Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам

Введение

В настоящее время при высоком технологи­ческом уровне вычислительной техники в ос­новном все следящие системы (СС) являются цифровыми. Использование цифровых мето­дов обработки информации в СС позволяет реализовать сложные алгоритмы управления и обеспечить их быструю модернизацию.

Нередко к проектируемой СС уже предъ­явлен ряд технических требований (время ре­гулирования, перерегулирование, порядок астатизма, точность реализации коэффициен­тов системы), поэтому в соответствии с техни­ческим заданием необходимо синтезировать СС с заданным порядком астатизма по задаю­щему воздействию и определенными показа­телями качества [1, 2].

Поставлена задача разработки процеду­ры синтеза цифровых астатических следящих систем по заданным показателям качества в среде MATLAB. Разработка процедуры синтеза проводится в среде MATLAB, а моделирование в разрешении MATLAB/Simulink, используемом для имитационного моделирования динами­ческих систем. Входными параметрами проце­дуры являются заданные показатели качества и порядок астатизма, выходными - желаемая дискретная передаточная функция (ПФ). Кро­ме того, необходимо провести математическое моделирование процесса определения желае­мой дискретной ПФ в расширении MATLAB/ Simulink.

Математическое обеспечение

Схема следящей системы, представленная для математического моделирования, приве­дена на рис. 1. На вход системы подается сиг­нал g, на выход - сигнал у. Здесь также W_yg (p/z) - передаточная функция замкнутой СС (где аргумент p - для непрерывных СС, а z - для дискретных ПФ), отклонение (рас­согласование) ε = g - у.

Определение желаемой дискретной ПФ СС проводится на основе стандартных ПФ не­прерывных СС. Задача синтеза, как показано в статье [3], включает три основные этапа.

Первый этап. Необходимо получить не­прерывный прототип - ПФ W_yg (р) непрерыв­ной замкнутой СС, удовлетворяющей постав­ленным требованиям к качеству управления, порядку астатизма и условиям физической ре­ализуемости: времени регулирования t*_p, пере­регулированию σ*_g и порядку астатизма v*_g, а также условию физической реализуемости m ≤ n для непрерывных систем (где m, n - сте­пени полиномов числителя и знаменателя ПФ соответственно).

Запишем непрерывный прототип аста­тической по задающему воздействию СС [1]:

где H₀(p), H(p) - полиномы числителя и зна­менателя непрерывной ПФ соответственно;

Δ_i - стандартные коэффициенты (берут­ся из таблицы стандартных коэффициентов [1, 2] с учетом требований к порядку системы и астатизма, а также к перерегулированию);

ν_g - порядок астатизма системы по зада­ющему воздействию.

Здесь также приведен временн0й мас­штабный коэффициент ω₀, учитывающий за­данное время регулирования и определяемый по формуле

где t_pm - табличное время регулирования при ωο = 1 [1].

Если ω₀ = 1, выражение (2) описывает стандартную ПФ. При ω₀ < 1 переходный про­цесс в системе является более продолжитель­ным, а при ω₀ > 1 - более кратким.

Второй этап. Для получения дискрет­ного прототипа по непрерывному прототипу необходимо выполнить Ζ-преобразование по­следнего [1, 2]:

где Z_T {·} - обозначение Z_T-преобразования от функции, стоящей в фигурных скобках;

T - период дискретизации.

Математическое преобразование в соот­ветствии с формулой (3) выполняется с помо­щью встроенной функции MATLAB c2d при выбранном периоде дискретизации [4].

Таким образом, полученный дискрет­ный прототип в замкнутом состоянии W (z) по задающему полиномиальному воздействию g (kT) = g (t) (где k - номер такта) описывается выражением в общем виде:

Здесь η_ί, δ_ί - коэффициенты числителя и знаменателя дискретной ПФ соответственно.

Третий этап. Необходимо получить дискретную желаемую ПФ. Точность дис­кретных систем (ДС) определяется величи­ной ошибки, с которой система воспроизво­дит задающее полиномиальное воздействие. Для определения ошибок дискретных систем, вызванных полиномиальными воздействиями, применяется метод коэффициентов ошибок, на основании которого сформулирована и до­казана теорема об условиях астатизма ДС [5].

Теорема 1. Об условиях астатизма ДС. Дискретная система с ПФ вида (4) имеет астатизм ν_g-го порядка по отношению к задаю­щему полиномиальному воздействию g (kT) степени r_g =ν_g , если коэффициенты этой ПФ удовлетворяют условиям:

где - биномиальные коэффициенты, опре­деляемые по формуле  = i!/ k !(i - k)!

Если условие (5) для заданного поряд­ка астатизма не выполняется по отношению к дискретному прототипу (4), определяются новые значения коэффициентов δ*_ί и η*_i, для чего существует ряд методов [6, 7]. Затем ус­ловие (5) заново проверяется с учетом новых коэффициентов. Если полученная в результа­те изменения коэффициентов дискретная ПФ удовлетворяет этим условиям в полном объе­ме, то она является желаемой дискретной ПФ для синтезируемой СС.

Описанный выше поэтапный алгоритм был реализован в среде MATLAB в виде про­граммных процедур и функций. Структурная схема работы алгоритма приведена на рис. 2.

Пример расчета желаемой дискретной ПФ по непрерывному прототипу представлен на рис. 3. В примере использованы следую­щие данные:

Для проведения сравнительного анали­за показателей качества, получаемых в ходе синтеза ПФ, на рис. 4 представлены реакции непрерывного прототипа, дискретного прототипа и желаемой ПФ ДС при единичном ступенчатом и линейно нарастающем воздей­ствии. В случае единичного ступенчатого воз­действия реакция системы будет являться пе­реходной характеристикой.

Показатели качества системы оценива­ются по переходной характеристике (рис. 4, а). Результаты оценки показателей качества как для желаемой дискретной ПФ, так и для ее непрерывного прототипа представлены в таб­лице.

Отметим, что в ходе синтеза показатели качества непрерывного прототипа на первом этапе необходимо выбирать с некоторым запа­сом. Показатели качества желаемой дискретной ПФ удовлетворяют требуемым, но имеют незначительные ухудшения по сравнению с непрерывным прототипом, что является «пла­той» за достижение системой заданного по­рядка астатизма.

При единичном ступенчатом воздей­ствии (рис. 5, а) ошибка между задающим воз­действием и выходным сигналом для всех трех систем в установившемся режиме стремится к нулю. При линейно нарастающем (рис. 5, б) и квадратично нарастающем (рис. 5, в) воз­действиях видно, что к нулю стремится только ошибка непрерывного прототипа и желаемой ПФ ДС, а рассогласование дискретного про­тотипа имеет постоянное значение ошибки в случае линейно нарастающего воздействия и расходящееся значение ошибки в случае ква­дратично нарастающего воздействия. Это до­казывает, что дискретный прототип не облада­ет астатизмом выше первого порядка.

Заключение

В ходе проведения исследования задачи син­теза СС была применена методика расчета желаемой ПФ дискретной СС на основе ее непрерывного прототипа, получаемого на основе стандартных ПФ. В среде MATLAB разработана программа по автоматическому построению желаемой ПФ дискретных СС, реализующая разработанный поэтапный алгоритм решения задачи аналитического син­теза. Рассмотрен численный пример, показы­вающий работу реализованной программной процедуры определения желаемых ПФ аста­тических цифровых СС.

Продемонстрированный в ходе модели­рования подход показал преимущество пе­ред ранее использовавшимся подходом при моделировании цифровых следящих систем. Значение динамической ошибки, неизбежно возникающей в ходе расчета дискретного про­тотипа, снижали путем уменьшения периода дискретизации по времени. Именно доработка изменений коэффициентов дискретного про­тотипа позволила достичь заданного порядка астатизма, выполняемого на третьем этапе ал­горитма. Кроме того, с помощью разработан­ной программы были произведены оценка и анализ показателей качества системы с жела­емой дискретной ПФ.

Разработанная программа позволяет ав­томатизировать процесс анализа и синтеза цифровых СС и имеет практическую значи­мость при разработке и математическом моделировании различных высокоточных систем слежения, систем наведения, а также систем сопровождения.