Моделирование системы управления дробного порядка с высокоинерционным объектом управления на примере системы стабилизации антенно-поворотного устройства

Введение

В большей части отраслей промышленности пропорционально-интегрально-дифференци­альные регуляторы (далее - ПИД-регуляторы) для управления процессами использовались в течение нескольких десятилетий. Причина их популярности заключается в простоте схемо­технического исполнения и наличии динами­ческих характеристик, обеспечивающих низ­кий процент перерегулирования и малое вре­мя установления инерционных объектов [1].

В то же время растет число исследо­ваний, связанных с проектированием и при­менением во многих областях науки и тех­ники, ПИД-регуляторов дробного порядка (ФПИД-регуляторов) [2-5]. Особенностью такого регулятора заключается в том, что кро­ме классических коэффициентов управления K_p, K_d, K_i в уравнении передаточной функции контроллера появляются параметры, опреде­ляющие порядок интегрирования λ и диффе­ренцирование δ ФПИД-регулятора.

Использование ФПИД-регулятора позво­ляет достичь преимуществ системы автомати­ческого управления [6], среди которых:

• отсутствие или низкая вероятность ста­тической ошибки системы;
• высокий запас по фазе и амплитуде си­стемы управления;
• высокая помехоустойчивость системы;
• устойчивость к внешним возмущениям объекта управления;
• высокая чувствительность к сигналу ошибки системы благодаря увеличенному чис­лу параметров настройки (K_p, K_i, K_d, λ, δ).

Однако в отечественной научной литера­туре недостаточно полно освещены вопросы применения и проектирования ФПИД-регуляторов. Отметим работы, посвященные исследованиям, цель которых - увеличение чув­ствительности работы ПИД-регулятора за счет реализации дробного дифференцирования и интегрирования, такие как ПИД-регулятор с до­бавочными И- и Д-звеньями [2], ЛИД-регулятор [3] и ПИД-регулятор дробного порядка, реализо­ванный на дискретных элементах [4, 5]. Это связа­но с тем, что теория дробных исчислений пока не получила широкого распространения в инженер­ной среде: отсутствуют достаточно универсаль­ные методики проектирования ФПИД-регуляторов и элементная база, позволяющая выполнять операции дробного аналогового дифференциро­вания и интегрирования без усложнения схемо­технического исполнения регулятора.

Целями данной статьи являются моде­лирование системы управления объектом с высокой инерцией при использовании класси­ческого ПИД-регулятора и ФПИД-регулятора, а также сравнение достигнутых показателей управления этих систем и демонстрация воз­можности построения ФПИД-регуляторов на основе новых пассивных АС-элементов, обла­дающих фрактальным (дробным) импедансом.

Статья построена следующим образом. Сначала определено выражение для переда­точной функции объекта управления. Затем описан процесс оптимизации коэффициентов управления классического ПИД-регулятора и произведена оценка характеристик модели си­стемы. В следующем разделе выполнена опти­мальная настройка ФПИД-регулятора и пред­ставлен сравнительный анализ характеристик системы автоматического управления (САУ) с ФПИД-регулятором и классическим ПИД-регулятором. Далее дано понятие об АС-элементах с фрактальным импедансом, на основе которых можно выполнять операции интегрирования и дифференцирования дробного порядка. В заключительном разделе проведено схемотех­ническое моделирование САУ с ФПИД-регулятором, построенным с использованием схемо­технических моделей фрактальных элементов.

Передаточная функция высокоинерционного объекта управления

Представим объект управления в виде син­хронной машины с маховиком, создающим высокий маховый момент на вал двигателя. Классическое выражение для передаточной функции двигателя в комплексно-частотной области определяется выражением

где K - коэффициент передачи двигателя;

Т_э - электромагнитная постоянная времени двигателя (с);

T_j - электромеханическая постоянная вре­мени (с) [6];

s - комплексная частота в области Лапласа.

Электромеханическая (инерционная) по­стоянная определяет время нарастания кривой разгона двигателя до ее асимптоты. Значит, если K - коэффициент передачи по скорости двигателя (рад/с), то T_j - время разгона дви­гателя до его максимальной скорости. Для наглядности примем электромеханическую составляющую с большим значением, например T_j = 2137,2 с. Такую инерционную состав­ляющую может обеспечить маховик массой 6,5 т на валу диаметром 0,2 м. Маховый момент равен 0,263 т · м² согласно [7] .

Электромагнитная постоянная двигате­ля определяет время нарастания тока якоря до установившегося значения и определяется по формуле

где L_я - индуктивность якорной обмотки элек­тромотора;

R_я - сопротивление якорной обмотки;

β - коэффициент пропорциональности, со­гласно приближенной формуле Уманского [7], для расчета двигателя с компенсацией β = 0,3;

U_я - рабочее напряжение якорной обмотки электромотора;

I_я - ток якорной обмотки электромотора;

f_ном = 400 Гц - рабочая частота двигателя.

Пусть максимальная скорость вращения двигателя равна 2980 об/мин (312 рад/с). При­мем допущение, что коэффициентом передачи объекта управления системы является максимальная скорость вращения двигателя при появлении на его входе условной единичной величины входного возмущения. Этим возму­щением может являться напряжение управле­ния, частота или разность фаз напряжений на обмотках статора двигателя в зависимости от реализации способа управления, который в данной статье не рассматривается.

Таким образом, условная передаточная функция двигателя с высокой инерцией по скорости определим выражением

Построим кривую разгона объекта управле­ния (рис. 1).

Для принятой передаточной функции объекта управления промоделируем системы с классическим ПИД-регулятором и ФПИД-регулятором. В качестве основных критериев управления примем перерегулирование не бо­лее 10 % и запас по фазе не менее 50°, проведем сравнительную оценку остальных па­раметров переходной функции и частотные характеристики.

Суть процесса моделирования ФПИД-ре­гулятора, как и для классической цепи, заклю­чается в проверке рассчитанных коэффициен­тов регуляторов на модели, наиболее полно отражающей поведение объекта. Расчет ко­эффициентов осуществлялся с помощью име­ющихся программных средств, исходными данными для которых является передаточная функция объекта управления системы, ее не­обходимо было получить в первую очередь.

Оптимизация коэффициентов классического ПИД-регулятора

Для расчета коэффициентов классического ПИД-регулятора был использован встроен­ный оптимизатор коэффициентов управления PIDTuning в программе MATLAB R20120b. Он позволяет настроить коэффициенты регули­рования по требуемым характеристикам АЧХ системы и ее временным характеристикам.

В качестве исходных данных оптимизатору необходима передаточная функция объекта управления, заданная функцией tf (передаточ­ная функция) в программе MATLAB.

Оптимизатор предлагает на выбор две схемы ПИД-регулятора: классическую (зве­нья регулятора включены параллельно) схему регулятора и последовательную (пропорцио­нальное звено влияет на коэффициент передачи И- и Д-звена). На данный момент существует только параллельная реализация ФПИД-регулятора, поэтому для более достоверной оценки результатов моделирования для классического ПИД-регулятора выберем параллельную схему.

При настройке ПИД-регулятора выявле­но, что САУ с требуемым перерегулированием имеет большое время установления переходного процесса, а при уменьшении времени установ­ления САУ значение перерегулирования растет. Переходные характеристики полученных моде­лей САУ представлены на рис. 2, сравнительные характеристики САУ приведены в таблице.

В обоих случаях K_d = 0, а полученные коэффициенты для системы без перерегулиро­вания очень малы и, вероятно, технически не реализуемы. Для выбранного объекта управления очевидна проблема: применение клас­сического ПИД-регулятора не позволяет од­новременно уменьшить перерегулирование системы и время установления ее переходного процесса.

Теперь рассмотрим процесс моделирова­ния САУ с ФПИД-регулятором. Оптимизация коэффициентов ФПИД-регулятора

Для расчета коэффициентов ФПИД-регулятора использована программа оптимизации на базе генетического алгоритма, реализованная в программе MATLAB по принципу, описан­ному в работе [8]. Внешний вид окна про­граммы показан на рис. 3.

Исходными данными в программе слу­жат коэффициенты передаточной функции объекта управления из уравнения вида (1). В качестве критерия оптимальности пользова­тель самостоятельно задает частотный коэффи­циент колебательности (ЧКК), характеризую­щий перерегулирование переходного процесса. Точность оптимизации настраивается за счет задания количества первых популяций генети­ческого алгоритма и минимального числа ото­бранных особей в результате первой селекции.

Для уменьшения времени установления переходного процесса в программе вычис­ляется интегральное квадратичное отклоне­ние САУ, используемое в качестве еще одно­го критерия оптимальности. Таким образом, оптимальными принимаются коэффициенты ФПИД-регулятора, при которых интегральное квадратичное отклонение сводится к миниму­му, а ЧКК - к требуемому значению. Обосно­вание выбора критериев оптимизации коэффи­циентов и решения, принятые для реализации данного программного обеспечения, представ­лены в работе [9].

В качестве результатов программа вы­дает коэффициенты управления ФПИД-ре­гулятора, характеристики качества управле­ния: перерегулирование, запас по фазе, время установления переходного процесса, а также строит графики переходной характеристики, диаграммы Боде открытого и закрытого кон­туров САУ, годографа САУ для более точного анализа характеристик управления.

Результирующие ЧХ замкнутой САУ ис­следуемым объектом управления изображены на рис. 4, а ее переходная характеристика - на рис. 5.

Ниже приведены результаты оптимизации.

Полученная математическая модель САУ полностью удовлетворяет заданным требова­ниям. Очевидно, что при требуемом перере­гулировании ФПИД-регулятор позволяет обеспечить переходный процесс САУ меньшим временем установления, чем классический ПИД-регулятор.

Для того чтобы убедиться в правиль­ности полученных результатов, необходимо построить схемотехническую модель САУ и сравнить результаты.

Элементы с фрактальным импедансом и их схемотехнические модели для моделирования АСУ с ФПИД-регулятором

Элементы с фрактальным импедансом (ЭФИ) - это пассивные двухполюсники, импеданс ко­торых определяется выражением [10]:

где p = σ + jω - комплексная частота;

F₀ = const для ω₁ < ω < ω₂;

0 ≤ |α| ≤ 1.

При вещественном значении показателя α ЭФИ характеризуются компонентным уравне­нием:

где C_a - коэффициент пропорциональности, подобный коэффициенту пропорционально­сти С в компонентном уравнении классиче­ского емкостного элемента.

В установившемся режиме уравнение (3) примет вид:

Здесь I - комплексная амплитуда тока через элемент;

ω - круговая частота;

U - комплексная амплитуда напряже­ния на выводах элемента.

Тогда выражение для фрактального им­педанса (ФИ) можно записать так:

В отличие от импеданса классического емкостного элемента ФИ характеризуется тре­мя параметрами: величинами α и C_a диапазо­ном частот (ω₁ < ω < ω₂), в котором эти вели­чины можно считать постоянными с заданной погрешностью. Характерной особенностью ФЧХ ФИ является постоянство фазового сдви­га, который в ограниченном диапазоне частот принимает значения φ _c =-α π/2.

В настоящее время ЭФИ используются в схемах частотно-избирательных фильтров, генераторов, интеграторов и дифференциато­ров дробного порядка, в которых параметр α является дополнительной степенью свободы, отсутствующей в схемах на обычных R- и C- элементах [11, 12]. Однако ЭФИ в этих рабо­тах выполнены в виде многозвенных АС-цепей Фостера или Кауэра, которые сложно в пол­ном смысле назвать элементами, поскольку, по сути, это сборки, содержащие, как правило, десятки дискретных элементов.

В отличие от указанных ЭФИ в работе [13] предложен ЭФИ, представляющий собой двухполюсник в виде многослойной системы чередующихся резистивных и диэлектрических слоев (R1-C-R2), полученных стандартными методами интегральных пленочных микросхем.

Синтез ЭФИ с требуемыми параметрами и характеристиками выполняется в специали­зированной программе, результатом работы которой является схема замещения двухполюсника несколькими отрезками однородных RCNR-линий, соединенных между собой опре­деленным образом и имеющих определенные длины и удельные параметры слоев [14]. Для схемотехнического моделирования таких ЭФИ в программах, языком описания которых явля­ется Spice, каждая RCNR-линия представляется многозвенной (до 1024 звеньев) лестничной цепью соответствующей структуры.

Получим схемотехнические модели ЭФИ, синтезированные по требуемым значе­ниям показателя α (величине угла постоянства фазы ФЧХ импеданса φ _c =-α π/2), допустимой неравномерности и диапазону частот, исполь­зуя указанную выше программу синтеза.

Схема замещения и ФЧХ импеданса для ЭФИ с a = 0,238 (ф_с = 21,4°), допустимой не­равномерностью ±1,5° в диапазоне частот не менее двух декад, приведены на рис. 6; для ЭФИ с a = 0,57 (a_c = 51,3°), допустимой неравномерностью ±1,5° в диапазоне частот не менее двух декад, - на рис. 7. 

Схемотехническая модель САУ в ФПИД-регулятором

Схема модели САУ изображена на рис. 8. Вве­дены следующие обозначения:

U4 - параллельный сумматор;

U1 -П-звено;

U2 -Д-звено с ЭФИ Z_F2 с α = 0,57;

U3 - И-звено с ЭФИ Z_F1 с α = 0,238;

U13 - инвертор;

E1 - модель объекта управления Лапласа;

V4 - источник питания, имитирующий появление уставки (функция Хевисайд).

Настройка коэффициентов И- и Д-звеньев ФПИД-регулятора осуществлялась по методике, описанной в работе [6] для клас­сического ПИД-регулятора и основанной на настройке собственных частот АЧХ П-, И- и Д-звеньев. Для настройки ФПИД-регулятора получены идеальные АЧХ звеньев регулято­ра (рис. 9, а). Далее в результате изменения номиналов резисторов R13, R3, R4, а также удельных параметров r и с ЭФИ проведена настройка по АЧХ схемотехнической модели ФПИД-регулятора (рис. 9, б).

Отклонения в области верхних частот вы­званы ограниченным диапазоном рабочих ча­стот используемых моделей операционных усилителей LT1001A, отклонения в области нижних частот - применением схемотехнической модели ЭФИ. Общая картина поведения ФПИД-регулятора схожа с идеальной с учетом перечисленных выше причин отклонений, точки пересечений АЧХ П- и Д-, а также И- и Д-звеньев идеальной и схемотехнической модели совпадают.

Переходная характеристика настроенной модели САУ с ФПИД-регулятором представлена на рис. 10, ЧХ закрытого контура - на рис. 11, ЧХ открытого контура - на рис. 12. На рисун­ках ЛАЧХ - логарифмическая амплитудно-ча­стотная характеристика.

Ниже приведем характеристики модели САУ

Выявлены несоответствия между мате­матической моделью системы в MATLAB и LTSpice, вызванные ограниченным диапазоном рабочих частот используемых в схемотехни­ческой модели усилителей и ЭФИ. Однако в целом форма переходного процесса совпадает, перерегулирование не превышает 10 %, что со­ответствует требуемым условиям. По результа­там схемотехнического моделирования можно сделать вывод, что результаты оптимизации, полученные программой в разделе «Оптими­зация коэффициентов ФПИД-регулятора» на­стоящей статьи, достоверны.

Заключение

Результаты проведенного моделирования и сравнения показателей САУ с классическим ПИД- и ФПИД-регуляторами показали, что по­следний позволяет улучшить качество управления САУ объектами, обладающими высо­кой инерцией, по сравнению с классическим ПИД-регулятором. Это является еще одним доказательством актуальности и эффектив­ности использования ФПИД-регуляторов в САУ Схемотехническое моделирование САУ с ФПИД-регулятором с применением моде­лей, как стандартных элементов, так и моде­ли ЭФИ продемонстрировало возможность физической реализации таких аналоговых ФПИД-регуляторов при промышленном про­изводстве ЭФИ в виде интегральных элемен­тов с требуемыми свойствами. Реализовать ФПИД-регулятор можно и с помощью мощ­ных вычислительных средств с использова­нием целочисленных аппроксимаций дроб­но-рациональной функции [15, 16].

Цифровая реализация цепей отрицатель­ной обратной связи позволяет реализовать бо­лее точные САУ, например, за счет использования корректировки коэффициентов регулирования классического ПИД-регулятора генетическим алгоритмом, нейронными сетями или нечеткой логикой fuzzy-алгоритмом) [17]. Но следует от­метить, что подобные методы меняют лишь соб­ственные частоты работы звеньев ПИД-регулятора, при этом чувствительность ПИД-регулятора остается без изменений. По мнению авторов ста­тьи, идеальным могло бы стать решение адапта­ции коэффициентов ФПИД-регулятора за счет перечисленных ранее алгоритмов, обеспечива­ющее изменяемый наклон АЧХ И- и Д-звеньев и настраиваемые их собственные частоты.

Тем не менее многочисленные положи­тельные результаты моделирования различных АСУ дробного порядка подтверждают актуаль­ность и целесообразность проводимых иссле­дований, а также необходимость продолжения работ по исследованию и разработке техноло­гии изготовления ЭФИ.