Применение общего логико-вероятностного метода при моделировании функционирования ответственных систем

Введение

Предлагается использовать моделирование формулы полной вероятности, формулы Бай­еса и технического риска цифро-аналоговых устройств для модельного отображения функ­ционирования ответственных систем общим логико-вероятностным методом (ОЛВМ) [1], который реализован в нескольких образцах программных комплексов (ПК) автоматизи­рованного структурно-логического модели­рования (АСМ): ПК АСМ 2001, АРБИТР.

В целом ОЛВМ и его реализация в АСМ имеют ряд преимуществ в силу того, что они:

• обладают теоретически повышенной точностью оценок;
• требуют составления только логической структурно-функциональной схемы объекта (в терминах ОЛВМ - схемы функциональной целостности (СФЦ), т. е. специализированной знаковой системы, графического языка записи событийных и логических условий реализации исследуемого свойства системы);
• освобождают пользователя от состав­ления расчетных формул и вычислительного алгоритма;
• предоставляют пользователю оценки значимостей элементов, что избавляет его от построения множества графиков.

В связи с этим предлагается использо­вать технологию АСМ для решения задач ана­лиза радиоэлектронных систем с использова­нием инженерных расчетов.

Автоматизированный расчет достоверности контроля ответственных систем

Известно, что существующие автоматизиро­ванные средства контроля (АСК) как встроен­ные, так и внешние, могут допускать ошибки, связанные с классификацией события A_i как  (ложный отказ) и  как события A_j (необ­наруженный отказ).

Вероятность правильной оценки резуль­тата контроля (достоверность контроля) пред­ставляет собой сумму

D = D₀₀ + D₁₁,                                                        (1)

где D₀₀ - условная вероятность положитель­ного результата контроля исправности (рабо­тоспособности) объекта контроля (ОК);

D₁₁ - условная вероятность положитель­ного результата контроля неисправности (не­работоспособности) ОК.

Аналогично недостоверность контроля  можно представить как

где  - условная вероятность забраковать работоспособный ОК при контроле;

 - условная вероятность пропустить неработоспособный ОК при контроле.

Достоверность контроля вычислим по формуле

а недостоверность контроля

Здесь A,  события, состоящие в том, что объект контроля в действительности испра­вен (работоспособен) и неисправен (нерабо­тоспособен);

B и  - события, состоящие в признании объекта контроля по результатам контроля ис­правным (работоспособным) и неисправным (неработоспособным);

P(A), P() - безусловные априорные вероятности событий A и ;

P(B/А) - условная вероятность того, что АСК исправный объект контроля признают исправным;

P(/) - условная вероятность того, что АСК неисправный объект контроля признают неисправным;

P(B/) - условная вероятность того, что АСК неисправный объект контроля признают исправным;

P(/A) - условная вероятность того, что АСК исправный объект контроля признают неисправным.

Вычислим эти вероятности, для чего вве­дем следующие обозначения:

P₀ - априорная вероятность исправного (работоспособного) состояния ОК к моменту контроля;

Q₀ - априорная вероятность неисправ­ного (неработоспособного) состояния ОК к моменту контроля.

Автоматизированные средства контроля могут находиться в одном из следующих со­стояний:

• работоспособны с вероятностью Р_ск безотказной работы средств контроля (СК);
• возник такой отказ в АСК, при котором АСК признают ОК работоспособным или не­работоспособным независимо от его действи­тельного состояния с вероятностью q_и (посто­янно годен), q_н (постоянно не годен);
• возник такой отказ в АСК, при котором выдаваемая АСК оценка противоположна ис­тинному состоянию ОК с вероятностью q_ни.

Тогда имеем следующую группу несов­местных событий:

P_ск + q_и + q_н + q_ни = 1

На основании работы [2] получим:

где α - вероятность ложного отказа;

β - вероятность необнаруживаемого от­каза;

ν - полнота контроля;

Тогда вероятности, входящие в формулы (5) и (6), могут быть рассчитаны по формулам, приведенным в табл. 1, 2 [2].

На рис. 1 показано окно автоматизиро­ванного моделирования ПК АСМ 2001 [1] в форме структурной СФЦ для автоматизации расчетов обобщенных показателей достоверности D (а) или недостоверности (б) кон­троля.

Используя программный комплекс ПК АСМ 2001, после автоматизированного рас­чета достоверности контроля при P(B/A) = = 0,99918, P( / ) = 0,99473, P(A) = 0,9 имеем D = 0,998735. Некоторые авторы [2] рассматривают две вероятностные оценки: достоверность D_г контроля исправного со­стояния ОК и достоверность D_н контроля неисправного состояния ОК. Вероятности D_г и D_н являются апостериорными вероятностями исправного и неисправного состояний ОК со­ответственно и могут быть найдены по фор­муле Байеса

Сравнение формул (3), (7), (8) позволяет связать обобщенный показатель ДК с досто­верностями контроля D_г и D_н соотношением

Для вычисления D_г и D_н воспользуемся ОЛВМ и составим СФЦ (рис. 2).

Вычисление D_r производится следую­щим образом. Вначале задаются вероятности P(A) и P(BIA) вычисляется числитель вы­ражения (7). Затем рассчитывается знамена­тель после подстановки значений вероятно­стей P(A), P(/A) P() и P(/) После деления числителя (7) на знаменатель (10) получаем искомое значение для D_r. Аналогично рассчитывается значение D_н .

Автоматизированный расчет технического риска резервированного цифро-аналогового преобразователя

Рассмотрим моделирование технического риска резервированного цифро-аналогового преобразователя (РЦАП), проведя его расчет. Так, для рассматриваемого примера анализа РЦАП расчет технического риска можно выполнить на основе СФЦ, представленной на рис. 3. С помощью событий р₃ и р₄, пред­ставленных функциональными вершинами 3 и 4, в СФЦ вводим параметры р₃ = 0,3 и р₄ = 0,4 поражения (нестойкости) элементов 1 и 2 при возникновении поражающего фак­тора р₅ (удар, взрыв, пожар и т. п.).

Система логических уравнений для по­строения СФЦ (см. рис. 3) имеет следующий вид:

С помощью программного комплекса автоматизированного структурно-логического моделирования (ПК АСМ 2001) получена ма­тематическая модель и вычислены показате­ли технического риска возникновения аварии РЦАП для СФЦ (см. рис. 3).

Расчеты по формулам (10)-(12) могут быть выполнены как вручную, так и с исполь­зованием автоматизированного метода:

Сложив вероятности (10)-(12), вычисля­ем общую вероятность возникновения аварии рассматриваемого устройства ЦАП:

Интерфейс пользователя ПК АСМ 2001 после решения задачи моделирования, расче­та технического риска возникновения аварии, а также результаты автоматизированного рас­чета представлены на рис. 4, 5.

Из проведенного сравнения диаграмм (см. рис. 5) можно заключить, что применение РЦАП по сравнению с нерезервированным ЦАП (при отказе ЦАП-1) при тех же исход­ных данных и логическом критерии у₉ позво­ляет снизить технический риск в 4,62 раза. Из рис. 4 видно, что уменьшить значение пока­зателя pWR_sis можно проведением меропри­ятий, направленных на увеличение вероят­ностей P₁ и р₂ безотказной работы ЦАП-1 и ЦАП-2 (белые столбцы диаграммы) или на уменьшение вероятностей р₃, р₄ и р₅ событий 3, 4 (поражения элементов) или 5 (возник­новения поражающего фактора). Диаграмма служит доказательством, что уменьшение ве­роятности p₅ является наиболее эффектив­ным решением для повышения безопасности данного устройства.

Заключение

Разработан автоматизированный расчет по­казателей достоверности контроля на основе ОЛВМ, позволяющий сократить время расче­та по сравнению с ручным методом примерно в десять раз. Показано, что применение

ОЛВМ позволяет с помощью простых мо­делей производить моделирование и расчет технического риска резервированных циф­ро-аналоговых устройств, например блока формирования заданных углов склонения ле­тательного аппарата.