Аналитический метод расчёта и оптимизации параметров измерительных узлов автоматизированных систем контроля

Современный этап развития технологии про­изводства характеризуется усложнением вы­пускаемой продукции, что, в свою очередь, приводит к необходимости одновременного измерения, контроля и анализа комплексами автоматизированного контроля (АСК) и кон­трольно-проверочной аппаратуры (КПА) [1] нескольких десятков и даже сотен параметров. В связи с этим возрастают требования к кон­трольной аппаратуре, в частности - к повы­шению разрешающей способности измери­тельных средств, обеспечению линейности их выходных характеристик, а также точности измеряемых параметров и вариации их диа­пазонов. Выполнение указанных требований обеспечивается применением активных элек­тронных приборов: операционных усилите­лей, компараторов и др. [2]. При контроле ряда параметров, для которых характерно исполь­зование высокочувствительных схем, часто возникает тенденция к самовозбуждению [3], что вызывает необходимость кропотливой на­стройки измерительных устройств и приводит к снижению их параметрической устойчиво­сти и автоматизированных систем контроля в целом. В частном случае, контроль и измере­ние комплексами АСК сопротивления нагрузки Анагр.; статического сопротивления изоляции Аизол.стат. (сопротивления между цепями пи­тания объекта контроля (ОК) по постоянному току и цепью «корпус» ОК до начала функцио­нирования ОК): динамического сопротивления изоляции Аизол.дин. (сопротивления между цепями питания ОК по постоянному току и цепью «корпус» ОК в процессе функциони­рования ОК); качества соединения цепи «кор­пус» Акорп. (сопротивления цепи заземления между цепью «корпус» и клеммой на корпусе ОК) возникает необходимость тщательной на­стройки элементов цепей измерения и защиты измерительного узла в целом от генерации (са­мовозбуждения).

Использование в таких измерителях пас­сивных элементов (резисторов) значительно повышает параметрическую устойчивость из­мерительных устройств и АСК в целом, но, с другой стороны, уменьшение диапазона из­меряемого сигнала предъявляет повышенные требования к выбору значений параметров из­мерительных цепей и методам обработки ре­зультатов измерений.

Перечисленные выше требования при­водят к необходимости постановки и реше­ния задачи оптимального параметрического синтеза, состоящей в выборе значений пара­метров измерительной системы, которые обе­спечивают максимальную точность измерения контролируемого сигнала. Таким образом, ак­туальной задачей параметрического синтеза измерительного узла является поиск оптималь­ных параметров элементов схемы по заданным требованиям к её характеристикам, включая и требования по линейности [4], при заданных ограничениях.

Рассмотрим задачу параметрического синтеза, состоящую в выборе оптимальных значений параметров {x_jопт}₁ ⁿ= (x_1опт,... x_nопт) ∈ D_x

измерительной системы, обеспечивающих мак­симальную точность измерения контролируе­мого сигнала, рассчитываемого по формуле:

y_i =F_i (u_вх, x₁,...x_n),                (1)

в заданном диапазоне его изменения:

a_i ≤ y_i(x)≤b_i  i=1...m                                                 (2)

где D_x - область допустимых изменений значе­ний параметров;

u_вх - входной сигнал;

x={x_j}₁ⁿ - вектор параметров системы;

y={y_j}₁ⁿ - вектор выходных контролируемых параметров системы;

F_i - известный оператор, зависящий от то­пологии измерительной системы;

a=y_min - минимальное значение контроли­руемого параметра;

b=y_max - максимальное значение контроли­руемого параметра.

При этом область допустимых измене­ний значений параметров D_x может быть не­известна.

Сформулированная выше задача может быть решена графическим или аналитическим методом. В [4] приведен графический метод анализа разрешающей способности и линей­ности применительно к измерительным схемам Анагр., Аизол.стат., Аизол.дин.

Рассмотрим аналитический метод поис­ка оптимальных значений параметров измери­тельных узлов, который, в ряде случаев, может быть более общим и эффективным.

Для решения задачи используем отно­сительные функции чувствительности [5], по­зволяющие сопоставлять и оценивать влияние различных параметров и входных воздействий на выходные контролируемые параметры си­стемы и на критерий оптимизации в любой точке поиска.

Относительные функции чувствитель­ности имеют вид:

Применительно к измерительным схе­мам на базе пассивных элементов исследуемое уравнение (1) представим в виде обратной за­висимости сигнала u_вх от параметров системы X₁...X_n:

u_вх=f (y_i,x₁,...x_n).                                                    (4)

Тогда относительные функции чувстви­тельности примут вид:

На основании выражений (4) и (5) зада­ча поиска оптимальных значений параметров {x_j}₁ⁿ измерительной системы заключается в определении таких значений {x_jопт}₁ⁿ, при ко­торых выходная функция принимает экстре­мальные значения (целевая функция).

Целевая функция А. Обеспечивается мак­симальная разрешающая способность схемы измерения - максимальное изменение сигна­ла ∆u_вх на выходе схемы измерения в заданном диапазоне (2) контролируемого параметра y_i :

Тогда согласно выражению (4) целевая функция А будет иметь вид:

Целевая функция В. Обеспечивается мак­симальная линейность схемы измерения - ми­нимальное изменение относительной функции чувствительности ∆S_yi^uвх сигнала u_вх на выходе схемы измерения в заданном диапазоне (2) кон­тролируемого параметра y_i:

Тогда согласно выражениям (4) и (5) це­левая функция B будет иметь вид:

Далее из целевых функций (7) и (9) мож­но определить оптимальные значения параме­тров {x_jопт}₁ⁿ или получить практические реко­мендации по их выбору.

Следует отметить, что данный метод при­меним только для зависимостей по свойствам, аналогичным строго возрастающей логариф­мической функции [6].

Рассмотрим подробнее применение ана­литического метода для выбора оптимальных значений параметров схем измерения сопро­тивлений Rнагр., Rизол.стат., Rизол.дин.

При поиске оптимального значения со­противления R1 в схеме контроля Rнагр (рис. 1) в диапазоне изменения a≤Rнагр≤b, (где а = 5 Ом, b = 300 Ом) использована предложенная в [4] формула:

Рис. 1. Схема измерения Rнагр

Определим значение R1, при котором обеспечивается максимальная разрешающая способность схемы измерения сопротивления нагрузки в заданном диапазоне.

В соответствии с выражением (7) целевая функция A примет вид:

Проведя исследование (11) на экстремум и учитывая условие R1 > 0, получим значение R1=√a b≈39 Ом, при котором величина ∆Uизм будет максимальной.

Определим значение R1, при котором вы­полняется условие максимальной линейности схемы измерения сопротивления нагрузки в заданном диапазоне.

В соответствии с выражением (9) целевая функция B примет вид:

При условии R1>0 функция (12)не имеет определенного решения, т. к. 

Результаты моделирования целевых функций А и B приведены на рис. 2.

Полученные результаты  позволяют использовать их в качестве практи­ческих рекомендаций при выборе значения эталонного сопротивления R1. Данным выво­дам удовлетворяют и решения, полученные графическим методом [4].

При поиске оптимальных значений сопротивлений R1, R2 в схеме контроля Аизол. стат. (рис. 3) в диапазоне изменения a≤Rизол. стат.≤b (где а = 100 кОм, b = 1,5 МОм) использована предложенная в [4] формула:

Определим значения R1 и R2, при кото­рых обеспечивается максимальная разреша­ющая способность схемы измерения стати­ческого сопротивления изоляции в заданном диапазоне.

В соответствии с выражением (7) целевая функция A примет вид:

max(∆Uизм) = max (E R1 R2² (b-a) ×

Проведя исследование (14) на экстремум и учитывая условия R1 > 0 и R2 > 0, получим зависимость:

при которой величина ∆Uизм будет максималь­ной для каждого постоянного значения А2. Сле­довательно, задача поиска максимума функции ∆Uизм двух переменных R1 и R2 сводится к определению максимума функции ∆Uизм од­ной переменной R1 (при R2 = const). Исходя из наиболее часто встречающегося требования к Rизол.стат.>300 кОм и учитывая, что резистор R2 подключен параллельно контролируемому Rизол. стат., выберем R2 = 500 кОм. Тогда со­гласно выражению (15) получим R1-177 кОм. Результат моделирования целевой функций A, проведённого с использованием интегрирован­ной математической системы PTCMathcad 15, представлен на рис. 4.

Определим значения R1 и R2, при кото­рых выполняется условие максимальной ли­нейности схемы измерения статического со­противления изоляции в заданном диапазоне.

В соответствии с выражением (9) целевая функция B примет вид:

не имеет определенного решения. Карта линий уровня и график целевой функции B приведе­ны на рис. 5.

Полученные результаты (включающие зависимость (15) позволяют использовать их в качестве практических рекомендаций при вы­боре значений эталонных сопротивлений R1, R2. Кроме этого, данным выводам отвечают ре­шения, полученные графическим методом [4].

Проведем аналогичный анализ схемы контроля Rизол.дин. (рис. 6) в диапазоне из­менения a≤Rизол.дин.≤b (где а = 10 кОм, b = 1,5 МОм) для поиска оптимальных значений сопротивлений R1, R2, R3, R4 с использовани­ем формулы:

Определим влияние каждого из па­раметров R1, R2, R3, R4 на сигнал Uизм. Для этого, с учётом выражения (5) и при Rизол. дин.=30кОм, получим значения отно­сительных функций чувствительности:

Как показали расчёты, сигнал Uизм сла­бо зависит от резистора R2, что позволяет не анализировать целевые функции A и B при из­менении R2.

В соответствии с выражением (7) целевая функция A примет вид:

Проведя исследование (18) на экстремум и учитывая условия R1>0, R2>0, R3>0, R4>0, получим зависимость:

Кроме этого, функция ∆Uизм относительно параметров R2, R3, R4 является мо­нотонной, следовательно, условное решение целевой функции A может быть найдено при любых R2=const, R3=const, R4=const с учётом выражения (19).

В соответствии с выражением (9) целевая функция B примет вид:

При условии R1>0, R2>0, R3>0, R4>0 функция (20) не имеет определёного значения минимума. Частные результаты моделирования целевых функций A и B (при R2 = const, R4 = const и E = 27 В) представлены на рис. 7.

Исходя из часто встречающихся тре­бований к величине сопротивления изоля­ции как статического, так и динамического, Rизол.>300кОм, необходимо обеспечить не меньшее значение сопротивления между це­пями питания по постоянному току и цепью «корпус» ОК при подключении схемы изме­рения. Следовательно, должны выполняться следующие условия:

Полученные результаты, включающие зависимость (19) и условия (21), позволяют использовать их в качестве практических ре­комендаций при выборе значений параметров R1, R2, R3, R4 схемы измерения Rизол.дин. Следует отметить, что для заданного диапазо­на изменений динамического сопротивления изоляции, согласно приведенным выше реко­мендациям, были определены следующие зна­чения: R1≈500 кОм, R2≈2,5МОм, R3≈1,4МОм, R4≈300кОм, что также совпадает с результата­ми, полученными графическим методом [4].

Вывод

Предложенный аналитический метод поиска оптимальных значений параметров измери­тельных узлов нашел широкое применение при разработке схем на базе пассивных элементов в составе ряда комплексов АСК электрических параметров различных систем управления.