Метод проектирования антенных систем с рефлекторами сложной формы

Введение

Широкое применение в антенной технике по­лучили антенные системы (АС) в виде виб­раторных антенн (ВА) с рефлекторами (экра­нами) различной формы. Их основное назначение - формирование заданной диаграммы направленности (ДН) и обеспечение требуе­мого коэффициента усиления (КУ) в рабочей полосе частот. Ограниченные размеры АС непосредственно влияют на поле излучения в теневой области из-за дифракции электро­магнитного поля BA на рефлекторе. При уста­новке AC на объектах с ограниченными раз­мерами (башни, мачты, надстройки) оценки уровня ДН в теневой области позволяют оп­тимизировать взаимное расположение AC для удовлетворения параметрам электромагнит­ной совместимости.

BA чаще всего используют в проектиро­вании АС с рефлекторами. Простота конструк­ции, компактность, высокая технологичность изготовления определяют широкое применение таких АС как в виде отдельных антенн, так и в составе сложных многоэлементных систем - гибридных зеркальных антенн, фазирован­ных антенных решеток (ФАР), многолучевых и активных антенных решеток. Детальное из­учение математических моделей (ММ) ВА с рефлекторами позволяет с высокой степенью достоверности исследовать зависимости вход­ного сопротивления в полосе частот с учетом взаимного влияния для сканирующих антен­ных решеток. Это дает возможность проек­тировать оптимальные согласующие устрой­ства и анализировать поведение ДН и КУ АС в секторе сканирования и заданной полосе частот.

Построение эффективных ММ АС с реф­лекторами сложной формы предполагает ис­пользование строгих электродинамических принципов, проведения обоснования формализации граничных условий и оценку по­грешностей, вызванных численными методами исследования и конечными ресурсами вычис­лительной техники. Необходимость строго­го электродинамического подхода в задачах проектирования АС вызвана высокими тре­бованиями к точности моделирования, так как возрастающие требования к функциональ­ным характеристикам сложных АС ведут за собой необходимость учета большого числа различных факторов, например, обе­спечения параметров электромагнитной сов­местимости, работы в сложной помеховой обстановке.

Математическая модель вибраторной антенны с конечным рефлектором

Для формирования ММ введем тонкопро­волочное приближение ВА [1], получившее широкое применение в проектировании АС. Поверхность рефлектора будем считать идеально проводящей, что соответствует про­водимости используемых конструкционных материалов. Ориентацию ВА определим с по­мощью единичного орта:

где θ_d, φ_d - сферические координаты оси ВА;

p₁ = p₁ (x₁ , y₁ , z₁) и p₂ = p₂ (x₂ , y₂ , z₂) - координаты концов ВА.

Рассмотрим частный случай ориентации оси ВА параллельно оси OX (рис. 1).

Для тонкопроволочного приближения ВА (2a << λ) с Δ-зазором введем распределе­ние тока I_d (x) = i_xI_d (x), тогда на поверхности излучателя за исключением области зазора выполняется граничное условие

где E_d, E_s - векторы напряженности элек­трического поля ВА и поля рассеяния реф­лектора.

Векторный потенциал поля излучения вибраторного излучателя в точке наблюдения р = p(x, y, z) представим в виде:

- расстояние между точ­ками наблюдения и источникаи r_x = X_p - x_q;

r_y = y_P -y_q; r_z = z_p - z_q.

Для определения поля рассеяния введем распределение тока j на поверхности рефлек­тора S, тогда

- вспомо­гательные функции.

С учетом граничного условия (2) введем интегральное уравнение (ИУ) Поклингтона [1]:

где точка P расположена на ВА;

E_i(x_p) - известная функция распределения напряженности электрического поля источ­ника в зазоре.

Второе слагаемое в левой части уравне­ния (5) относится к полю рассеяния рефлекто­ра, которое совместно с источником в зазоре участвует в формировании распределения тока на ВА. Такие ИУ относят к классу некоррект­ных задач, численное решение которых требу­ет особых методов выделения неинтегрируемой особенности при совпадении координат точек наблюдения и интегрирования [2].

Введем ИУ II рода для распределения поверхностного тока j [1]:

где индекс q у функции градиента означает диф­ференцирование по координатам источника.

Для формулировки ММ рассматрива­емой АС векторное уравнение (6) запишем в виде системы трех скалярных уравнений, выполнив необходимые векторные преобра­зования в ИУ:

где B_r(r_pq) = - (1 + ikr_pq) φ (r_pq)/2πr²_pq - вспомо­гательная функция.

Система ИУ (5), (7) представляет собой полную ММ ВА с рефлектором. Дискретная форма ММ может быть получена с использо­ванием метода Крылова - Боголюбова, явля­ющегося частным случаем общего проекцион­ного метода решения краевых задач [3]. Для этого введем N_d интервалов дискретизации по длине ВА размером h, и дискретизацию по­верхности рефлектора S на N₈ подобластей ΔS_l, l =  , размеры которых определяют в соответствии с заданной точностью вычис­лений. Кроме того, введем векторы дискрет­ных значений распределений тока вибратор­ного излучателя I = [I_di I_di ... I_dNd]^t и поверхностного тока рефлектора  

тогда общая дискретная ММ в ком­пактной матричной форме может быть пред­ставлена в виде

где квадратная матрица DD размерностью N_d х N_d имеет физический смысл матрицы взаимных импедансов между дискретными элементами ВА, а матричные элементы бло­ка определяются первым слагаемым в левой части ИУ (5);

прямоугольная матрица-строка DR = = [DR⁽¹⁾ DR⁽²⁾ DR⁽³⁾]^t, каждый блок кото­рой имеет размерность N_d х N_s, также имеет смысл матрицы взаимных импедансов между дискретными элементами рефлектора и эле­ментами ВА. Матрица блочная, ее три блока определяют вторым слагаемым в ИУ (5);

E - единичная матрица;

RD = [RD⁽¹⁾ RD⁽²⁾ RD⁽³⁾]^t - прямоугольная матрица-столбец, размерность каждого блока N_s х N_d , блоки матрицы определяются правой частью ИУ (6);

RR - квадратная матрица размером N_s х N_s, образованная девятью блоками, состав которых определяется третьими слагаемыми ИУ (7);

f - матрица-столбец правой части, размер­ность Nd х 1 определяют заданной функцией возбуждения в точках X₁ ≤ p_m ≤ x₂, m = 

В [1] приведены подробные рекомендации по ее выбору и вычислениям.

Отличительной особенностью ММ (8) считают блочную структуру системы линей­ных алгебраических уравнений (СЛАУ), неза­висимость отдельных блоков которой позволяет программировать процедуры формирования в виде автономных подпрограмм. Для вычисле­ния матричных элементов СЛАУ (8) использу­ют квадратурные формулы Гаусса - Лежандра повышенной точности без выделения особенно­стей и с одинаковым порядком точности вычис­ления для всех элементов. В этом случае СЛАУ обладает выраженной доминирующей главной диагональю, что приводит к устойчивости чис­ленного решения [2].

Для вычисления матричных элементов блока RR необходимо предусмотреть, что гео­метрия поверхности рефлектора, определяе­мая конструкцией АС, может иметь различ­ные варианты, главной чертой которых явля­ются металлические поверхности конечной толщины t. В [1] показано, что использова­ние ИУ II рода для очень малых значений t затруднительно, особенно для плоских реф­лекторов. Это связано с особенностями ядра ИУ: при малой толщине векторное произведение стремится к нулю для достаточно больших расстояний между точками наблюдения и источника. С позиции вычислительных про­цедур такие особенности могут приводить к неконтролируемому поведению числен­ного решения, что требует особо тщатель­ного подхода к вычислению квадратур, которые используют для вычисления коэффи­циентов блочной СЛАУ (8). Дискретизация поверхности S и численное решение систе­мы (8) позволяют определить амплитудно­фазовое распределение (АФР) как торцевых токов рефлектора, так и токов на теневой по­верхности, что усложняет вычислительные процедуры исследования ММ антенны. Дан­ное решение позволяет оценить тонкие эффек­ты взаимодействия в исследуемой АС.

Одной из ключевых проблем, возника­ющих при разработке ММ (8), называют дис­кретизацию поверхности рефлектора S. Необ­ходимо отметить, что универсального метода дискретного представления S не существует, так как практические требования к исследуе­мым задачам весьма разнообразны, например, по степени формализации деполяризирующих свойств объекта, частотным свойствам, степе­ни точности представления поля излучения в теневой области.

Чаще всего применяют два метода дис­кретного представления поверхности S. Пер­вый состоит в аппроксимации области по­строения численного решения СЛАУ (8) тонкопроволочной сеточной моделью, имити­рующей распределение поверхностного тока j в виде некоторой линейной структуры, с ус­ловиями непрерывности в узлах сопряжения сетки. Для численного решения используют систему ИУ Поклингтона [4]. С помощью та­кого подхода решен определенный круг задач, имеющих важное практическое значение. Не­достаток данного метода обусловлен ограни­ченными возможностями оценки погрешно­сти аппроксимации поверхности рефлектора сеточной моделью.

Второй метод - метод конечных эле­ментов, получил широкое распространение в численном решении задач прикладной элек­тродинамики. Алгоритмы триангуляции на ос­нове метода Делоне эффективно реализованы в современных средствах автоматизирован­ного проектирования и трехмерной графики. Это обстоятельство имеет практическое значе­ние, так как позволяет быстро сформировать геометрию декомпозиции исследуемого реф­лектора и провести адаптивную коррекцию для участков резкого изменения геометрии по­верхности S.

С помощью предложенного подхода фор­мирования ММ было решено большее количе­ство практических задач проектирования АС с различными рефлекторами. Результаты рас­чета ДН хорошо коррелируют с известными экспериментальными исследованиями опыт­ных образцов АС.

Разработка математической модели антенной системы дальномерного радиомаяка

В ряде практических задач можно использо­вать более простые ММ АС, учитывающие специфические особенности расчета ДН в дальней зоне для вертикальной поляризации возбуждающих токов АС, вблизи которой расположены различные протяженные объ­екты [5]. Использование асимптотического соответствия двумерных и трехмерных за­дач антенной техники позволяет проводить детальный анализ ДН АС с учетом влияния различных рассеивающих объектов.

Рассмотрим процедуру формирования ММ для проектирования АС дальномерного радиомаяка со следующими параметрами:

• рабочая полоса частот - . .1200 МГц;
• поляризация поля излучения - верти­кальная;
• ширина ДН в горизонтальной плоскос­ти - 60°; уровень обратного излучения - не более 25 дБ;
• ДН в вертикальной плоскости долж­на быть близка к косекансной ДН в заданном секторе углов;
• КУ - не менее 15 дБ относительно изо­тропного излучателя;
• АС должна иметь минимальные массо­габаритные характеристики.

Общая классификация задач проектиро­вания АС предполагает решение внешних и внутренних вопросов синтеза. Внешние зада­чи - синтез АФР-возбуждения АС, формирующего ДН в дальней зоне. Если для внешних задач характерна определенная степень фор­мализации ММ АС (например, вариационная формулировка задачи синтеза АФР криволи­нейного излучателя имеет одинаковый вид, как для электрических, так и для магнитных эквивалентных токов), то для внутренних за­дач решение производят только для конкрет­ной АС. В частности, синтез геометрии слож­ного рефлектора для ВА осуществляется для заданного объекта установки с учетом огра­ничений на массогабаритные характеристики. К внутренним задачам также относят форми­рование синтезированного АФР и оптимизация фидерного тракта для заданных ограничений в частотной области. Данные вопросы решают индивидуально для конкретного типа проек­тируемой АС.

На первом этапе рассмотрим формирова­ние ММ для внешней задачи синтеза. С уче­том габаритных ограничений наиболее рацио­нальный и достаточно просто реализуемый вариант построения АС заключается в выбо­ре линейной антенной решетки, состоящей из восьми излучателей. Выберем расстояние d между излучателями d ≈ 0,7λ_cp, где λ_cp - сред­няя длина волны частотного диапазона. Это значение можно варьировать в небольших пре­делах. В качестве излучателей АС выберем по­луволновые широкополосные вибраторы вер­тикальной поляризации. Такие излучатели ши­роко используют на практике (диапазон волн от метровых до сантиметровых), так как они обла­дают хорошими массогабаритными характери­стиками, а их конструкции компактны, техноло­гичны и не требуют дорогостоящих материалов.

Для линейной антенной решетки необ­ходима диаграммообразующая схема (ДОС), обеспечивающая формирование такого АФР- возбуждения излучателей АС, при котором ДН АС в наибольшей степени приближена к заданной ДН в рабочей полосе частот. Наи­более распространенный вариант построения ДОС - схема деления, состоящая из ряда дели­телей-мостов (синфазных или квадратурных), соединенных отрезками фидерных линий. Но она предполагает, что амплитудное распреде­ление возбуждения фиксированное, а необхо­димое фазовое распределение обеспечивает выбор длин соответствующих фидерных ли­ний. Недостаток данной ДОС - существенная частотная зависимость фазовых распределе­ний, особенно для широкополосных АС.

Частотные характеристики коэффици­ентов матрицы рассеяния для большинства современных мостов в широкой полосе ча­стот достаточно стабильны, поэтому вариа­ции фазовых распределений в полосе частот вызываются частотными свойствами отрез­ков фидерных линий. К достоинству ДОС с мостами, входы которых соединяются отрез­ками микрополосковых или копланарных ли­ний, относят компактность планарных СВЧ- узлов. Их топологические параметры хорошо совместимы с общей конструкцией АС. Об­щие рекомендации по выбору амплитудного распределения, соответствующего заданной ДН, требуют выбора возбуждения излучате­лей, которое спадает к краям АС-амплитуд. С учетом свойств мостов-делителей ампли­тудное распределение проходит достаточно просто. Следовательно, для проектируемой АС основными варьируемыми параметрами внешней задачи синтеза являются фазы излу­чателей. В отличие от обычной задачи синтеза фазовых распределений для ФАР, обеспечива­ющих сканирование ДН, в соответствии с за­данными требованиями к полю излучения необ­ходимо формировать статичную ДН. Поэтому синтезированное фазовое распределение можно реализовать с помощью отрезков фидерных линий, что значительно упрощает конструк­цию АС. Отметим, что в такой ДОС требуется контролировать изменение поля излучения во время синтеза во всей заданной полосе частот.

Общее выражение для множителя на­правленности линейной антенной решетки в дальней зоне для вертикальной плоскости вы­глядит следующим образом [6]:

где N - количество излучателей;

- АФР-возбуждения антен­ной решетки;

X_n - координаты излучателей, ось ан­тенной решетки совпадает с осью х.

Тогда поле излучения антенной решетки в дальней зоне принимает следующий вид:

где U_вх - амплитуда напряжения на входе ДОС;

F_изл(θ) - ДН излучателя антенной решетки. В первом приближении будем считать, что ДН излучателя в вертикальной плоскости определяют как ДН полуволнового вибратора над идеально проводящим бесконечным экра­ном, так как рефлектор в этой плоскости явля­ется достаточно протяженным. Синтез фазового распределения будем проводить на частоте f_ср.

Сформируем целевую функцию следую­щего вида [7]:

где ψ - вектор фазового распределения;

F(θ) - ДН антенной решетки в вертикаль­ной плоскости, определяемая из выражения (10); 

F*(θ) - заданная ДН в вертикальной пло­скости;

θcsc - угловой сектор, в пределах которо­го необходимо обеспечить косекансную ДН;

p - весовой коэффициент, регулирующий вклад в целевую функцию отклонений в дру­гих угловых областях; знак «+» во втором сла­гаемом означает интегрирование функции, отличной от нуля только при превышении за­данной ДН.

Для минимизации целевой функции (11) была использована программа fminsearch си­стемы MATLAB, реализующая метод деформи­руемого многогранника Нелдера - Мида. Программа удобна для целевых функций такого вида, так как использование методов квадра­тичного программирования в силу сложной ап­проксимации частных производных и матрицы Гессе заданного функционала неэффективно. На рис. 2 приведены синтезированные ДН АС в вертикальной плоскости на трех частотах f_н, f_cp, f_в, в наибольшей степени соответству­ющие заданной ДН. Предварительный выбор реализуемого (но не оптимального) амплитуд­ного распределения и синтез только фазового распределения на практике проектирования антенных решеток считают наиболее раци­ональными. При этом степень приближения поля излучения АС к заданному виду может значительно уступать результатам решения задачи синтеза полного АФР [8].

На втором этапе решили задачу опреде­ления геометрии АС в плоскости поперечного сечения. Использование основных результатов работы [5] для заданной поляризации поля излучения допускает возможность перехода к решению более простой двумерной задачи синтеза профиля рефлектора.

Рассмотрим ММ АС в продольном нап­равлении в виде нити электрического тока I, рас­положенной над замкнутым контуром L (рис. 3).

Пусть образующие контура параллель­ны оси x, а контур L удовлетворяет условию Ляпунова [3]. Построение ММ АС в этом случае отличает меньшая размерность дис­кретного представления дифракционной за­дачи, к которой сводится взаимодействие из­лучающих элементов и рефлектора АС. При этом основные закономерности справедливы и для общего векторного трехмерного слу­чая. Тогда для А-поляризации поля излучения с учетом граничных условий на контуре L полу­чим следующее интегральное уравнение I рода:

где j_s(q) - х-составляющая распределения тока на контуре L;

- функция Ганкеля II рода нуле­вого порядка аргумента krpq ;

- расстояние между точками наблюдения p и интегрирова ния q, p, q ∈ L;

I - АФР тока источника;

s - точка, в которой расположен источник поля возбуждения.

Численное решение уравнения (12) ме­тодом саморегуляризации [2] позволяет опре­делить поле рассеяния на контуре L, которое совместно с полем источника дает возмож­ность рассчитать ДН АС в горизонтальной плоскости. Для вычисления элементов СЛАУ, к которой редуцируется ИУ (12), также исполь­зуют прямой метод обработки квадратурных выражений с особенностями на основе формул Г аусса - Лежандра с повышенным (от 28 до 32) числом узлов.

В качестве первого варианта для синте­за формы рефлектора АС выберем плоский экран шириной L₁ = 200 мм, толщиной t = 3 мм (см. рис. 3). Для бесконечно тонкого идеаль­но проводящего рефлектора известно анали­тическое решение в виде бесконечных рядов по функциям эллиптического цилиндра Матье, Матье - Бесселя, Матье - Ганкеля [9]. Решение может служить тестовым для чис­ленного решения ИУ (12) предложенным ме­тодом. Отличие численного решения ИУ (12) от аналитического решения при числе узлов дискретизации N = 168 контура L составляет 0,02 %. Результаты численного решения (рис. 4) показывают, что такая конфигурация рефлекто­ра не удовлетворяет заданным требованиям к ДН как по ширине в горизонтальной плоскости, так и уровню излучения в обратном направле­нии. Второй вариант - трансформация профиля рефлектора к резонаторной форме в виде прямо­угольного желоба (см. рис. 3). Здесь форма ДН уже ближе к требуемой, но еще не соответствует заданным параметрам по ширине. Расчеты при­ведены для размеров L₂ = 180 мм, L₄ = 105 мм при той же толщине рефлектора.

В третьем варианте дальнейшую оптими­зацию формы рефлектора проводим для сле­дующих параметров: размер L₃, угол δ между боковой стенкой и основанием рефлектора, так как размер L₅, удовлетворяющий заданным габаритным ограничениям, выбран равным размеру L₄ .

Использование программыfminsearch по­зволило получить приемлемые результаты как по форме ДН, так и по расчетному коэффици­енту направленного действия, который для за­данного частотного диапазона должен быть не менее 16 дБ.

Расчеты ДН в горизонтальной плоско­сти получены для следующих параметров: L₃ = = 140 мм; σ = 135°. Данные незначительно отличаются от оптимальных и приведены к значениям, соответствующим технологическим требованиям изготовления АС.

Сравнение расчетных ДН в горизонталь­ной плоскости для всей рабочей полосы ча­стот показывает, что необходимые требования к полю излучения в основном выполнены. Действительная ДН, соответствующая реальному излучателю АС, может иметь незначительные отличия от расчетных ДН, но основные харак­теристики поля излучения стабильны для ММ. Это объясняется регуляризирующим, сглажи­вающим характером интегральных операторов рассматриваемой задачи проектирования [2].

Для проверки адекватности ММ был из­готовлен опытный образец АС. На рис. 5 и 6 приведены результаты измерений ДН-образца в вертикальной и горизонтальной плоскостях в условиях антенного полигона; общий вид об­разца дан на рис. 7.

Измерения ДН проводили на средней ча­стоте заданного диапазона, для других частот также наблюдалось хорошее соответствие рас­четных и экспериментальных результатов.

Данное соответствие подтверждает обос­нованность принятых допущений при постро­ении ММ АС.

Выводы

Предложенные ММ вибраторных излучателей с рефлекторами сложной формы имеют уни­версальный характер, так как блочная структу­ра СЛАУ, определяемая дискретизацией обла­сти построения решения, позволяет автономно формировать блоки, организовывать их хра­нение и объединение в глобальную матрицу для оптимизации вычислительных ресурсов.

Использование фиксированного ампли­тудного распределения и синтез только фазово­го распределения обеспечивают простой, легко реализуемый на практике вариант построения функции возбуждения АС для расчета диа­грамм направленности, удовлетворяющих тре­бованиям асимптотического соответствия дву­мерных и трехмерных электродинамических задач. Функционал специального вида позво­ляет гибко реагировать на изменение формы ДН в разных угловых областях.

С использованием предложенных ММ разработана АС дальномерного радиомаяка, результаты экспериментальных исследований которого подтверждают высокую эффективность и точность результатов моделирования.