Метод расчета гидродинамики и динамики старта подводного аппарата с учётом упругих колебаний его корпуса

При постановке и решении «связанных» за­дач гидроупругости имеются большие слож­ности математического плана. Они возникают вследствие физической разнородности систе­мы «жидкость - упругий аппарат» и отсутствия унифицированного математического аппарата для комплексного описания поведения такой системы. В связи с этим важное значение в проблеме формирования математической моде­ли гидродинамики и динамики старта аппарата приобретает разработка способов сопряжения различных частей задачи гидроупругости, не связанных физической общностью.

В данной работе рассматривается осе­симметричный аппарат, осуществляющий подводный старт из пускового устройства ци­линдрической формы. Направление движения аппарата в пусковом устройстве осуществля­ется с помощью упругих опор, расположен­ных на пусковом устройстве, и одной жёсткой опоры в хвостовой части аппарата. Для реше­ния задачи динамики аппарата используется связанная с ним система координат OXYZ и неподвижная система координат O₀X₀Y₀Z₀. На­чало связанной системы координат располо­жено в центре масс, а оси связанной системы координат совпадают с главными осями инер­ции аппарата. В начальный момент связанная и неподвижная системы координат совпадают (рис. 1).

При движении аппарата отклонение его продольной оси от оси пускового устройства невелико, линейные размеры платформы, в которой размещено пусковое устройство, зна­чительно больше линейных размеров аппара­та, поэтому платформа заменяется бесконеч­ной плоской стенкой (рис. 2). Кольцевой зазор между аппаратом и пусковым устройством остаётся сухим. Для учёта упругих колебаний аппарата в жидкости необходимо принять сле­дующие допущения [1]:

• корпус аппарата представляется без- опорной балкой;
• формы свободных колебаний аппарата при колебаниях в воздухе и в жидкости иден­тичны;
• смещения корпуса аппарата при его упругих колебаниях малы;
• жидкость, окружающая аппарат, иде­альная, несжимаемая, течение её потенциаль­ное.

При сделанных предположениях задача определения гидродинамических характери­стик аппарата, совершающего малые колеба­ния при выходе его из пускового устройства движущейся под водой платформы, сводится к задаче об обтекании тела вращения, прохо­дящего через жёсткий экран перпендикулярно его плоскости в полупространство, заполнен­ное жидкостью.

Общий алгоритм решения гидродинами­ческой части этой задачи аналогичен определе­нию гидродинамических нагрузок на аппарат как на твёрдое тело [2], и в этой работе приве­дены только характерные отличия. Расчётная схема для решения гидродинамической части задачи представлена на рис. 2.

Представим упругий прогиб корпуса ап­парата v(x, t) в виде функции от продольной координаты точек аппарата x и времени t. При­нимая в качестве таких функций собственные формы колебаний аппарата, запишем выраже­ние упругого прогиба в виде [2, 3]:

где v(x, t) - суммарный прогиб корпуса упруго­го изделия в сечении с координатой х;

P_i (t) - перемещения точки приведения (обобщенная координата);

f_i(x) - нормальная функция, описывающая i-ю форму собственных колебаний;

t - время;

N - количество собственных форм колеба­ний, учитываемых в расчёте.

Схема выхода аппарата из пускового устройства приведена на рис. 1.

В силу предположения о потенциальном характере обтекания аппарата, а также с учётом выражения (1) запишем потенциал возмущён­ных скоростей жидкости в виде:

где φ_i - единичные потенциалы;

υ_х, υ_y - проекции линейной скорости цен­тра масс аппарата на оси связанной системы координат OX и OY соответственно;

ω_z - проекция угловой скорости аппарата на ось связанной системы координат OZ.

Для определения каждого единичного потенциала необходимо решить внешнюю за­дачу Неймана [1]

с учётом нулевых граничныхусловий на бес­конечности. Граничные условия на поверхно­сти аппарата приведены к недеформируемой поверхности и для учёта упругих колебаний имеют вид:

В выражениях (3) и (4) -   вектор норма­ ли к поверхности тела; Ω - поверхность тела; х_Т - координата центра масс тела; х - продоль­ная координата рассматриваемой точки. Вектор скорости произвольной точки тела определя­ется зависимостью:

При известном потенциале можно определить кинетическую энергию жидкости с по­мощью выражения:

Кинетическая энергия аппарата опреде­ляется выражением:

Суммарная кинетическая энергия аппа­рата, совершающего упругие колебания при плоском движении, запишется в виде:

где λl_i,j - присоединённые массы аппарата, рас­пределённые по длине;

M - масса аппарата;

m(x) - масса аппарата, распределённая по длине;

J_z - главный момент инерции аппарата от­носительно оси OZ;

k_i - редукционный коэффициент, учитыва­ющий растекание жидкости при упругих коле­баниях корпуса изделия [1-3];

(^.) - точка над переменной означает диффе­ренцирование по времени.

Введение редукционного коэффициента позволяет значительно сократить объем вы­числений при сохранении точности расчетов. В [1] приведена аналитическая формула расчёта используемых при вычислении присоединен­ных масс редукционных коэффициентов для кругового цилиндра, совершающего попереч­ные колебания:

где K₀, K₁ - бесселевы функции нулевого и первого порядков второго рода;

R - радиус цилиндра;

L - длина цилиндра;

i - число узлов формы колебаний.

Для расчёта распределения давления по поверхности аппарата необходимо рассмотреть интеграл Коши - Лагранжа, который в связан­ной системе координат имеет вид:

где  - вектор относительной скорости жидкости;

 = gгаdФ _Σ - абсолютная скорость жидко­сти, вызванная движением изделия;

 - вектор переносной скорости;

r_∞ - давление жидкости на бесконечности;

ρ - плотность жидкости;

∂′Ф _Σ/δt - в первом члене этого выражения штрих означает, что производная берётся в свя­занной с аппаратом системе координат; во всех остальных случаях штрих означает произво­дную по продольной координате аппарата.

В рассматриваемом плоском движении двойное интегрирование давления по поверх­ности аппарата позволяет найти главный век­тор

и главный момент относительно центра масс

а также коэффициенты этой силы (главного вектора) и главного момента:

В выражениях (11) - (13) S_M=pR²;

r - радиус аппарата в текущем сечении;

R - радиус цилиндрической части аппа­рата;

S_l - длина образующей, вышедшей за экран части аппарата;

L - длина аппарата;

- модуль линейной скоро­сти центра масс аппарата;

частные производные x' и r' имеют сле­дующие выражения: x' = ∂x/∂s и r’ = ∂r/∂s.

Применяя гипотезу стационарности, най­дём выражения для коэффициентов позицион­ных и вращательных гидродинамических сил и моментов с учётом упругих колебаний кор­пуса аппарата:

где u_1t, u_2t, u_6t - безразмерные коэффициенты относительных скоростей по оси τ. Для вы­числения этих коэффициентов используется алгоритм, приведённый в [2];

α = arctg(-u_y/u_x)- угол атаки аппарата как твёрдого тела;

α_i = arctg (-/υ_x) - дополнительный угол атаки, обусловленный упругими колебаниями;

- безразмерная угловая скорость;

 = P_i/L - безразмерное перемещение точ­ки приведения.

При выводе совместной системы уравне­ний, описывающей динамику, необходимо от­метить, что в силу выбора параметров, опре­деляющих движение аппарата, кинетическая энергия зависит от его скоростей в связанной системе координат u_x, u_y, ω_z и обобщенных ко­ординат P_i , характеризующих упругие дефор­мации аппарата. Поэтому уравнения движения распадаются на две группы: группу уравнений Эйлера - Лагранжа для скоростей в связанной системе координат u_x, u_y, ω_z и группу уравне­ний Лагранжа для обобщенных скоростей .

В рассматриваемом случае плоского дви­жения аппарата уравнения Эйлера - Лагранжа будут иметь вид:

где F_i, F_j - проекции главного вектора внешних сил, действующих на аппарат;

M_z - проекция главного момента внеш­них сил.

Уравнения Лагранжа записываются в виде:

где V_i - обобщённая сила i-го тона колебаний. Потенциальная энергия аппарата в вакууме определяется выражением:

где EI(x) - изгибная жёсткость аппарата.

Совместную систему уравнений, описы­вающую динамику аппарата и его колебания, удобно записать в матричном виде:

Ap=Z,                                                                                       (18)

где A - матрица инерции;

p - вектор-столбец динамических реакций;

Z - вектор-столбец внешних воздействий;

где  - члены, характеризующие инерционные харак­теристики аппарата как жёсткого тела;

 - члены, характеризующие инерционные ха­рактеристики упругого аппарата при колебани­ях;

 - члены, характеризующие взаимное влияние движения аппарата как твёрдого тела и его упругих колебаний;

ύ_х, ύ_y - проекции линейного ускорения цен­тра масс аппарата;

ώ_z - проекция углового ускорения аппарата;

- ускорение точки приведения по i-й фор­ме колебания.

Элементы вектор-столбца Z определяют­ся выражениями:

V′_i =V_i + C_iP_i,

где  - проекции главного вектора и момента внешних сил не гидродинамической природы, действующих на аппарат;

g - ускорение свободного падения;

a₁₁  = cos ϑ, a₁₂ = - sin ϑ - направляющие ко­синусы;

V_A - модуль линейной скорости центра масс аппарата;

C_i - коэффициент приведённой жёсткости.

Расчёты, демонстрирующие применение математической модели, представлены на рис. 3 и 4. При проведении расчётов учитывались первые три формы собственных колебаний аппарата.

Результаты расчетов демонстрируют удов­летворительную сходимость при моделирова­нии реакции жёсткой опоры, а также возмож­ную погрешность (~18 %) в случае неучёта упругих перемещений корпуса аппарата при расчёте перемещений в упругой опоре, что мо­жет повлиять на точность действующих на ап­парат оценок нагрузок и точность определения условий несоударения аппарата с элементами пускового устройства.