются из формулы (10).

Решая уравнения (29) относительно Xc , Yc , Zc , определяем искомое положение цен­тра тяжести машины.

Таким образом, при известных парамет­рах измерительной системы - m, mT , ZcT , HT ,aT , bT , L, LM , LO, B, l1, l2, l3, l4, J - алгоритм определения центра тяжести машины в про­странстве включает в себя следующие действия:

  1. подвесить систему (см. рис. 4, а) и до­ждаться установившегося равновесия;
  2. измерить высоту трех точек машины hV1, hQ1, hR1 над уровнем пола;
  3. решить систему уравнений (12) - (26), приняв i = 1 относительно T11x, T11y, T11z, T21x, T21y , T21z, T31x , T31y , T31z, T41x , T41y , T41z, γT x1 , γT y1 , γT1z
  4. поменять пары строп 1, 2 и 3, 4 (см. рис. 4) местами, подвесить систему и дождать­ся установившегося равновесия;
  5. определить высоту точек машины hV 2, hQг, hR2 над уровнем пола;
  6. решить систему уравнений (12) - (26), приняв i = 2 относительно  T12x , T12 y , T12z, T22x , T22 y , T22z, T32x , T32 y , T32z, T42x , T42 y , T42z, γT x 2 , γT y 2 , γT 2z;
  7. решить систему уравнений (28) для каждого из двух случаев подвешивания и опре­делить углы y1x y1y y1z y2x y2y y2z;
  8. использовать параметры, найденные в п. 3, 6, 7, для решения системы уравнений (29) относительно координат центра тяжести машины в собственной системе координат Xc ,Yc, Zc.

Для уменьшения трудоемкости матема­тической обработки результатов измерений была составлена программа в среде MathCAD. Преимущества использования MathCAD для решения данной задачи обусловлены наличием встроенных средств для расчета систем нели­нейных уравнений.

Составленная программа позволяет ав­томатически вычислить координаты центра тяжести машины в зависимости от параметров измерительной системы и полученных измере­нием значений высот точек V, Q, R машины над уровнем пола для двух случаев подвешивания. Программа выводит численные значения коор­динат и показывает положения измерительной системы с центрами тяжести элементов в трех проекциях для каждого случая, а также центр тяжести машины в ее собственной системе координат в трех проекциях. Примеры резуль­татов работы программы приведены на рис. 5.

Заключение

Разработанный метод определения координат центра тяжести машины не требует исполь­зования силоизмерительных устройств в со­ставе измерительной схемы, ориентирован на применение простых имеющихся в наличии цеховых средств подвешивания машины, по­зволяет определять все три координаты цен­тра тяжести и является хорошей альтернати­вой методу, используемому на предприятии.

Снизить трудоемкость математической обработки результатов измерений позволяет написанная на основании разработанного ал­горитма программа.

В рамках данной статьи рассмотрена принципиальная возможность определения центра тяжести предлагаемым способом, осно­ванная на математических выкладках. В рам­ках дальнейших работ будет оценена точность метода, исследовано влияние погрешностей применяемых средств на погрешность опреде­ления центра тяжести, представлены результа­ты пробных испытаний на базе производства АО «ИЭМЗ «Купол».

Об авторе

И. А. Блинов
АО «Ижевский электромеханический завод «Купол»
Россия


Для цитирования:


Блинов И.А. Метод определения пространственного положения центра тяжести машин. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(2):71-82.

For citation:


Blinov I.A. Method for determining the spatial position of the center of gravity of machines. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(2):71-82.

Просмотров: 90


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)