Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Оценка угловых скоростей баллистического объекта с использованием радиального ускорения

Полный текст:

Аннотация

Разработан алгоритм оценки вектора полной скорости баллистического объекта на основе его радиального ускорения без использования численных методов оптимизации. Приведено сравнение эффективности функционирования алгоритма с существующим оптимизационным методом.

Для цитирования:


Порсев В.И., Сивков А.И., Ворошилин Е.П. Оценка угловых скоростей баллистического объекта с использованием радиального ускорения. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2016;(2):30-35.

For citation:


Porsev V.I., Sivkov A.I., Voroshilin E.P. Estimating angular velocities of a ballistic object using radial acceleration. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2016;(2):30-35. (In Russ.)

Постановка задачи

Обоснование и разработка быстродействую­щих и физически адекватных алгоритмов рас­чета движения баллистических объектов не­обходимы как для создания программно-ре­ализованных в реальном масштабе времени моделей движения таких объектов, так и для решения задач проектирования и проведения оценки эффективности радиолокационных средств и комплексов. В настоящее время во­просам совершенствования методов расчета, моделирования и аналитического представ­ления параметров движения баллистических объектов уделяется повышенное внимание.

Известно, что траекторию баллистиче­ского объекта в первом приближении определя­ет исключительно гравитационное поле Земли [1-3]. Для нахождения объекта в произвольный момент времени достаточно знать его положе­ние и скорость в конкретный момент времени.

Орбита космического объекта однознач­но задается шестимерным вектором элементов орбиты или шестимерным вектором, содержа­щим три координаты положения и три состав­ляющих скорости в любой системе координат, например V = (х, у, z, ẋ, ẏ, ź), где x, y, z - коорди­наты в местной прямоугольной системе коор­динат, связанной с полотном антенны. Рассмо­трим системы координат, связанные с точкой стояния радиолокационных систем (РЛС).

  1. Местная прямоугольная система коор­динат (МПСК). Ось Z лежит на горизонталь­ной оси антенны РЛС (рис. 1). Направление оси Z задается углом A (азимутом), отсчитываемым от местного направления на север до оси Z по часовой стрелке. Ось Xлежит в пло­скости, перпендикулярной плоскости антенны, и направлена в сторону излучения РЛС. Ее по­ложение в этой плоскости задается углом β0 - углом наклона оси X к плоскости местного го­ризонта β0 ≥ 0. Ось Y направлена вверх и до­полняет СК до правой системы координат (см. правило правой руки).
  2. Биконическая система координат (БСК).
  • дальность R- расстояние от начала ко­ординат до объекта;
  • азимут ε - угол между осью Z МПСК и радиус-вектором объекта, отсчитываемый от оси Z против часовой стрелки (0 < ε < π);
  • угол места ,   где δ - угол между осью Y МПСК, связанной с этой СК, и радиус- вектором объекта, отсчитываемый от оси Y.
  1. Радиотехническая система координат (РСК). Отличается от БСК только углом места γ - двугранным углом, образованным плоско­стью местного горизонта и плоскостью, содер­жащей радиус-вектор объекта.

 

 

Рис. 1. Местная прямоугольная система координат

 

 

Основной вклад в погрешность вычис­ленного значения вектора скорости объекта вносят в РЛС ошибки определения угловых скоростей [4-7]. Способность современных

РЛС достаточно точно измерять дальность и радиальную скорость движения объекта, а также осуществлять оценку радиального уско­рения позволяет с высокой точностью восста­навливать (вычислять для конкретного момен­та времени) вектор полной скорости объекта.

Задачу восстановления вектора скорости объекта сформулируем следующим образом: на вход алгоритма поступают координаты объ­екта в биконической системе (БСК) координат R, ε, θ, их скорости  и радиальное уско­рение  а также их дисперсии σ 2(R), σ 2(ε), σ2(θ), .  На  выходе требуется получить вектор V = dR / dt в мест­ной прямоугольной системе координат, связан­ной с полотном антенны.

Классическим решением задачи является метод, изложенный в работе [5], суть которого заключается в поиске минимума функционала:

где  - уточненные значения угловых скоростей в радиотехнической системе коор­динат (РСК);

 - радиальное ускорение, вычисленное для баллистического объекта.

Существенный недостаток метода за­ключается в необходимости программной ре­ализации итерационного численного метода минимизации функционала, приводящей к росту временных затрат на поиск решения в реальном масштабе времени, что является особенно критичным для программ, работаю­щих в реальном масштабе времени.

В связи с этим актуален вопрос о нахож­дении решения задачи минимизации, обла­дающего высокой точностью и в то же время закладывающего минимально возможные временные затраты на его реализацию, т. е. реше­ния, не являющегося итерационным.

Решение поставленной задачи

Искать решение будем, исходя из ограниче­ния, накладываемого на вектор скорости бал­листического объекта величиной радиального ускорения. Для вывода необходимого уравне­ния разложим вектор скорости по ортогональ­ному базису, связанному с радиус-вектором объекта R в системе координат, связанной с точкой стояния станции. Базисными вектора­ми выберем  где ω - вектор угловой скорости вращения Зем­ли. Отметим, что базисные векторы не являются нормированными: .

Во введенном базисе вектор полной ско­рости имеет вид

где vr = v1n1 - радиальная составляющая век­тора скорости;

vt = v2n2 + v3n3 - тангенциальная составля­ющая.

Из тождества RdR / dt = RdR / dt получим оценку:

Продифференцировав тождество, полу­чим формулу, содержащую радиальное уско­рение:

В местной прямоугольной системе коор­динат вектор ускорения имеет вид:

где g - гравитационное ускорение;

R0 - радиус-вектор объекта от центра Земли.

Подставив ускорение в формулу (3), по­лучим уравнение:

Введем обозначение c = R(g - ω × (ω × R0)) - . Очевидно, что с зависит только от коор­динат R, ε, θ и ускорения . Иными словами, величина с не содержит угловых скоростей.

Упростим уравнение (4):

Уравнение (5) является искомым огра­ничением, накладываемым радиальным уско­рением на вектор скорости баллистическо­го объекта, и представляет собой уравнение окружности относительно составляющих век­тора V2 и V3. Все радиус-векторы точек плоско­сти, удовлетворяющих уравнению (5), можно представить в виде:

где α ∈ [0;2π] - некоторый угол.

Заметим, что, с одной стороны, вектор х по определению равняется тангенциальной составляющей vt искомого вектора скорости. С другой - из всех переменных, входящих в состав формулы (6), только угол α может зави­сеть от угловых скоростей . Таким обра­зом, погрешность вектора vt в выражении (6) зависит в первую очередь от ошибки при вы­боре значения α.

На рис. 2 схематично изображены плот­ности вероятности f (х) для векторов  (двумерное нормальное распределение) и  (в предположении, что ошибка оценки радиального ускорения , определяющего ра­диус кольца, подчиняется нормальному закону распределения, а угол α - равномерному).

Из представленной схемы следует, что значение α в формуле (6) следует выбирать соответству­ющим лучу, направленному из центра кольца в вершину поверхности   (обозначим такой угол как α* ). Поскольку угол α опреде­ляется угловыми скоростями έ и θ, то даже в случае учета этой зависимости в виде плотно­сти вероятности для вектора  (величина α перестанет быть равномерно распределен­ной) картина должна остаться симметричной относительно луча .  Тог­да из соображений симметрии логично рассмо­треть схему (см. рис. 2) в сечении, проходящем через точки (n2,0) и .        Приведенные выше допущения справедливы при наличии примерно одинаковой точности оценок угло­вых скоростей  ,  что равносильно требованию сопоставимой точности измере­ния угловых координат.

На рис. 3 схематично показаны плотно­сти вероятности в сечении, соответствующем углу α. По оси абсцисс откладываем расстоя­ние от центра кольца.

Оптимальной оценкой вектора vt будем считать вектор

где k рассчитываем из принципа минимума дисперсии v*t.

Прокомментируем полученную форму­лу (7).

Во-первых, результаты моделирования позволяют сделать вывод относительно вели­чины коэффициента k. При небольшом коли­честве измерений координат (менее 8) коэффициент близок к нулю, а при значительном времени сопровождения объекта векторов  настолько близки друг к дру­гу, что точная величина к слабо влияет на ко­нечный результат v*t.

Во-вторых, поскольку из-за ошибок из­мерения величина, стоящая под знаком корня в формуле (6), может получиться отрицатель­ной, целесообразно откорректировать алгоритм вычисления v*t следующим образом:

С физической точки зрения ситуация, при которой , означает, что танген­циальная составляющая скорости близка к ну­левой, и кольцо (см. рис. 2) вырождается в ко­нусообразную поверхность.

Результаты моделирования

Для проверки работы разработанного алго­ритма была использована программно-алго­ритмическая модель, созданная в среде про­граммирования MATLAB. На вход модели подавались четыре рассчитанные траектории искусственных спутников Земли в зоне дей­ствия станции. На каждую траекторию на­кладывались ошибки измерения координат (измерялись дальность, азимут, угол места и радиальная скорость), распределенные по нормальному закону с нулевым математиче­ским ожиданием и постоянным среднеквадра­тическим отклонением.

После получения пяти измерений коор­динат с временным шагом 1 с был проведен расчет тангенциальной составляющей вектора скорости по следующим алгоритмам:

  • с использованием формул (7) и (8);
  • с использованием численного метода минимизации функционала (1).

По тысяче реализаций для каждой траек­тории строилась гистограмма полученных ре­зультатов. По оси абсцисс откладывалась не­вязка рассчитанного значения тангенциальной составляющей скорости vt, а по оси ординат - процент реализаций, для которых невязка не превысила значения на оси абсцисс. На каждой гистограмме были представлены результаты по обоим алгоритмам, а также для случая, когда уточнения вектора скорости не проводилось.

На рис. 4 представлены результаты рабо­ты алгоритма по траекториям спутников, схо­дящих с орбиты (с малым вектором скорости) (траектории № 1 (а) и № 2 (б)); на рис. 5 - по траекториям спутников с большим вектором скорости (траектории № 3 (а) и № 4 (б)). При этом для рис. 4, а и 5, а были использованы траектории, у которых тангенциальная состав­ляющая вектора скорости выражена сильнее, чем для тех, что на рис. 4, б и 5, б.

В табл. 1 для каждой траектории и алго­ритма приведено среднее арифметическое ве­личины , где  Δvt - вектор невязки тангенциальной составляющей вектора скорости, полученного при использовании ал­горитма; Δvt0 - вектор невязки тангенциальной составляющей без уточнения вектора скорости.

 

Таблица 1

Средние арифметические значения величины  для траекторий №  1-4

Траектория

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

Новый алгоритм

17,5930 %

9,0450 %

30,5729 %

27,6963 %

Минимум функционала

6,8996 %

6,5504 %

23,7817 %

26,3970 %

В табл. 2 приведены медианные значения величины , в табл. 3  - за­траты времени на работу обоих алгоритмов на языке MATLAB.

 

Таблица 2

Медианные значения величины для    траекторий № 1-4

Траектория

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

Новый алгоритм

17,9321 %

20,0231 %

26,5868 %

22,5215 %

Минимум функционала

9,5294 %

13,9753 %

20,2415 %

22,0892 %

 

Таблица 3

Временные затраты на работу алгоритмов для траекторий № 1-4

Траектория

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

Новый алгоритм

0,26...0,34 мс

0,26.0,34 мс

0,26.0,34 мс

0,26.0,29 мс

Минимум

функционала

18...71 мс (10-37 итераций)

10.50 мс (5-31 итераций)

24.67 мс (13-39 итераций)

19.52 мс (11-32 итерации)

Приведенные в табл. 3 данные позволя­ют сделать вывод о том, что новый алгоритм превосходит итерационный численный метод по быстродействию в 38-209 раз.

Выводы

Из приведенных выше результатов можно за­ключить следующее:

  1. Разработанный алгоритм уточняет век­тор скорости баллистического объекта без ис­пользования численных методов минимиза­ции, не уступая им в то же время по области применимости. Как следствие, полученный алгоритм существенно увеличивает быстро­действие расчета вектора скорости (как ми­нимум, на порядок), что особенно важно для программ, работающих в реальном масштабе времени.
  2. Разработанный алгоритм позволяет получить выигрыш в точности оценки танген­циальной составляющей вектора скорости до 10 % в сравнении с существующим численным методом минимизации (табл. 1, 2).
  3. Преимущество разработанного алго­ритма в точности оценки сильнее выражено для траекторий со значительной тангенциальной составляющей вектора скорости (рис. 4, а, 5, а).

Список литературы

1. Эдельбаум Т. Н. Оптимальные задачи в механике полета маневрирующих космических аппаратов // Современное состояние механики космического полета. М., 1969. С. 162–178.

2. Эльясберг П. Е. Введение в теорию полета искусственных спутников Земли. М.: Наука, 1965. 540 с.

3. Баллистика и навигация ракет / А. А. Дмитриевский, Л. Н. Лысенко, Н. М. Иванов, С. С. Богданов. М.: Машиностроение, 1985. 309 с.

4. Эльясберг П. Е. Определение движения по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 416 с.

5. Саврасов Ю. С. Методы определения орбит космических объектов. М.: Машиностроение, 1981. 174 с.

6. Саврасов Ю. С. Алгоритмы и программы в радиолокации. М.: Радио и связь, 1985. 216 с.

7. Порсев В. И., Кучеров Ю. С., Порсев А. В. К методологии проектирования РЛС // Изобретательство. 2014. № 8. Т. 14. С. 49–52.


Об авторах

В. И. Порсев
АО «ВНИИРТ»
Россия

Порсев Валерий Иосифович – доктор технических наук, заместитель генерального директора по научной работе.

Область научных интересов: радиолокация, радионавигация.

г. Москва



А. И. Сивков
АО «ВНИИРТ»
Россия

Сивков Александр Игоревич – ведущий инженер.

Область научных интересов: траекторная обработка радиолокационной информации.

г. Москва



Е. П. Ворошилин
АО «ВНИИРТ»
Россия

Ворошилин Евгений Павлович – кандидат технических наук, начальник сектора.

Область научных интересов: цифровая обработка сигналов.

г. Москва



Для цитирования:


Порсев В.И., Сивков А.И., Ворошилин Е.П. Оценка угловых скоростей баллистического объекта с использованием радиального ускорения. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2016;(2):30-35.

For citation:


Porsev V.I., Sivkov A.I., Voroshilin E.P. Estimating angular velocities of a ballistic object using radial acceleration. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2016;(2):30-35. (In Russ.)

Просмотров: 59


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)