Перейти к:
Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам
https://doi.org/10.38013/2542-0542-2017-2-43-48
Аннотация
Ключевые слова
Для цитирования:
Антонова Т.А., Семёнов А.В. Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(2):43-48. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2017-2-43-48
For citation:
Antonova T.A., Semenov A.V. Procedure of synthesising astatic digital tracking systems analytically from continuous prototypes. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2017;(2):43-48. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2017-2-43-48
Введение
В настоящее время при высоком технологическом уровне вычислительной техники в основном все следящие системы (СС) являются цифровыми. Использование цифровых методов обработки информации в СС позволяет реализовать сложные алгоритмы управления и обеспечить их быструю модернизацию.
Нередко к проектируемой СС уже предъявлен ряд технических требований (время регулирования, перерегулирование, порядок астатизма, точность реализации коэффициентов системы), поэтому в соответствии с техническим заданием необходимо синтезировать СС с заданным порядком астатизма по задающему воздействию и определенными показателями качества [1, 2].
Поставлена задача разработки процедуры синтеза цифровых астатических следящих систем по заданным показателям качества в среде MATLAB. Разработка процедуры синтеза проводится в среде MATLAB, а моделирование в разрешении MATLAB/Simulink, используемом для имитационного моделирования динамических систем. Входными параметрами процедуры являются заданные показатели качества и порядок астатизма, выходными - желаемая дискретная передаточная функция (ПФ). Кроме того, необходимо провести математическое моделирование процесса определения желаемой дискретной ПФ в расширении MATLAB/ Simulink.
Математическое обеспечение
Схема следящей системы, представленная для математического моделирования, приведена на рис. 1. На вход системы подается сигнал g, на выход - сигнал у. Здесь также Wyg (p/z) - передаточная функция замкнутой СС (где аргумент p - для непрерывных СС, а z - для дискретных ПФ), отклонение (рассогласование) ε = g - у.
Рис. 1. Схема следящей системы для моделирования
Определение желаемой дискретной ПФ СС проводится на основе стандартных ПФ непрерывных СС. Задача синтеза, как показано в статье [3], включает три основные этапа.
Первый этап. Необходимо получить непрерывный прототип - ПФ Wyg (р) непрерывной замкнутой СС, удовлетворяющей поставленным требованиям к качеству управления, порядку астатизма и условиям физической реализуемости: времени регулирования t*p, перерегулированию σ*g и порядку астатизма v*g, а также условию физической реализуемости m ≤ n для непрерывных систем (где m, n - степени полиномов числителя и знаменателя ПФ соответственно).
Запишем непрерывный прототип астатической по задающему воздействию СС [1]:
где H0(p), H(p) - полиномы числителя и знаменателя непрерывной ПФ соответственно;
Δi - стандартные коэффициенты (берутся из таблицы стандартных коэффициентов [1, 2] с учетом требований к порядку системы и астатизма, а также к перерегулированию);
νg - порядок астатизма системы по задающему воздействию.
Здесь также приведен временн0й масштабный коэффициент ω0, учитывающий заданное время регулирования и определяемый по формуле
где tpm - табличное время регулирования при ωο = 1 [1].
Если ω0 = 1, выражение (2) описывает стандартную ПФ. При ω0 < 1 переходный процесс в системе является более продолжительным, а при ω0 > 1 - более кратким.
Второй этап. Для получения дискретного прототипа по непрерывному прототипу необходимо выполнить Ζ-преобразование последнего [1, 2]:
где ZT {·} - обозначение ZT-преобразования от функции, стоящей в фигурных скобках;
T - период дискретизации.
Математическое преобразование в соответствии с формулой (3) выполняется с помощью встроенной функции MATLAB c2d при выбранном периоде дискретизации [4].
Таким образом, полученный дискретный прототип в замкнутом состоянии W (z) по задающему полиномиальному воздействию g (kT) = g (t) (где k - номер такта) описывается выражением в общем виде:
Здесь ηί, δί - коэффициенты числителя и знаменателя дискретной ПФ соответственно.
Третий этап. Необходимо получить дискретную желаемую ПФ. Точность дискретных систем (ДС) определяется величиной ошибки, с которой система воспроизводит задающее полиномиальное воздействие. Для определения ошибок дискретных систем, вызванных полиномиальными воздействиями, применяется метод коэффициентов ошибок, на основании которого сформулирована и доказана теорема об условиях астатизма ДС [5].
Теорема 1. Об условиях астатизма ДС. Дискретная система с ПФ вида (4) имеет астатизм νg-го порядка по отношению к задающему полиномиальному воздействию g (kT) степени rg =νg , если коэффициенты этой ПФ удовлетворяют условиям:
где - биномиальные коэффициенты, определяемые по формуле
= i!/ k !(i - k)!
Если условие (5) для заданного порядка астатизма не выполняется по отношению к дискретному прототипу (4), определяются новые значения коэффициентов δ*ί и η*i, для чего существует ряд методов [6, 7]. Затем условие (5) заново проверяется с учетом новых коэффициентов. Если полученная в результате изменения коэффициентов дискретная ПФ удовлетворяет этим условиям в полном объеме, то она является желаемой дискретной ПФ для синтезируемой СС.
Описанный выше поэтапный алгоритм был реализован в среде MATLAB в виде программных процедур и функций. Структурная схема работы алгоритма приведена на рис. 2.
Рис. 2. Процедура аналитического синтеза с компонентом анализа показателей качества СС
Пример расчета желаемой дискретной ПФ по непрерывному прототипу представлен на рис. 3. В примере использованы следующие данные:
Рис. 3. Результаты работы процедуры: а - стандартная непрерывная ПФ; б - непрерывный прототип; в - дискретный прототип; г - желаемая ПФ ДС
Для проведения сравнительного анализа показателей качества, получаемых в ходе синтеза ПФ, на рис. 4 представлены реакции непрерывного прототипа, дискретного прототипа и желаемой ПФ ДС при единичном ступенчатом и линейно нарастающем воздействии. В случае единичного ступенчатого воздействия реакция системы будет являться переходной характеристикой.

Показатели качества системы оцениваются по переходной характеристике (рис. 4, а). Результаты оценки показателей качества как для желаемой дискретной ПФ, так и для ее непрерывного прототипа представлены в таблице.
Результаты оценки показателей качества следящих систем
Тип системы | Показатели качества | Порядок астатизма | Результат | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
tp, с | σg, % | νg | |||||
Требуемое* | Результат моделирования | Требуемое* | Результат моделирования | Требуемое* | Результат моделирования | ||
Непрерывный прототип | 3,5 | 3,46 | ≤ 20 | 19,8 | 3 | 3 | Не удовлетворяет по типу системы |
Дискретный прототип | То же | То же | То же | То же | То же | 1 | Не удовлетворяет по порядку астатизма |
Желаемая ПФ ДС | 3,7 | 3,62 | ≤ 25 | 22 | То же | 3 | Удовлетворяет |
* При расчете в качестве исходных данных берется значение соответствующего параметра |
Отметим, что в ходе синтеза показатели качества непрерывного прототипа на первом этапе необходимо выбирать с некоторым запасом. Показатели качества желаемой дискретной ПФ удовлетворяют требуемым, но имеют незначительные ухудшения по сравнению с непрерывным прототипом, что является «платой» за достижение системой заданного порядка астатизма.
При единичном ступенчатом воздействии (рис. 5, а) ошибка между задающим воздействием и выходным сигналом для всех трех систем в установившемся режиме стремится к нулю. При линейно нарастающем (рис. 5, б) и квадратично нарастающем (рис. 5, в) воздействиях видно, что к нулю стремится только ошибка непрерывного прототипа и желаемой ПФ ДС, а рассогласование дискретного прототипа имеет постоянное значение ошибки в случае линейно нарастающего воздействия и расходящееся значение ошибки в случае квадратично нарастающего воздействия. Это доказывает, что дискретный прототип не обладает астатизмом выше первого порядка.

Заключение
В ходе проведения исследования задачи синтеза СС была применена методика расчета желаемой ПФ дискретной СС на основе ее непрерывного прототипа, получаемого на основе стандартных ПФ. В среде MATLAB разработана программа по автоматическому построению желаемой ПФ дискретных СС, реализующая разработанный поэтапный алгоритм решения задачи аналитического синтеза. Рассмотрен численный пример, показывающий работу реализованной программной процедуры определения желаемых ПФ астатических цифровых СС.
Продемонстрированный в ходе моделирования подход показал преимущество перед ранее использовавшимся подходом при моделировании цифровых следящих систем. Значение динамической ошибки, неизбежно возникающей в ходе расчета дискретного прототипа, снижали путем уменьшения периода дискретизации по времени. Именно доработка изменений коэффициентов дискретного прототипа позволила достичь заданного порядка астатизма, выполняемого на третьем этапе алгоритма. Кроме того, с помощью разработанной программы были произведены оценка и анализ показателей качества системы с желаемой дискретной ПФ.
Разработанная программа позволяет автоматизировать процесс анализа и синтеза цифровых СС и имеет практическую значимость при разработке и математическом моделировании различных высокоточных систем слежения, систем наведения, а также систем сопровождения.
Список литературы
1. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления. М.: Высшая школа, 2010. 415 с.
2. Пупков К.А., Егупов Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления. 2-е изд., перераб. и доп. В 5 т. Т. 3. Синтез регуляторов систем автоматического управления. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 616 с.
3. Семёнов А.В., Гайдук А.Р. Метод построения желаемых передаточных функций дискретных систем с высоким порядком астатизма // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. № 2 (139). С. 14-19.
4. Дьяконов В.П. MATLAB R2006/2007/2008. Simulink 5/6/7. Основы применения. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Солон-Пресс, 2008. 800 с.
5. Семёнов А.В., Гайдук А.Р. Биномиальные условия компенсации полиномиальных воздействий // Известия ЮФУ. Технические науки. 2013. № 4 (141). С. 156-151.
6. Семёнов А.В. Способы расчета коэффициентов желаемых передаточных функций астатических дискретных следящих систем. Матер. Всерос. науч. конф. «Теоретические и методические проблемы эффективного функционирования радиотехнических систем - Системотехника-2013». Таганрог, 2013. С. 25-33.
7. Семёнов А.В. Желаемые передаточные функции астатических дискретных следящих систем, имеющих «внешние» нули передачи. Проблемы автоматизации. Региональное управление. Связь и автоматика. ПАРУСА-2013 / Сб. тр. II Всерос. науч. конф. молодых ученых, аспирантов и студентов. Геленджик: Изд-во Южного федерального университета, 2013. Т. 1. С. 48-53.
Об авторах
Т. А. АнтоноваРоссия
А. В. Семёнов
Россия
Рецензия
Для цитирования:
Антонова Т.А., Семёнов А.В. Процедура аналитического синтеза астатических цифровых следящих систем по непрерывным прототипам. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(2):43-48. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2017-2-43-48
For citation:
Antonova T.A., Semenov A.V. Procedure of synthesising astatic digital tracking systems analytically from continuous prototypes. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2017;(2):43-48. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2017-2-43-48