Векторный способ формирования траекторных параметров в задаче имитации боевого налета

Введение

Несмотря на то что имитации боевого налета посвящено много работ [1-7], до сих пор су­ществует потребность в реализации матема­тической модели на современных языках про­граммирования. В различных приложениях постановка задачи имитации боевого налета может варьироваться, в результате чего тре­буется внесение определенных поправок как в математическую модель, так и в программ­ную реализацию. Ввиду данных факторов задача программной реализации алгоритмов формирования траекторных параметров явля­ется актуальной.

Постановка задачи

Предполагается, что оператор системы ав­томатизированного проектирования (САПР) радиолокационных станций (РЛС), осущест­вляющий имитационный эксперимент, име­ет возможность сформировать боевой удар. Удар представляет собой совокупность групп средств воздушного нападения (СВН), каждая из которых содержит некоторое количество конкретных СВН, выстроенных в боевом по­рядке. Требуется, чтобы СВН двигались в со­ответствии с боевым порядком по некоторому маршруту, сформированному оператором, а также выполняли различные пространствен­ные маневры, например «змейку», «шнек», огибание рельефа местности, занятие эшелона высоты, достижение определенной скорости и т. д. Маршрут состоит из массива контрольных точек, задаваемых в терминах широты, долго­ты и высоты над уровнем моря, которые СВН должны достичь. Таким образом, задача фор­мирования траекторных параметров относится к типу краевых задач, что, безусловно, накла­дывает определенные ограничения на подход к ее решению. Как правило, для моделирова­ния полета воздушных объектов прибегают к численному интегрированию системы уравне­ний, описывающей движение в некоторой си­стеме координат [1-7]. В случае задачи Коши такой подход крайней эффективен и позволяет получать достоверные результаты, однако при решении краевой задачи прямое численное интегрирование невозможно, приходится при­бегать, например, к неявным схемам, которые приводят к решению системы линейных ал­гебраических уравнений, или к методу при­стрелки. Рассматриваемый в данной работе векторный подход в силу особенности его по­строения с высокой точностью удовлетворяет граничным условиям и требует значительно меньше вычислений по сравнению с метода­ми, упомянутыми выше, что в рамках настоя­щей постановки задачи повышает его привле­кательность. Следует отметить, что векторный подход к расчету траекторных параметров уже был развит коллективами ЦАГИ [8], однако применялся только к задаче моделирования воздушного боя и был реализован на устарев­ших сегодня языках программирования.

Математическая модель, используемая для решения задачи

Далее рассматривается подход к формирова­нию траектории полета одиночного СВН по контрольным точкам с выполнением различ­ных пространственных маневров.

В основу математической модели поло­жен так называемый векторный способ формирования траекторных параметров. Пусть имеется инерциальная система координат с ортонормированным базисом (i, j, k), а также поточная система координат с ортонормиро­ванным базисом (ν, λ, μ), где орт ν направлен из центра масс вдоль вектора скорости мо­делируемого СВН; орт λ направлен перпен­дикулярно ν, и его направление совпадает с направлением действия подъемной силы орт μ дополняет тройку до правой. Взаимное рас­положение описанных систем координат при­ведено на рис. 1 (для наглядности начала от­счетов систем координат совмещены).

Вектор ν описывает текущее направле­ние движения СВН. Изменяя его, можно управ­лять и направлением движения СВН, обеспе­чивая прохождение через контрольные точки и выполнение пространственных маневров.

Пусть помимо текущего направления движения, определяемого единичным векто­ром ν, задано потребное направление дви­жения, которое описывается единичным век­тором ν_η. В случае отсутствия в маршруте, сформированном оператором САПР РЛС, про­странственных маневров, вектор ν_η ориентиру­ется на следующую по порядку контрольную точку (рис. 2, а). Если присутствуют некоторые маневры, то на соответствующем участке тра­ектории вектор ν_n изменяет свою ориентацию в течение времени в соответствии с заданным маневром. Так, например, при выполнении маневра «змейка» вектор ν_η поочередно пово­рачивается то в одну, то в другую сторону от­носительно направления на следующую кон­трольную точку (рис. 2, б).

Итак, основу метода управления векто­ром направления движения составляет алго­ритм формирования закона управления векто­ром ν на базе вектора ν_n .

Для обеспечения прохождения СВН че­рез некоторую контрольную точку необхо­димо, чтобы векторы текущего и потребного направлений оказались сонаправленными. Реализовать это можно путем поворота вектора текущего направления в сторону вектора по­требного направления до их совмещения. Дан­ное преобразование можно осуществить путем формирования производной вектора текущего направления. С физической точки зрения пово­рот вектора текущего направления движения осуществляется посредством формирования потребной нормальной перегрузки, ориен­тированной в пространстве так, чтобы СВН, а вместе с ним и вектор ν поворачивались в нужную сторону. В реальном полете это дости­гается посредством отклонения соответствую­щих аэродинамических поверхностей: например, руля высоты для маневра в вертикальной плоскости или элеронов в случае выполне­ния маневра в горизонтальной плоскости. В рамках постановки задачи имитации полета различных СВН детализация моделирования вплоть до учета отклонения органов управле­ния излишня и с точки зрения вычислительной сложности, и с точки зрения требований к ха­рактеристикам рассчитываемых траекторий.

Пусть между векторами текущего на­правления V и потребного направления V_n име­ется рассогласование, которое можно опи­сать величиной угла φ между ними. При этом угловая скорость вращения вектора текущего направления ω_ν пропорциональна значению рассогласования с коэффициентом пропор­циональности k_φ который называют коэффи­циентом уменьшения рассогласования. Связь между последними тремя величинами можно описать следующим равенством:

ω_ν = k_φφ.

Таким образом, требуется сформировать значение производной вектора текущего на­правления, которое будет обеспечивать пово­рот вектора текущего направления в сторону вектора потребного направления, причем с помощью коэффициента уменьшения рассо­гласования можно будет управлять скоростью поворота, обеспечивая тем самым требуемое значение нормальной перегрузки.

Если рассматривать движения в поточ­ной системе координат, то указанный выше по­ворот вектора текущего направления в вектор потребного будет выражаться в формировании некоторой производной для вектора потребно­го направления. Для отыскивания производ­ной вектора потребного направления можно представить его в виде линейной комбинации векторов потребного и текущего направлений:

где  - производная вектора по времени.

Это есть условие того, что компенсация рассогласования между текущим и потребным направлениями движения будет происходить в плоскости векторов потребного и текущего направлений.

Для нахождения коэффициентов а и b можно воспользоваться двумя условиями:

1. производная вектора текущего на­правления ортогональна самому вектору, т. е. ;
2. модуль вектора -V_π пропорционален углу рассогласования между текущим и потреб­ным направлениями движения, т. е. || = kφ.

Эти два условия дают следующие зна­чения а и b:

С учетом этого выражение для потребной скорости изменения вектора V будет выглядеть следующим образом:

Следует заметить, что это выражение содержит особенность при φ = 0, но она рас­крываемая:

В [8] показано, что уравнение для теку­щей скорости изменения вектора V имеет вид

где g - ускорение свободного падения;

V - модуль скорости цели;

n_y - нормальная скоростная перегрузка;

j - вертикальный орт земной системы координат;

λ - единичный вектор, направленный вдоль подъемной силы.

Из условия равенства текущей скоро­сти изменения вектора V скорости изменения вектора V_n можно получить выражение для потребного значения нормальной скоростной перегрузки и направления ее действия [8]:

Теперь, используя разностное выражение производной, можно записать расчетную схему для определения вектора текущего направ­ления на следующем шаге интегрирования:

V^k+1 =V^k + V∆t,

где ∆t - шаг интегрирования.

Для управления текущей скоростью по­лета можно при необходимости задавать неко­торую тангенциальную перегрузку, исходя из того требуется ли увеличить или уменьшить скорость полета. Конечная разностная схема для нахождения скорости на следующем вре­менном шаге выглядит так:

V^k+1 = _V^k + g(n_x - (ν, j))∆t.

Описанный выше подход позволяет фор­мировать управление вектором текущего на­правления, которое обеспечивает прохождение СВН через все контрольные точки, а также выполнение заданных боевых маневров. При этом описанный сценарий может применяться для моделирования движения в случае частич­ного или даже полного отсутствия исходных данных.

Для более реалистичного моделирования полета СВН необходимо учитывать аэродина­мические особенности каждого СВН. В част­ности, описанный выше подход не учитывает ограничение на максимальную нормальную перегрузку.

В случае превышения значения потреб­ной нормальной перегрузки можно скоррек­тировать коэффициент уменьшения рассо­гласования, вследствие чего поворот вектора текущего направления будет осуществляться с такой скоростью, чтобы значение нормаль­ной перегрузки находилось в пределах допу­стимого. Выражение (1) можно представить в следующем виде:

Если (A, A) > n²_у mах, где n_у mах - макси­мальное значение нормальной перегрузки, то для нахождения коэффициента уменьшения рассогласования можно решить следующее квадратное уравнение:

Решением уравнения (3) является такое значение коэффициента уменьшения рассогла­сования, которое обеспечивает поворот СВН с заданным максимальным значением нормаль­ной перегрузки:

Если присутствует информация об аэ­родинамических коэффициентах, то в рамках векторного подхода можно их учесть. Для это­го можно записать в общем виде выражения для нормальной и тангенциальной перегрузок:

где P(H, M, η) - тяга, зависящая от высоты полета H, числа Маха M, степени дроссели­рования силовой установки η;

α - угол атаки;

m - масса СВН;

q - скоростной напор;

S - характерная площадь СВН;

C_y (α, M) - коэффициент подъемной силы, который зависит от угла атаки и числа Маха;

C_x (C_y, M) - коэффициент сопротивле­ния, зависящий от числа Маха и коэффициен­та подъемной силы.

Если получено значение скоростной нор­мальной перегрузки n_y, задано значение тан­генциальной перегрузки n_x (не превышающее предельно допустимую), то посредством реше­ния системы уравнений можно найти значения угла атаки и степень дросселирования силовой установки, т. е. тягу. Стоит отметить, что зна­чение нормальной перегрузки высчитывается в соответствии с выражениями (2) и (3), но тан­генциальная перегрузка по умолчанию равна нулю, ее значение меняется только в случае выполнения маневра по скорости, заданного пользователем, при этом значение тангенциальной перегрузки линейно изменяется вплоть до предельно допустимой.

Следует отметить, что для детального моделирования движения СВН с учетом изме­нения модуля скорости по указанному выше алгоритму требуется наличие информации о зависимостях аэродинамических коэффициен­тов от условий полета. В частности, необходи­мо иметь информацию о зависимости коэффи­циента подъемной силы от угла атаки и числа Маха C_y(α, M), зависимости коэффициента сопротивления от коэффициента подъемной силы и числа Маха C_x (C_y, M), а также о вы­сотно-скоростных характеристиках силовой установки P (H, M, η).

В окончательном виде полная разност­ная схема представлена следующими соотно­шениями:

где r^k - радиус-вектор положения центра масс СВН на k-м шаге интегрирования.

Описанный подход можно применять также для расчета траекторных параметров в случае моделирования огибания рельефа мест­ности маневренным истребителем или крыла­той ракетой.

Особенности программной реализации

На основе математической модели был спро­ектирован программный компонент, который предоставляет API для расчета траекторий. Программный компонент был выполнен в рамках парадигмы объектно-ориентирован­ного программирования: основным элементом является класс с набором методов. Конструк­тор класса позволяет передавать краевые усло­вия (координаты контрольных точек, маневры) и летно-технические характеристики. У класса присутствует расчетный метод, позволяющий запускать расчет траектории с заданными в кон­структоре класса условиями. После заверше­ния работы расчетного метода можно вызвать методы, возвращающие результаты расчета.

В основу концепции архитектуры была заложена перспектива интеграции компонента в общую интеграционную платформу, а также работы с группами СВН. Помимо непосред­ственно расчетных классов и интерфейсов, реализовывается масштабная база данных, в которой хранятся как летно-технические ха­рактеристики СВН, так и результаты моде­лирования и информация по группам. Основ­ной инструмент, используемый для создания программы, - библиотека Qt [9]. На рис. 3-6 продемонстрированы элементы отладочного графического интерфейса (в интеграционной платформе САПР РЛС свой графический ин­терфейс, интегрироваться будет только расчет­ная модель). Основное окно интерфейса ото­бражает карту местности, на которой можно размещать контрольные точки, задавать манев­ры. В верхней панели интерфейса расположе­ны инструменты, позволяющие администриро­вать базу данных: задавать летно-технические характеристики новых СВН, редактировать уже имеющиеся СВН в базе данных, форми­ровать группы СВН, запускать расчет и про­сматривать результаты (см. рис. 3).

На рис. 4 приведен пример создания группы СВН. В первую очередь выбирается состав группы (рис. 4, а), затем настраивается боевой порядок (рис. 4, б).

На рис. 5 представлен пример отобра­жения рассчитанных траекторий для группы, состоящей из трех СВН, которые выстроены в боевом порядке «клин» в соответствии с рис. 4, б без выполнения маневров, только с учетом прохождения через контрольные точки, заданные на рис. 6.

На рис. 7 показаны более детализиро­ванные результаты расчета, которые для од­ного СВН, выбранного в левой части панели, включают в себя отображения геоцентриче­ских координат от времени (три верхних гра­фика), геодезических координат от времени (три средних графика), углы тангажа, крена и скорость в зависимости от времени (три ниж­них графика). Стоит отметить, что скорость полета постоянна на протяжении всего поле­та в силу того, что не были заданы маневры по скорости.

Заключение

В работе описаны главные принципы по­строения траекторных параметров на основе управления направлением вектора движения СВН. Метод позволяет, с одной стороны, рас­считывать траектории для СВН, по которым известен очень ограниченный набор исход­ных данных, с другой - при наличии подробной информации об аэродинамических харак­теристиках СВН осуществлять расчет с высо­кой точностью.

В рамках описанной постановки задачи требуется удовлетворение граничным услови­ям, что делает применение подходов, основан­ных на интегрировании системы уравнений, гораздо более трудоемким по сравнению с век­торным подходом. Именно благодаря краевому характеру задачи векторный подход к форми­рованию траекторных параметров - один из самых оптимальных.