Метод формирования и масштабирования расширенных лучей фазированной антенной решетки

Введение

В современных бортовых многофункциональ­ных радиолокационных станциях (РЛС) в ка­честве антенн часто используются пассивные фазированные антенные решетки (ФАР), от которых требуется оперативно изменять фор­му и параметры луча. Амплитудное распре­деление ФАР определяется параметрами рас­пределительной системы и в условиях эксплу­атации, как правило, не изменяется. Все пре­образования формы луча могут проводиться только посредством управления фазовым рас­пределением (ФР). Поэтому для оперативно­го формирования луча с заданными парамет­рами необходимо применять такие методы фа­зового синтеза, которые позволяют находить решения за малый промежуток времени, т. е. в используемом алгоритме синтеза должно быть минимальное число простых математи­ческих операций.

Рассмотренные в данной работе алго­ритмы быстрого нахождения ФР во многом позволяют решать поставленные задачи. Они основаны на методе фазового синтеза веер­ных парциальных диаграмм направленности (ВПДН) [1-3]. В основу метода ВПДН поло­жено простое соотношение для двухэлемент­ной антенной решетки между направлением максимума диаграммы направленности (ДН) и разностью фаз на излучателях [4]. Также используются условия суперпозиции парци­альных ДН и равенства излучаемой энергии, рассчитанной по раскрыву и в угловом про­странстве формируемого луча. Благодаря на­глядности и простоте используемых подходов и полученных алгоритмов операция фазового синтеза сводится к элементарным алгебраи­ческим операциям, которые могут быть вы­полнены непосредственно в процессе работы РЛС. Модифицированные варианты метода позволяют также проводить фазовый синтез объемных ДН плоских ФАР с произвольной формой раскрыва [5] и служить основой для получения оптимальных решений фазового синтеза ДН в соответствии с заданным крите­рием оптимизации [6].

Следует отметить, что метод ВПДН име­ет общие черты с методом геометрической оп­тики (ГО). Математический аппарат метода ГО основан на асимптотической оценке интегра­ла Фурье с быстро осциллирующей фазовой функцией, который в математике называется методом стационарной фазы [7]. Общий мате­матический аппарат метода ГО [8-10] доволь­но сложен, он использует условие равенства энергий возбуждения и излучения, широко применяет понятие стационарной точки и позволяет учитывать поля, излучаемые краями антенны. Метод ГО является универсальным инструментом синтеза и в некоторых частных случаях линейных ФАР позволяет получить сравнительно простые фазовые решения.

Метод ВПДН, в отличие от метода ГО, базируется на очень простых положениях. Его можно рассматривать как инженерный ме­тод фазового синтеза, решения которого для дискретных раскрывов аналогичны результа­там, полученным по методу ГО. Вместе с тем именно простота и наглядность метода ВПДН позволили обнаружить свойство масштабиро­вания решений синтеза, с помощью которого из одного варианта синтеза можно получать множество других вариантов посредством ум­ножения фазового распределения на коэффи­циент масштабирования [11]. Это свойство позволяет дополнительно сократить время оперативного изменения расширенных лучей ФАР.

В данной работе обсуждаются возможно­сти фазового метода ВПДН, применяемого для одномерного расширения луча плоской ФАР, а также особенности использования масшта­бирования решений фазового синтеза. Базо­вые положения и математические выражения, используемые в методе ВПДН, рассмотрены подробно, поскольку основные свойства опе­раций масштабирования вытекают непосред­ственно из них.

Базовые положения и математические соотношения метода ВПДН

Концепция метода веерных парциальных диаграмм направленности основывается на представлении раскрыва ФАР из М излучате­лей в виде совокупности (М - 1) подрешетки [1-3]. Каждая из вновь сформированных под- решеток состоит из двух излучателей. Любой внутренний излучатель раскрыва условно расщепляется на два с теми же координатами и половинными значениями амплитуд отно­сительно первоначального уровня. Из таких виртуальных половинок излучателей, разне­сенных друг от друга на расстояние шага ре­шетки, формируются парные подрешетки из двух элементов. На рис. 1 показано образова­ние парных подрешеток для линейки излуча­телей.

Каждая такая подрешетка формирует парциальную ДН, угловым положением луча которой можно управлять посредством нало­жения фазового сдвига на ее излучатели. Для получения расширенного луча всей ФАР мак­симумы этих лучей необходимо расположить на определенном угловом расстоянии друг от друга (рис. 2).

В основе метода лежат простые энерге­тические соотношения. При формировании расширенных лучей вся энергия, излучаемая раскрывом антенны, должна быть распреде­лена в угловом пространстве от u_min = sinθ_min) до M_max = sinθ_max), и уравнение баланса энергии для ФАР с линейным дискретным раскрывом может быть приведено к виду

где b - нормировочный коэффициент;

М - число излучателей в раскрыве;

(М - 1) - число парных подрешеток, таково же число угловых интервалов разбиения луча;

A²_{m_ср} - средняя величина излучаемой мощности на участке раскрыва Δx_m;

Δx_m - длина m-го участка раскрыва ан­тенны;

F²_{m_ср} - средняя величина плотности излучаемой мощности в угловом интервале Δu_m;

Δu_m - m-й угловой интервал разбиения луча, выраженный в переменных u = sin(θ).

Если уровни амплитудного распреде­ления и формируемого луча увязаны друг с другом энергетически, то b = 1. В противном случае значение b легко определяется по ре­зультатам нормировки интегральных энергий.

Из заданной геометрии раскрыва и за­данного возбуждения токов на элементах из­вестными становятся все члены левой суммы. Требуемый вид луча F(u) считается заданным, неустановленными остаются угловые интерва­лы {Δu_m} и соответствующие им средние зна­чения {F²_{m_cp}}.

Уравнение (1) имеет множество реше­ний. Самое простое можно получить при по­членном равенстве слагаемых, т. е. при выпол­нении для всех значений m соотношения

Физически выражение (2) означает, что энергия, излучаемая каждым m-м участком раскрыва, расположенным на интервале Ax_m, должна быть направлена в соответствующий m-й угловой интервал, и именно она определяет плотность энергии в интервале Δu_m. На рис. 3 наглядно продемонстрировано определение расположения m-й угловой зоны и ее размеров при использовании соответствующих инте­гральных функций P(x) и P(u), выражающих энергетический баланс распределения энергии в раскрыве ФАР с одной стороны и угловом пространстве с другой. Требуемая форма луча обеспечивается за счет правильного располо­жения парциальных лучей с учетом их уровня.

Как было показано выше, в ФАР удоб­но в качестве подрешеток использовать два соседних излучателя. Уровень максимумов парциальных ДН {F_m (0)} определяется ви­дом амплитудного распределения в раскрыве и местоположением пары соответствующих излучателей:

Ширина углового интервала, выделяе­мого каждому парциальному лучу (рис. 2, 3), пропорциональна уровню парциального луча и определяется в наиболее простом случае секторного расширения исходного луча экви­дистантной ФАР выражением

Максимумы парциальных лучей должны быть направлены в центры соответствующих угловых интервалов, поэтому направления максимумов вычисляются по формуле

Для расположения парциальных лучей в направления {u_m} необходимо определить фазовый сдвиг на излучателях парных подрешеток на величину

∆φ_m+1 = -kdu_m                                (6)

Очевидно, что фазы расщепленных из­лучателей (общих излучателей соседних под- решеток) должны быть одинаковы (см. рис. 1). Учитывая, что фазу первого излучателя (т = 1) можно не изменять (или принять равной нулю), искомая фаза других излучателей с номерами m > 1 будет определяться формулой

Полученное фазовое распределение {φ _m} и будет формировать луч требуемой формы F (u). Применяя рассмотренный метод, можно фор­мировать как простые одномерно расширен­ные секторные лучи, так и более сложные, например вида cosec² (θ).

Примечательно, что при изменении на­правлений всех парциальных лучей {u_m} на одну величину Δu₀ формируемый луч сдвига­ется на эту угловую величину, что соответству­ет добавлению линейного фазового распреде­ления вдоль раскрыва

Показатели качества расширенных лучей (амплитуда осцилляций в области луча, шири­на скатов луча, уровень боковых лепестков и т. д.) зависят от параметров амплитудного рас­пределения (главным образом от уровня поля на краю), формы раскрыва, числа излучате­лей, значений шагов между ними, требуемой формы и параметров луча и т. д. Эти зависи­мости имеют сложный характер, и их выявле­ние, даже для ФАР с заданной геометрией и возбуждением, требует довольно обширных исследований.

Главное преимущество метода заключа­ется в использовании простых алгебраических выражений для расчета фазового распределе­ния, дающих однозначное решение.

Масштабирование расширенных лучей

Свойство масштабирования заключается в наличии определенных соотношений между фазовым распределением и шириной луча. Под свойством масштабирования будем по­нимать следующее: если первичное ФР φ(x) в раскрыве линейной ФАР формирует луч, расширенный в α раз, и если пропорцио­нальное ему вторичное ФР βφ(x) формирует луч, расширенный в αβ раз, то ФР и ширина луча обладают свойством масштабирования по переменной u = sin (θ) с коэффициентом β .

Ниже приведены формулировки и дока­зательства нескольких важных свойств мето­да ВПДН, которые очень полезны при синтезе расширенных лучей и проведении масштаби­рования.

Лемма 1. Если ФР, формирующее расши­ренный луч, сформировано по методу ВПДН, то ФР и ширина луча связаны свойством мас­штабирования.

Если на раскрыве ФАР уже сформиро­вано первичное ФР, расширяющее луч по ме­тоду ВПДН в α раз, то уже определены на­правления {U_αm} парциальных лучей и сдвиги фаз на каждой бинарной подрешетке {Δφ_αm}. Дополнительное изменение ширины луча в β раз означает, что парциальные лучи необходи­мо расположить в направлениях {βu_αm} (веер лучей (рис. 2) сжимается или расширяется в зависимости от значения β). Следовательно, в соответствии с (7), новое ФР на m-м излуча­теле составляет

Это означает, что для дополнительного изменения ширины луча в β раз ФР необхо­димо дополнительно изменить в β раз. Та­ким образом доказано, что ФР и ширина луча, сформированные по методу ВПДН, обладают свойством масштабирования.

Лемма 2. Если ФР и ширина луча свя­заны свойством масштабирования, то для операции масштабирования в общем случае необходимо использовать первичное ФР, не приведенное к интервалу 2π.

Для доказательства выберем произволь­ный излучатель в раскрыве с номером т. В соответствии с методом ВПДН излучатель имеет фазу, которую можно представить в виде двух слагаемых, одно из которых есть целое число 2π, а другое - остаток, меньший 2π:

Ψ_m = 2πn + φ_m .                                                   ⁽¹⁰⁾

При проведении операции масштабиро­вания, т. е. дополнительного расширения луча в произвольное число β , ФР необходимо изме­нить в β раз:

βψ _m =β2πn + βφ _m.                                                ⁽¹¹⁾

Следовательно, при масштабировании приведенного ФР, т. е. при отбрасывании сла­гаемого с целым числом 2π , получаем в общем случае неверное ФР, и масштабирование будет неэффективно. Примечательно, что в частном случае масштабирования в целое число раз (β = 2, 3, 4 и т. д.) луч будет дополнительно расширен в заданное число раз, даже при ис­пользовании приведенного ФР. Также очевид­но, что луч будет дополнительно расширен правильно, если диапазон изменения ФР, по­лученного при первоначальном расширении, не превышает 2π (вариант n = 0).

Лемма 3. Если ФР и ширина луча связа­ны свойством масштабирования, то при опера­ции масштабирования в β раз границы начала и конца луча изменяются в β раз по перемен­ной u = sin(θ).

Из выражений (9) следует, что при опе­рации масштабирования в β раз направле­ния U всех парциальных лучей (в том числе начального и конечного) изменяются в β раз. В соответствии с теорией формирования рас­ширенных лучей по методу ВПДН границы начального и конечного парциальных лучей определяют границы начала и конца формиру­емого луча. Это свойство носит общий харак­тер и не зависит от формы расширенного луча.

Лемма 4. Если ФР и ширина луча связа­ны свойством масштабирования, то при мас­штабировании в β раз луча, первоначально расширенного в α раз, формируются те же ФР и форма луча, которые были бы получены при первоначальном расширении луча в αβ раз.

Данное свойство следует непосредствен­но из выражений (9), которые также исполь­зуются и при первоначальном формировании луча по методу ВПДН (7).

При использовании метода ВПДН и свойства масштабирования необходимо так­же принимать во внимание следующие обсто­ятельства:

• коэффициент расширения луча озна­чает изменение ширины луча по переменной u = sin(θ);
• в качестве коэффициента расширения луча можно использовать параметры расши­рения по разным уровням (-3 дБ, -6 дБ и т. д.). Необходимо учитывать, что на вершине рас­ширенного луча присутствуют осцилляции, а на низких уровнях - «прилипшие» к лучу бо­ковые лепестки;
• метод ВПДН и свойство масштабирова­ния позволяют обеспечить требуемую форму амплитудной ДН в области расширения луча, но не определяют фазовую ДН;
• форма расширенного луча не изменит­ся, если у синтезированного или отмасштаби- рованного ФР инвертировать знак или к нему добавить постоянную составляющую;
• при добавлении линейно изменяюще­гося вдоль раскрыва ФР синтезированный луч сдвигается в угловой области без изменения формы. Если отклоненный луч подвергнуть масштабированию, то его границы изменятся в соответствии с леммой 3;
• в данной работе метод ВПДН и свой­ство масштабирования описаны в применении к множителю направленности (МН) ФАР, т. е. для случая использования всенаправленных не­зависимых излучателей. Для реальных ФАР из­ложенная теория справедлива при синтезе и мас­штабировании лучей в угловой области, где ДН одного излучателя (диаграмма сканирования) близка к единице. При синтезе более широких лучей необходимо требуемую форму луча скор­ректировать с учетом диаграммы сканирования, соответствующим образом завысив уровни син­тезируемого луча в удаленных угловых областях.

Необходимо отметить, что, по-видимому, свойством масштабирования обладают также решения, полученные по методу ГО. Одна­ко это предположение и степень общности его возможного использования нуждаются в доказательствах. По крайней мере решения, полученные для линейных ФАР в [9], таким свойством обладают.

Результаты математического моделирования секторных лучей

Свойства масштабирования легко проверя­ются средствами математического модели­рования. На рис. 4 представлены 5 вариантов фазового расширения луча. Результаты моде­лирования получены для линейной ФАР, со­стоящей из 40 излучателей, расположенных с шагом 0,5λ, и амплитудным распределением вида косинус на пьедестале с уровнем поля на краю, равным 0,25.

На рис. 4 красным цветом показано фазо­вое распределение, применяемое для первичного расширения луча, и соответствующий расширен­ный луч. Используя коэффициенты масштаби­рования β = {1,7, 1,7² - 2,9, 1,7³ - 4,9, 1,7⁴ - 8,4}, получаем соответствующие варианты расши­рения первичного секторного луча. Форми­руемый луч тем шире, чем больше диапазон изменения ФР в раскрыве.

Доказанные свойства масштабирования легко распространяются на ФАР с плоскими раскрывами. В этом случае в качестве линей­ной ФАР необходимо использовать эквива­лентный линейный раскрыв [4].

На рис. 5 приведены примеры формиро­вания в плоской ФАР секторных лучей в угло­местной плоскости с использованием разраба­тываемых методов. Зеленым цветом показаны решения (ФР и ДН) первичного расширения луча в 8 раз. Последующие 2 вторичных ре­шения получены масштабированием в 1,5 и 1,5² раза. Для сравнения на рис. 5, г приведе­на также исходная ДН, а на рис. 5, в в качестве примера - трехмерная ДН с секторным лучом.

Наличие свойства масштабирования по­зволяет в плоских ФАР существенно упро­стить процесс формирования семейства рас­ширенных лучей и в наклонных плоскостях. Эта возможность может быть реализована пу­тем изменения в раскрыве плоскости форми­рования фазового распределения. Последнее особенно актуально, например, для бортовых ФАР, размещенных на летательных аппаратах, в тех ситуациях, когда необходимо стабилизи­ровать в угловом пространстве положение и форму луча при эволюциях самолета.

Результаты математического моделирования лучей вида cosec²(θ)

Несомненным достоинством метода ВПДН яв­ляется возможность масштабировать лучи бо­лее сложной формы, например вида cosec²(θ) (рис. 6).

На рис. 6, а, б представлены ФР, фор­мирующие косекансные лучи. Синим цветом показано первичное ФР, красным и зеленым - формирующие расширенный и суженный лучи соответственно. На рис. 6, г приведены резуль­таты масштабирования косекансных лучей в 1,7 раза. Построив дополнительно графики функций cosec² (θ) = 1/sin²(θ) легко обнаружить соответствие косекансных лучей, сформиро­ванных методом ВПДН, соответствующим математическим функциям, что и подтвержда­ет возможность масштабирования лучей вида cosec²(θ).

Важно учитывать, что при масштабиро­вании косекансного луча в β раз в соответ­ствии с леммой 3 границы луча изменяются по закону u_new = βu_old. Это означает, что начало и конец отмасштабированного луча должны сдвигаться на разные угловые расстояния, что и наблюдается на приведенных рисунках.

Необходимо также отметить, что в соот­ветствии с леммой 4 не имеет значения, каким способом (методом масштабирования или непосредственным синтезом по методу ВПДН) получены представленные варианты расши­рений. Параметры расширенных лучей будут одинаковы. Также не имеет значения, какой из вариантов расширения используется при мас­штабировании в качестве первичного.

Результаты экспериментальных исследований

На рис. 7 представлены результаты экспери­ментальных исследований по формированию секторных и косекансных лучей, фазовые ре­шения которых получены с применением ме­тода ВПДН. В измерениях была использована ФАР с раскрывом круглой формы, имеющая спадающее вдоль радиуса амплитудное рас­пределение с коэффициентом использования поверхности около 0,91 и случайную ошибку реализации ФР со среднеквадратичным от­клонением σ_φ ≈5°. Отметим, что уровень мак­симальных боковых лепестков для этой ФАР при формируемом синфазном распределении составляет ≈ –28 дБ.

Из представленных данных следует, что точность результатов моделирования и измере­ния для уровней ДН свыше -28 дБ достигает доли децибела. Максимальное отличие на ра­бочем участке смоделированной и измеренной косекансных ДН от функции cosec²(0) состав­ляет ≈1,5 дБ.

Заключение

Рассмотрен метод ВПДН, позволяющий про­водить для ФАР операцию фазового синтеза одномерно расширенных лучей заданной формы. Впервые подробно исследуется новое свойство масштабирования, которое позволя­ет проводить операцию дополнительного рас­ширения секторных лучей ФАР на основе ра­нее найденного варианта расширения. Таким образом, если в ФАР необходимо реализовать семейство однотипных расширенных лучей, то достаточно найти по методу ВПДН одно первичное ФР, расширяющее луч в α раз, а все остальные лучи с расширением в αβ по­лучать посредством умножения первичного фазового распределения на коэффициент β.

В работе были сформулированы и дока­заны четыре важных свойства, которые необ­ходимо учитывать при проведении масштаби­рования.

Результаты математического моделирова­ния по формированию одномерно расширенных секторных и косекансных лучей подтвердили работоспособность метода ВПДН и эффектив­ность масштабирования полученных решений.

Наличие свойства масштабирования дает значительные преимущества в использовании фазового синтеза расширенных лучей по мето­ду ВПДН, важнейшими из которых являются:

• возможность на основе заданного ам­плитудного распределения в раскрыве и тре­буемой формы луча на основе простых алгеб­раических операций однозначно определять первичное фазовое распределение;
• простота математических операции масштабирования, заключающаяся в умноже­нии первичного фазового распределения на коэффициент масштабирования, определяет легкость его практической реализации в ФАР;
• возможность формирования лучей с требуемыми коэффициентами расширения не­посредственно в ходе работы РЛС с ФАР;
• возможность использования в актив­ных и пассивных ФАР с линейными и плоски­ми раскрывами.

Есть основания полагать, что свойством масштабирования обладают также фазовые решения, полученные по методу ГО.

Обсуждаемый метод фазового синтеза с использованием свойства масштабирова­ния прошел экспериментальную проверку в АО «НИИП имени В.В. Тихомирова» на об­разцах разработанных ФАР и АФАР при фор­мировании секторных и косекансных лучей.