Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам

Полный текст:

Аннотация

Рассмотрена задача аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем при заданных требованиях к качеству и порядку астатизма, в результате ее решения определена желаемая передаточная функция дискретной системы на основе ее непрерывного прототипа (непрерывной передаточной функции). Преимуществом указанного метода является то, что с помощью него удается устранить методическую ошибку при синтезе астатических дискретных систем, вызванную дискретизацией желаемых передаточных функций непрерывных систем. Данная ошибка присуща другим методам синтеза, в которых уменьшение систематической ошибки предполагается за счет уменьшения периода дискретизации по времени. Программа по автоматическому построению желаемой передаточной функции дискретной системы, реализующая указанный метод, была разработана в среде MATLAB

Для цитирования:


Антонова Т.А., Семёнов А.В. Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(2):43-48.

For citation:


Antonova T.A., Semenov A.V. Procedure of synthesising astatic digital tracking systems analytically from continuous prototypes. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2017;(2):43-48. (In Russ.)

Введение

В настоящее время при высоком технологи­ческом уровне вычислительной техники в ос­новном все следящие системы (СС) являются цифровыми. Использование цифровых мето­дов обработки информации в СС позволяет реализовать сложные алгоритмы управления и обеспечить их быструю модернизацию.

Нередко к проектируемой СС уже предъ­явлен ряд технических требований (время ре­гулирования, перерегулирование, порядок астатизма, точность реализации коэффициен­тов системы), поэтому в соответствии с техни­ческим заданием необходимо синтезировать СС с заданным порядком астатизма по задаю­щему воздействию и определенными показа­телями качества [1, 2].

Поставлена задача разработки процеду­ры синтеза цифровых астатических следящих систем по заданным показателям качества в среде MATLAB. Разработка процедуры синтеза проводится в среде MATLAB, а моделирование в разрешении MATLAB/Simulink, используемом для имитационного моделирования динами­ческих систем. Входными параметрами проце­дуры являются заданные показатели качества и порядок астатизма, выходными - желаемая дискретная передаточная функция (ПФ). Кро­ме того, необходимо провести математическое моделирование процесса определения желае­мой дискретной ПФ в расширении MATLAB/ Simulink.

Математическое обеспечение

Схема следящей системы, представленная для математического моделирования, приве­дена на рис. 1. На вход системы подается сиг­нал g, на выход - сигнал у. Здесь также Wyg (p/z) - передаточная функция замкнутой СС (где аргумент p - для непрерывных СС, а z - для дискретных ПФ), отклонение (рас­согласование) ε = g - у.

 

Рис. 1. Схема следящей системы для моделирования

 

Определение желаемой дискретной ПФ СС проводится на основе стандартных ПФ не­прерывных СС. Задача синтеза, как показано в статье [3], включает три основные этапа.

Первый этап. Необходимо получить не­прерывный прототип - ПФ Wyg (р) непрерыв­ной замкнутой СС, удовлетворяющей постав­ленным требованиям к качеству управления, порядку астатизма и условиям физической ре­ализуемости: времени регулирования t*p, пере­регулированию σ*g и порядку астатизма v*g, а также условию физической реализуемости m ≤ n для непрерывных систем (где m, n - сте­пени полиномов числителя и знаменателя ПФ соответственно).

Запишем непрерывный прототип аста­тической по задающему воздействию СС [1]:

где H0(p), H(p) - полиномы числителя и зна­менателя непрерывной ПФ соответственно;

Δi - стандартные коэффициенты (берут­ся из таблицы стандартных коэффициентов [1, 2] с учетом требований к порядку системы и астатизма, а также к перерегулированию);

νg - порядок астатизма системы по зада­ющему воздействию.

Здесь также приведен временн0й мас­штабный коэффициент ω0, учитывающий за­данное время регулирования и определяемый по формуле

где tpm - табличное время регулирования при ωο = 1 [1].

Если ω0 = 1, выражение (2) описывает стандартную ПФ. При ω0 < 1 переходный про­цесс в системе является более продолжитель­ным, а при ω0 > 1 - более кратким.

Второй этап. Для получения дискрет­ного прототипа по непрерывному прототипу необходимо выполнить Ζ-преобразование по­следнего [1, 2]:

где ZT {·} - обозначение ZT-преобразования от функции, стоящей в фигурных скобках;

T - период дискретизации.

Математическое преобразование в соот­ветствии с формулой (3) выполняется с помо­щью встроенной функции MATLAB c2d при выбранном периоде дискретизации [4].

Таким образом, полученный дискрет­ный прототип в замкнутом состоянии W (z) по задающему полиномиальному воздействию g (kT) = g (t) (где k - номер такта) описывается выражением в общем виде:

Здесь ηί, δί - коэффициенты числителя и знаменателя дискретной ПФ соответственно.

Третий этап. Необходимо получить дискретную желаемую ПФ. Точность дис­кретных систем (ДС) определяется величи­ной ошибки, с которой система воспроизво­дит задающее полиномиальное воздействие. Для определения ошибок дискретных систем, вызванных полиномиальными воздействиями, применяется метод коэффициентов ошибок, на основании которого сформулирована и до­казана теорема об условиях астатизма ДС [5].

Теорема 1. Об условиях астатизма ДС. Дискретная система с ПФ вида (4) имеет астатизм νg-го порядка по отношению к задаю­щему полиномиальному воздействию g (kT) степени rgg , если коэффициенты этой ПФ удовлетворяют условиям:

где - биномиальные коэффициенты, опре­деляемые по формуле  = i!/ k !(i - k)!

Если условие (5) для заданного поряд­ка астатизма не выполняется по отношению к дискретному прототипу (4), определяются новые значения коэффициентов δ*ί и η*i, для чего существует ряд методов [6, 7]. Затем ус­ловие (5) заново проверяется с учетом новых коэффициентов. Если полученная в результа­те изменения коэффициентов дискретная ПФ удовлетворяет этим условиям в полном объе­ме, то она является желаемой дискретной ПФ для синтезируемой СС.

Описанный выше поэтапный алгоритм был реализован в среде MATLAB в виде про­граммных процедур и функций. Структурная схема работы алгоритма приведена на рис. 2.

 

Рис. 2. Процедура аналитического синтеза с компонентом анализа показателей качества СС

 

Пример расчета желаемой дискретной ПФ по непрерывному прототипу представлен на рис. 3. В примере использованы следую­щие данные:

 

Рис. 3. Результаты работы процедуры: а - стандартная непрерывная ПФ; б - непрерывный прототип; в - дискретный прототип; г - желаемая ПФ ДС

 

Для проведения сравнительного анали­за показателей качества, получаемых в ходе синтеза ПФ, на рис. 4 представлены реакции непрерывного прототипа, дискретного прототипа и желаемой ПФ ДС при единичном ступенчатом и линейно нарастающем воздей­ствии. В случае единичного ступенчатого воз­действия реакция системы будет являться пе­реходной характеристикой.

 

 

Показатели качества системы оценива­ются по переходной характеристике (рис. 4, а). Результаты оценки показателей качества как для желаемой дискретной ПФ, так и для ее непрерывного прототипа представлены в таб­лице.

 

Результаты оценки показателей качества следящих систем

Тип системы

Показатели качества

Порядок астатизма

Результат

tp, с

σg, %

νg

Требуемое*

Результат моделиро­вания

Требуемое*

Результат моделирования

Требуемое*

Результат моделирования

Непрерывный прототип

3,5

3,46

≤ 20

19,8

3

3

Не удовлетворяет по типу системы

Дискретный прототип

То же

То же

То же

То же

То же

1

Не удовлетворяет по порядку астатизма

Желаемая ПФ ДС

3,7

3,62

≤ 25

22

То же

3

Удовлетворяет

* При расчете в качестве исходных данных берется значение соответствующего параметра

Отметим, что в ходе синтеза показатели качества непрерывного прототипа на первом этапе необходимо выбирать с некоторым запа­сом. Показатели качества желаемой дискретной ПФ удовлетворяют требуемым, но имеют незначительные ухудшения по сравнению с непрерывным прототипом, что является «пла­той» за достижение системой заданного по­рядка астатизма.

При единичном ступенчатом воздей­ствии (рис. 5, а) ошибка между задающим воз­действием и выходным сигналом для всех трех систем в установившемся режиме стремится к нулю. При линейно нарастающем (рис. 5, б) и квадратично нарастающем (рис. 5, в) воз­действиях видно, что к нулю стремится только ошибка непрерывного прототипа и желаемой ПФ ДС, а рассогласование дискретного про­тотипа имеет постоянное значение ошибки в случае линейно нарастающего воздействия и расходящееся значение ошибки в случае ква­дратично нарастающего воздействия. Это до­казывает, что дискретный прототип не облада­ет астатизмом выше первого порядка.

Заключение

В ходе проведения исследования задачи син­теза СС была применена методика расчета желаемой ПФ дискретной СС на основе ее непрерывного прототипа, получаемого на основе стандартных ПФ. В среде MATLAB разработана программа по автоматическому построению желаемой ПФ дискретных СС, реализующая разработанный поэтапный алгоритм решения задачи аналитического син­теза. Рассмотрен численный пример, показы­вающий работу реализованной программной процедуры определения желаемых ПФ аста­тических цифровых СС.

Продемонстрированный в ходе модели­рования подход показал преимущество пе­ред ранее использовавшимся подходом при моделировании цифровых следящих систем. Значение динамической ошибки, неизбежно возникающей в ходе расчета дискретного про­тотипа, снижали путем уменьшения периода дискретизации по времени. Именно доработка изменений коэффициентов дискретного про­тотипа позволила достичь заданного порядка астатизма, выполняемого на третьем этапе ал­горитма. Кроме того, с помощью разработан­ной программы были произведены оценка и анализ показателей качества системы с жела­емой дискретной ПФ.

Разработанная программа позволяет ав­томатизировать процесс анализа и синтеза цифровых СС и имеет практическую значи­мость при разработке и математическом моделировании различных высокоточных систем слежения, систем наведения, а также систем сопровождения.

Список литературы

1. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления. М.: Высшая школа, 2010. 415 с.

2. Пупков К.А., Егупов Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления. 2-е изд., перераб. и доп. В 5 т. Т. 3. Синтез регуляторов систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 616 с.

3. Семёнов А.В., Гайдук А.Р. Метод построения желаемых передаточных функций дискретных систем с высоким порядком астатизма // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. № 2 (139). С. 14-19.

4. Дьяконов В.П. MATLAB R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Основы применения. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Солон-Пресс, 2008. 800 с.

5. Семёнов А.В., Гайдук А.Р. Биномиальные условия компенсации полиномиальных воздействий // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. № 4 (141). С. 156-151.

6. Семёнов А.В. Способы расчета коэффициентов желаемых передаточных функций астатических дискретных следящих систем. Матер. Всерос. науч. конф. «Теоретические и методические проблемы эффективного функционирования радиотехнических систем - Системотехника-2013». Таганрог, 2013. С. 25-33.

7. Семёнов А.В. Желаемые передаточные функции астатических дискретных следящих систем, имеющих «внешние» нули передачи. Проблемы автоматизации. Региональное управление. Связь и автоматика. ПАРУСА-2013 / Сб. тр. II Всерос. науч. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов. Геленджик: Изд-во Южного федерального университета, 2013. Т. 1. С. 48-53.


Об авторах

Т. А. Антонова
ПАО «Научно-производственное объединение «Алмаз» имени академика А.А. Расплетина»
Россия


А. В. Семёнов
Московский физико-технический институт (государственный университет); ПАО «Научно-производственное объединение «Алмаз» имени академика А.А. Расплетина»
Россия


Для цитирования:


Антонова Т.А., Семёнов А.В. Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(2):43-48.

For citation:


Antonova T.A., Semenov A.V. Procedure of synthesising astatic digital tracking systems analytically from continuous prototypes. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2017;(2):43-48. (In Russ.)

Просмотров: 73


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)