Программный комплекс расчета отражательных характеристик целей с осесимметричной формой в резонансном и высокочастотном диапазонах длин волн

Несмотря на большое количество работ, посвященных электродинамическому модели­рованию электромагнитных полей, рассеянных объектами с различной формой поверхности, решение задачи расчета отражательных харак­теристик объектов лоцирования до сих пор яв­ляется актуальным и востребованным разработ­чиками радиолокационной аппаратуры. Больше всего вопросов остается при создании моделей функционирования дорогостоящих радиолока­ционных станций (РЛС) обзора космического пространства. Одной из особенностей таких РЛС является использование дециметрового и метрового диапазона радиоволн, что позволяет существенно снизить эффективность радиопо­глощающих покрытий, наносимых на поверх­ность наблюдаемых целей. С точки зрения рас­чета эффективной площади рассеяния (ЭПР) таких целей основной сложностью является неприменимость методов высокочастотной асимптотики, поскольку соизмеримость раз­меров целей с длиной волны вызывает необхо­димость учитывать в расчете теневые области поверхности объекта и переотражения между различными участками. Однако существующие в настоящее время пакеты прикладных программ решения электродинамических расчетов позволяют провести подобные расчеты с доста­точно большой точностью, но их чаще всего невозможно применить в случае необходимо­сти внедрения блока расчета отражательных характеристик целей в сложные комплексные модели, имитирующие работы широкополос­ных РЛС в быстро меняющейся обстановке.

Известно, что в настоящее время для ре­шения задач дифракции на телах вращения в резонансной области широко используется ме­тод интегральных уравнений (ИУ). В отличие от методов геометрической теории дифракции, физической оптики, краевых волн и т. д., спра­ведливых в высокочастотной области, метод интегральных уравнений дает возможность асимптотически точно описать рассеянное поле в дальней зоне при соизмеримости линейных размеров тела с длиной волны. Однако, несмо­тря на большое количество публикаций, посвя­щенных данному методу, существует большой разрыв между теоретическими исследованиями и построением алгоритмов, дающих устойчи­вые решения для любых идеально проводящих тел вращения во всей резонансной области.

Пусть на идеально проводящее ограни­ченное тело падает плоская электромагнитная волна с напряженностью электрического E_i и магнитного полей H_i. Будем называть поле этой волны первичным . Под воздействием первичного поля по телу текут токи с плотностью J³, создающие вторичное рассеянное поле .

Получим интегральное уравнение для задачи дифракции электромагнитной волны на идеально проводящем теле. Пусть электро­магнитное поле возбуждается локальными сторонними токами J₀. Для определения электромагнитного поля вне идеально про­водящего тела с замкнутой поверхностью S нужно решить следующую задачу: найти векторы {E,H}, удовлетворяющие вне поверх­ности S уравнениям Максвелла [1]:

и граничному условию на поверхности S:

[n, E ] = 0,

где H и E - векторы напряженности электри­ческого и магнитного полей;

е, μ - электрическая и магнитная проница­емость среды;

ω - частота электромагнитных колебаний.

Для получения интегрального уравнения удобно воспользоваться следующей формулой, дающей представление магнитного поля вне поверхности S в виде суперпозиции первич­ного (поля сторонних источников в свободном пространстве) и вторичного (рассеянного те­лом) поля [2, 3]:

где Hⁿ (m) - магнитное поле заданных сторон­них источников в точке m при отсутствии иде­ально проводящего тела;

k, r_mq - расстояние между точкой m, нахо­дящейся в пространстве вне тела, и точкой q на поверхности тела S, к = ω√εμ;

n_q - внешняя нормаль к поверхности S в точке q.

Формулу (1) называют формулой Стрет- тона - Чу [4], она дает представление элек­тромагнитного поля через значения его на по­верхности S, причем необходимо знать как тангенциальные, так и нормальные составля­ющие H и E на поверхности S.

В случае идеально проводящего тела гра­ничные условия на поверхности S требуют обращения в нуль касательных составляющих электрического поля

[n,E ] = 0,

и нормальных составляющих магнитного поля, т. е.

(n,H)=0.                                                                                   (2)

Вводя для поверхностного тока, наведен­ного на поверхность идеально проводящего тела в точке q, обозначение

можем переписать интегральное представле­ние (1) в виде:

Для получения интегрального уравнения относительно поверхностного тока J^э (q) пере­йдем к пределу в соотношении (3), устремляя точку m на поверхность S. Для составляющих соотношения (3) имеем:

(следует из свойств потенциала двойного слоя [2, 3])  (в силу условия (2)).

Воспользовавшись соотношением (4), получим:

Умножив уравнение (5) векторно на n_p, можно записать его в виде:

где G(p,q) - расстояние между точками наблюдения p и истока q, 

Соотношение (6) является интегральным уравнением Фредгольма второго рода для поверхностной плотности тока на идеально проводящем теле. Оно описывает внешнюю электродинамическую задачу для идеально проводящего тела; в общем случае трехмерное интегрирование производится по поверхности тела, что существенно затрудняет расчеты. Однако задача упрощается для идеально про­водящих тел вращения. В этом случае ин­тегрирование по поверхности тела нужно заменить интегрированием по его образу­ющей путем перехода от декартовых коорди­нат (, y, z) к координатам вращения (u,ν,φ) (рис. 1) [1, 2]. В координатах орт V₀ направ­лен по касательной вдоль образующей тела; орт u₀ совпадает с нормалью к телу в точке на образующей, при этом координата u = 0 для любой точки; орт φ₀ направлен по каса­тельной перпендикулярно образующей тела по направлению вращения.

Тогда после записи составляющих урав­нения в координатах вращения и разложе­ния их в ряд Фурье по азимутальным гармони­кам 9_m получим систему двух интегральных од­номерных уравнений Фредгольма второго рода относительно неизвестных гармоник плотно­стей тока  в точке наблюдения р:

где  -   ядра системы интегральных уравнений, которые определяются следую­щим образом [1, 2]:

Здесь R_p и R_q - нормированные (умно­женные на волновое число) радиусы вращения точекp и q образующей тела вокруг оси Oz,

z_р и z_q - нормированные координаты z точек p и q.

Входящая в (12)-(15) функция S_m явля­ется m-м коэффициентом разложения функции Грина в ряд Фурье и вычисляется следующим образом [1, 2, 4]:

Производную функции Q_m легко полу­чить с использованием ее интегрального пред­ставления [1, 4]:

Правая часть системы интегральных уравнений (7) - результат разложения в ряд Фурье электромагнитных токов  и , наведенных падающей на тело элек­тромагнитной волной единичной амплитуды в точке наблюдения р. Для идеально прово­дящего тела при нулевой составляющей маг­нитного поля они записываются следующим образом:

где γ - угол между осью Oz и направлением падения (отражения) электромагнитной вол­ны (см. рис. 1).

Полученное в результате решения (7) распределение токов на образующей позволя­ет рассчитать рассеянное поле в дальней зоне в сферической системе координат

Затем нетрудно рассчитать ЭПР:

где λ - длина волны падающего излучения.

Основным фактором, влияющим на точ­ность расчета ЭПР тела вращения по пред­лагаемой методике, является точность расче­та функции Грина кольцевого источника и ее производной (формулы (12) и (13)). На рис. 2 показано поведение функций S_m и Q_m, отку­да видно, что они имеют точки разрыва, из- за которых возникает неустойчивость и, как следствие, падает точность расчета характе­ристик рассеяния. Это обстоятельство суще­ственно затрудняет разработку программной реализации метода интегральных уравнений и снижает возможности его применения в высо­кочастотной области, где длина волны падаю­щего излучения значительно меньше размеров объекта [3]. Как нетрудно показать, причина появления разрыва - совпадение точки наблю­дения с точкой интегрирования и обращение в нуль знаменателей подынтегральных выраже­ние (12) и (13).

В ходе работы над программным обеспе­чением с помощью численных экспериментов было исследовано поведение функций (12) и (13), определена целесообразность использо­вания численного интегрирования методом Гаусса по шести точкам при их расчете для случая совпадения точек наблюдения и ин­тегрирования. В других случаях при расчете численными методами функций (12) и (13) достаточно использовать интегрирование ме­тодом Гаусса по трем точкам.

На основе данной методики был разрабо­тан пакет программ расчета отражательных ха­рактеристик идеально проводящего тела враще­ния произвольной формы при заданном ракурсе его облучения и поляризации падающей волны. Расчетный блок программы реализован на язы­ке программирования C++ в виде отдельного модуля, что позволяет осуществить его внедре­ние в любой программный комплекс с помощью любого стандартного интерфейса обмена дан­ными. Входными данными для программного обеспечения являются заданная в табличном виде образующая тела вращения, длина волны падающего излучения и поляризация падаю­щей волны, выходными - значение амплитуды и фазы отраженного сигнала на заданной поля­ризации при заданном ракурсе облучения.

В качестве примера использования рас­четного модуля на рис. 3 показана программа расчета круговой диаграммы ЭПР тела враще­ния. Проиллюстрирована возможность ввода образующей исследуемого тела вращения с помощью графического редактора, длины зон­дирующей волны и ее поляризации, а также сохранения результатов (см. рис. 3).

В отличие от ранних разработок исполь­зуемый алгоритм позволяет рассчитывать угло­вые диаграммы обратного рассеяния во всем резонансном диапазоне, в том числе и в его высокочастотной области. Для калибровки разработанного программного обеспечения проведены расчеты ЭПР идеально проводящей сферы, на рис. 4 приведено сравнение полу­ченных результатов с общеизвестными.

Рассчитаны угловые диаграммы эффек­тивной площади рассеяния тел типа цилиндр и конус (рис. 5, 6) для вертикальной и горизон­тальной поляризации падающей и отраженной волны. Эти результаты хорошо совпадают с опубликованными экспериментальными дан­ными [5, 6], что позволяет использовать раз­работанный программный модуль в качестве составной части более сложных моделирую­щих систем.

Итак, в работе приведено описание мето­да интегральных уравнений для расчета ЭПР идеально проводящих тел вращения в резо­нансной области. В ходе реализации алгоритма расчета исследовано влияние точности расчета функции Грина кольцевого источника и ее про­изводной на устойчивость системы линейных уравнений кольцевых токов, возбуждаемых первичным падающим полем на поверхности исследуемого объекта. На основе созданного алгоритма разработано программное обеспече­ние, результаты его работы проверены сравне­нием с известными данными.