Исследование зависимости баллистических характеристик ракет от параметров атмосферы

Введение

Одним из важных направлений в повышении точности расчета баллистических характе­ристик (БХ) ракеты как средства поражения является учет параметров атмосферы (ПА), актуальных для различных условий примене­ния. Данные ПА могут быть определены либо как средние месячные значения для различ­ных широт или отдельных участков поверх­ности Земли [1], либо как значения, получен­ные для заданного места и заданного времени по результатам запуска радиозонда.

При проектировании средств ракетного поражения многие предприятия-разработчики используют модель стандартной атмосферы (CA) (ГОСТ 4401-81). Данная модель состав­лена при условии, что с увеличением высоты над уровнем моря H (км) температура воз­духа t_B (°C) вначале линейно уменьшается от 15 °С на нулевой высоте (H = 0 км) до -56,5 °С на высоте H, равной 11 км, затем держится на постоянном значении -56,5 °С до высоты H = 20 км и далее увеличивается, пока не до­стигает значения -2,5 °С при H = 47,4 км. При этом остальные ПА определяются при проек­тировании из уравнений, указанных в прило­жении к ГОСТ 4401-81 «Основные положения и формулы для расчета параметров стандарт­ной атмосферы», в которых t_B также является функцией высоты над уровнем моря.

Однако в реальных условиях ПА, поми­мо высоты, зависят также от широты Земли и погодных условий, установившихся в кон­кретное время на конкретной местности. Так, исходя из уравнения состояния идеального газа, для одного и того же значения атмосфер­ного давления р_а при t_B =-30 °C плотность воздуха р_в будет на 19 % больше, чем при t_B = 15 °C. Следовательно, если на некотором участке земной поверхности при H = 0 уста­новилась температура t_B = -30 и атмосферное давление р_а близко к стандартному, то в этом месте плотность воздуха ρ_в будет примерно на 19 % больше, чем ρ_в по ГОСТ 4401-81. Из приведенного примера видно, что модель СА способна дать только усредненную оцен­ку ПА, что может привести к погрешностям в расчете БХ ракеты для реальных погодных условий, отличающихся от условий СА.

Более точные данные о ПА, соответству­ющие заданным времени и месту, можно по­лучить с помощью радиозондирования атмо­сферы, которое регулярно проводится на стан­циях метеонаблюдения. Использование таких данных должно повысить точность расчетов при решении задач, требующих оценку БХ средств ракетного поражения в реальных ус­ловиях применения, при которых возможно за­метное отличие ПА от стандартных значений из ГОСТ 4401-81.

Сравнение стандартной атмосферы и моделей атмосферы по данным радиозондирования

Проведем сравнительный анализ модели СА (МСА) и нескольких эмпирических моделей атмосферы (ЭМА) в диапазоне высот от уровня земли до H = 30 км. Для этого возьмем мо­дель атмосферы из ГОСТ 4401-81 и четыре ЭМА, определенные на основании зависимо­сти t_B от H. Зависимости t_B(H) взяты из ра­боты [2] и соответствуют данным аэрологиче­ских зондирований атмосферы, проведенных в январе и июле 2017 г. на различных стан­циях метеонаблюдения. Информация об этих станциях, а также датах и времени проведе­ния зондирований представлена в табл. 1.

Сравним зависимости температуры воз­духа t_B от высоты H.

У всех четырех рассмотренных ЭМА имеются заметные отличия в характере из­менения температуры воздуха по высоте от значений МСА (рис. 1). При этом отличаются как скорость изменения температуры воздуха по высоте, так и расположение границы меж­ду тропосферой и стратосферой. Если в МСА верхняя граница тропосферы находится на вы­соте H =11 км, то в ЭМА на приполярных широтах данная граница может опускаться до высоты менее 9 км, а на широтах, близких к эк­ватору, она поднимается до высоты более 15 км.

Зная t_B (H), определим зависимости ско­рости звука а (м/с) и динамического коэффи­циента вязкости воздуха μ_Β (Па∙с) от высоты:

Выражения (1) и (2) заимствованы из обязательного приложения «Основные по­ложения и формулы для расчета параметров стандартной атмосферы» к ГОСТ 4401-81. При этом данные выражения в рассматривае­мом диапазоне высот справедливы не только для МСА, но и для любой другой модели ат­мосферы Земли, так как соотношение газов, составляющих воздух, является примерно по­стоянным во всем околоземном пространстве вплоть до H = 90...95 км. Зависимости a(H) и μ_Β( H) для МСА и ЭМА представлены на рис. 2.

Характер изменения а и μ_Β по высо­те H аналогичен характеру изменения t_B от Н для соответствующих моделей атмосферы (см. рис. 2). Зависимость a(H) позволяет опре­делить число Маха при известной скорости на­бегающего потока, а с помощью μ_Β(H) может быть рассчитано число Рейнольдса. Значения чисел Маха и Рейнольдса используются при подготовке исходных данных по аэродинами­ке для последующего определения БХ ракеты.

Теперь определим зависимости атмо­сферного давления p_а (Па) и плотности возду­ха ρ_в (кг/м³) от высоты H для МСА и четырех моделей ЭМА, рассмотренных ранее. Для это­го решим систему двух уравнений - состояния идеального газа и статики атмосферы:

где р_а (Па) - атмосферное давление на уровне земли, p_a = p_а0;

Н (км) - высота уровня земли относитель­но уровня моря, H = H₀;

g (м/с²) - ускорение свободного падения, определяемое выражением

где Ψ₃ (град) - широта Земли.

Уравнения (3) и (4) заимствованы из приложения к ГОСТ 4401-81 «Основные по­ложения и формулы для расчета параметров стандартной атмосферы» и применимы в рас­сматриваемом диапазоне высот не только для МСА, но и для любой другой модели земной атмосферы, включая рассмотренные ЭМА.

Выражение (5), в свою очередь, взято из книги [3]. Значения Ψ₃, H₀ и p_a0 представлены в табл. 2.

Решив систему уравнений (3) и (4) с уче­том данных из табл. 2, сравним зависимости р_а( H) и р_в (H) по модели СА и рассмотренным ЭМА. Для этого представим значения р_а и р_в в ЭМА как процентные отклонения относи­тельно р_а и ρ_в в МСА - δρ_Ά (%) и δρ_в (%). За­висимости δp_a(И) и δρ_B(И) для четырех ЭМА показаны на рис. 3.

Как видно из рис. 3, а, атмосферное дав­ление ρ_в в ЭМА заметно отличается от ρ_в в МСА. При этом наибольшие значения ρ_в достигаются на средних и больших высотах. Уменьшение значения р_а относительно значе­ний СА характерно для январских ЭМА, а уве­личение - для июльских. Зависимость ρ_в (H) используется при расчете БХ ракеты как величина, определяющая высотную поправку к силе тяги двигательной установки (ДУ).

На рис. 3, б также видны отличия меж­ду значениями плотности воздуха р_в по МСА и ЭМА. На малых высотах наиболь­шие значения р_в достигаются в ЭМА для Верхоянска, а наименьшие - для Эд-Даммама. На больших высотах ситуация стано­вится противоположной: наибольшей плот­ность воздуха оказывается над Эд-Даммамом и Астраханью в июле, а наименьшей - над Верхоянском. Зависимость p_B(H) использу­ется при определении скоростного напора и числа Рейнольдса.

Исходя из проведенного сравнительного анализа МСА и ЭМА, можно сделать вывод, что рассмотренные модели атмосферы име­ют заметные отличия. Для диапазона высот от уровня земли до высоты 30 км разница по скорости звука между СА и ЭМА находится в пределах 7...11 %, по динамическому коэффи­циенту вязкости воздуха - 11...17 %, по атмо­сферному давлению - 14...17 %, а по плотно­сти воздуха - 22...26 %. Наибольшие откло­нения ПА от стандартных значений по ГОСТ 4401-81 наблюдаются в ЭМА, соответствую­щих Верхоянску и Эд-Даммаму.

Методика подготовки исходных данных по аэродинамическим характеристикам управляемой ракеты для расчета ее баллистических характеристик с учетом принятой модели атмосферы

Для расчета БХ управляемой ракеты в качестве исходных данных обычно используются коэф­фициенты аэродинамических сил и моментов, действующих на ракету в полете:

• с_ха - коэффициент лобового сопротив­ления в скоростной системе координат (ССК),
• с_уа - коэффициент подъемной силы в

ССК,

• C_za - коэффициент боковой силы в ССК,
• m_x - коэффициент момента крена в связанной системе координат (СвСК),
• m_у - коэффициент момента рыскания в СвСК,
• m_z - коэффициент момента тангажа в СвСК.

В данной работе рассматривается полет ракеты в двумерной постановке. Поэтому ко­эффициенты с_zа, m_x и m_у принимаются равны­ми нулю.

При определении коэффициентов аэ­родинамических сил и моментов на основе экспериментальных исследований модели ракеты в аэродинамической трубе (АДТ) ре­зультаты экспериментальных исследований представляются в виде трех таблично задан­ных функций:

где α - угол атаки, град.;

М - число Маха (критерий подобия, ха­рактеризующий сжимаемость набегающего потока);

δ - угол отклонения руля в продольном канале, град.

Вместе с результатами эксперименталь­ных исследований в АДТ также представляет­ся информация об условиях проведения экспе­римента, в том числе:

• масштаб модели по отношению к на­турному изделию;
• характерная площадь (например, пло­щадь миделя корпуса модели);
• значения числа Рейнольдса набегаю­щего потока на единицу длины (Re_Tpy6).

Число Re_Tpy6 представляет собой кри­терий подобия, характеризующий вязкость набегающего потока [4], и определяется вы­ражением

где V - скорость набегающего потока, м/с, связанная с числом Маха через соотношение

Диапазон чисел Маха, при которых про­водится эксперимент, должен соответствовать диапазону чисел Маха полета натурного изде­лия. Как правило, программа эксперимента в АДТ обеспечивает подобие по числу Маха с натурным полетом.

Подобие по числу Рейнольдса при об­текании модели в АДТ и в полете натурного изделия не обеспечивается из-за масштабно­го эффекта, а также вследствие зависимости коэффициента динамической вязкости µ_в, плотности воздуха ρ_в и скорости звука а от высоты. Поэтому пересчет результатов экспе­римента для определения аэродинамических коэффициентов натурного изделия при натур­ных числах Re необходим.

Исследования, проведенные во ФГУП «ЦАГИ», позволяют считать, что для ракетных компоновок коэффициент подъемной силы с_уа и коэффициент момента тангажа m_z не зависят от числа Re в широком диапазоне углов ата­ки. Следовательно, от числа Re зависит толь­ко коэффициент лобового сопротивления с_ха, определяемый выражением

где с_х0 - коэффициент лобового сопротивле­ния при нулевой подъемной силе, определяе­мый по формулам

C_хаi - коэффициент индуктивного сопро­тивления;

с_хд - коэффициент сопротивления давления;

c_xf - коэффициент сопротивления трения;

с_хдон - коэффициент донного сопротивления.

Выражение (9) используется для опреде­ления коэффициента с_х0 на активном участке полета ракеты, а выражение (10) - для опреде­ления с_х0 на пассивном участке [4, 5].

Считается, что коэффициенты с_хд и с_хдон являются функциями числа Маха и не зависят от числа Рейнольдса, а коэффициент C_хf зави­сит и от M, и от Re. Коэффициент C_хаi, в свою очередь, представляет собой функцию числа М, угла атаки α и угла отклонения руля в про­дольном канале δ, и аналогично с_хд и с_хдон не зависят от числа Re.

Таким образом, пересчет результатов экс­перимента для определения аэродинамических коэффициентов натурного изделия сводится к следующим этапам:

• расчет коэффициента C_хf модели при числах Re, соответствующих условиям ее об­текания в АДТ;
• расчет коэффициента Cfнатурного изделия при числах Re, соответствующих ус­ловиям натурного полета;
• вычитание из C_x0 коэффициента C_хf модели и прибавка к полученной разности C_xf натурного изделия;
• добавление в C_x0 слагаемых, учитыва­ющих отличие состояния поверхности натур­ного изделия от состояния поверхности моде­ли изделия.

Поскольку коэффициент динамической вязкости, плотность воздуха и скорость зву­ка зависят от высоты Н над уровнем моря, то значение числа Рейнольдса на 1 м длины  также зависит от высоты. Сле­довательно, коэффициент лобового сопротив­ления при нулевой подъемной силе для на­турного изделия можно представить в виде зависимости C_x0 (М, Н). Следует отметить, что зависимости а (Н , μ_в (Н) и ρ_в(H) различны для разных моделей атмосферы (см. рис. 2 и 3, б). Поэтому зависимости C_x0 (М, Н) натур­ного изделия для разных моделей атмосферы также различны.

Исходные данные для расчета баллистических характеристик гипотетической ракеты класса «воздух - воздух»

Рассмотрим полет гипотетической ракеты класса «воздух - воздух» при условии, что носитель и цель летят навстречу друг другу в одной вертикальной плоскости на одной высоте H_н/ц (км) и с одинаковой скоростью V_н/ц = 400 м/с. Для оценки БХ ракеты, старту­ющей с носителя, исследуем вначале 30 ус­ловий пуска в диапазоне Н_н/_ц = 0,5...15 км (с шагом 0,5 км) для каждой модели атмо­сферы. На основании проведенного иссле­дования можно определить зоны возмож­ных пусков и поражения. Для всех условий пуска принято считать, что ракета летит по прямолинейной траектории, а зоны воз­можных пусков и поражения определяются следующими ограничениями полетных па­раметров:

• текущая скорость полета ракеты V_р > V_ц;
• текущая располагаемая перегрузка ра­кеты n_расп > 3
• максимальное время управляемого по­лета t <170 с.

Для того чтобы рассмотреть влияние ПА на энергетические характеристики ДУ, примем температуру топлива t_т одинаковой для всех рассматриваемых моделей атмосферы. В этом случае тяга двигательной установки R (Н) бу­дет зависеть от модели атмосферы только по составляющей высотной поправки:

R (H ) = R₀ + ΔR,                                                    (11)

где R₀ - тяга ДУ на нулевой высоте для ус­ловий СА, соответствующая принятому зна­чению t_т;

∆R - высотная поправка к тяге ДУ, опре­деляемая по формуле

где р_а0^СА - атмосферное давление на нулевой высоте в СА, р_а0^СА = 101 325 Па;

р_а - атмосферное давление на высоте H (зависит от модели атмосферы);

_Sвых - площадь выходного сечения сопла, м².

При расчете БХ рассматриваемой гипо­тетической ракеты аэродинамические коэф­фициенты C_xai и C_ya используются на режимах продольной балансировки:

Зависимость δ_бал(α, М) определяется из численного решения уравнений продольной балансировки для набора значений α и М при m_z (α,М, δ) = 0.

Коэффициент лобового сопротивления при нулевой подъемной силе c_{x 0} определен по изложенной выше методике. На рис. 4 показа­ны зависимости c_x0 от числа Маха для четы­рех высот H (0, 10, 20 и 30 км) в условиях СА. Данные зависимости соответствуют пассивно­му участку полета. Рассматриваемый диапазон чисел Маха М = 0,8...6.

При проведении баллистических расче­тов было принято допущение, что во всех рас­сматриваемых моделях атмосферы скорость ветра V_в (м/с) равна нулю, и следовательно, скорость набегающего потока V равна ско­рости полета ракеты относительно Земли V_р.

Алгоритм расчета аэродинамических сил, действующих на гипотетическую ракету класса «воздух - воздух»

При расчете БХ ракеты исходные аэродина­мические коэффициенты задаются в виде двумерных таблиц C_x0 (M, Н), C_{xai бал} (α, М) и C_{ya бал} (α, М). Для определения аэродинамиче­ских сил, действующих на ракету в скорост­ной системе координат (ССК), - силы лобо­вого сопротивления Q_a (Н) и подъемной силы Y_a (Н) - вычислительная программа обраща­ется к блоку расчета аэродинамических сил на каждом шаге численного интегрирования уравнений движения ракеты со следующими входными параметрами: текущая скорость полета V , высота H и угол атаки α. Предва­рительно по значениям У и Н определяются значения числа M и плотности воздуха ρ_в.

Значения Q_a и Y_a определяются согласно выражениям

где S_хap - характерная площадь;

q - скоростной напор, определяемый по формуле

Из выражений (13)-(15) видно, что при одинаковых значениях входных параметров V, Ни α в разных моделях атмосферы аэро­динамические силы, действующие на ракету, будут отличаться. Эти вызвано разницей в зна­чениях плотности воздуха ρ_в для моделей СА и ЭМА. Коэффициенты C_{x 0} отличаются в разных моделях атмосферы вследствие различных зна­чений чисел М и Re, а коэффициенты C_{xai бал} и с_уабал - только от значений чисел M.

Покажем эти отличия на примере расче­та силы лобового сопротивления Q_a гипотети­ческой ракеты для СА и четырех ЭМА, рас­смотренных ранее. Для лучшего визуального восприятия представим значения силы лобо­вого сопротивления Q_a в ЭМА как процентные отклонения относительно Q_a в СА - δQ_a (%). Зависимости δQ_a (V) показаны на рис. 5 для некоторых высот Н, на которых |δQ_a| достига­ет наибольших значений. Параметр δQ_a соот­ветствует пассивному участку полета ракеты при нулевой подъемной силе аналогично рас­смотренному ранее определению коэффици­ента c_x0.

Сила Q_a гипотетической ракеты, рас­считанная для ЭМА, заметно отличается от Q_a в СА (см. рис. 5). Так, на уровне земли Q_a достигает наибольших значений в ЭМА для Верхоянска и наименьших - в ЭМА для Эд-Даммама, а на больших высотах, наоборот, Q_a становится наибольшей в июльских ЭМА и наименьшей в ЭМА для Верхоянска. В це­лом для рассмотренных ЭМА величина δQ_a находится в достаточно широком диапазоне до 47 %.

Оценка баллистических характеристик гипотетической ракеты класса «воздух - воздух» для разных моделей атмосферы

Зная значения аэродинамических сил Q_a и Y_a, действующих на гипотетическую ракету во время ее полета, построим для данной раке­ты зоны возможных пусков и поражения, со­ответствующие СА и четырем ранее рассмо­тренным ЭМА. Графики зон возможных пу­сков и поражения приведены на рис. 6 в виде зависимостей максимальной горизонтальной дальности полета ракеты D_пол и максималь­ной горизонтальной дальности пуска ракеты D_пуск от высоты Н.

Представим значения D_nycK в ЭМА в виде процентных отклонений относительно D_пуск в СА - δD_пycк (%). Зависимости δD_пуск (H) для четырех ЭМА показаны на рис. 7.

Зоны возможных пусков и поражения ги­потетической ракеты, рассчитанные для ЭМА и СА, имеют значительные отличия (см. рис. 6). Так, при рассмотрении полета ракеты в январ­ских ЭМА значения D_пол и D_пycк на малых высо­тах меньше, чем в СА, на 6 % (при H = 0,5 км), а на больших - выше на 14 % (при H = 11 км). При рассмотрении полета ракеты в июльских ЭМА прослеживается обратная ситуация: на малых высотах D_пол и D_пycк больше, чем в СА, на 6 %, а на больших - меньше на 9 %. При этом значения D_пол и D_пycк в рассмотренных ЭМА и СА становятся одинаковыми на высоте H ≈ 2,5...5,5 км. Полученная разница зон воз­можных пусков и поражения между СА и ЭМА говорит о том, что ПА оказывают безусловное влияние на БХ ракеты. В такой ситуации рас­чет внешней баллистики ракеты в СА способен дать только приблизительную оценку ее БХ.

Следовательно, при решении задач, требу­ющих определения БХ ракеты в реальных условиях применения, когда запуск происходит в известном районе и измерение ПА для данного района представляется возможным, предпоч­тительно использование ЭМА вместо СА из ГОСТ 4401-81. Это относится в том числе и к задаче послепускового моделирования, когда на основании баллистического расчета, проведен­ного по данным телеметрической информации (ТИ), определяются отклонения аэродинамиче­ских характеристик ракеты и энергетических характеристик ее ДУ от штатных значений, за­ложенных в зонной модели.

Заключение

На примере гипотетической ракеты клас­са «воздух - воздух» определены зоны воз­можных пусков и поражения для СА и четы­рех ЭМА в диапазоне высот H = 0,5...15 км. Установлено, что БХ, рассчитанные для СА и ЭМА, могут значительно отличаться друг от друга. Так, разница по D_пол и D_пycк между СА и рассмотренными ЭМА находится в преде­лах 14 %.

Исходя из этого, при проведении летных испытаний ракет класса «воздух - воздух», предусматривающих измерение по данным ТИ, целесообразно определять ПА, соответ­ствующие месту и времени проведения испы­тания, и учитывать их при проведении балли­стических расчетов.

Данное предложение справедливо не только для ракет класса «воздух - воздух», но и для любых других средств ракетного пора­жения, полет которых происходит в атмосфере Земли на высотах, где измерение ПА с помо­щью радиозондов представляется возможным (H < 30...40 км).