Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

О применении алгоритмов на основе метода наименьших квадратов и конечных формул в задачах обработки траекторных измерений

Полный текст:

Аннотация

Получена оценка среднеквадратических отклонений в задаче обработки траекторных измерений, когда оцениваемые параметры траектории определяются по конечным формулам по минимальному набору измеряемых параметров, при этом в явном виде нет функциональной связи данных параметров с вектором измерений. Для оценки среднеквадратических отклонений определения траектории по конечным формулам предложено осуществлять стохастическое моделирование. Получены конечные формулы для траекторных задач при угловых измерениях. Приведены результаты математического моделирования.

Для цитирования:


Кисин Ю.К. О применении алгоритмов на основе метода наименьших квадратов и конечных формул в задачах обработки траекторных измерений. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2016;(3):74-80.

For citation:


Kisin Yu.K. On application of algorithms on the basis of least-square and end formula methods in the trajectory measurement processing problems. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2016;(3):74-80. (In Russ.)

Постановка задачи и общая схема ее решения

При использовании метода наименьших ква­дратов (МНК) в задачах навигации для опре­деления параметров траектории летательных аппаратов и других подвижных объектов по результатам измерений итерационно реша­ется соответствующая система нормальных уравнений.

Оценка среднеквадратических отклоне­ний параметров траектории подвижных объек­тов проводится автоматически при обращении матрицы системы нормальных уравнений.

Определение опытной траектории МНК по измерениям осуществляется в соответствии с данными [1-5] по формуле:

где  - оценки параметров опытной траектории подвижного объекта на (к + 1)-й и к-й итерациях;

ΔΧ(к+1) - поправка к параметрам опыт­ной траектории подвижного объекта на (к + 1)-й итерации;

Z(k) - матрица частных производных от измеряемых параметров по оцениваемым с к-й итерации;

Y - вектор измерений;

- расчетный вектор измеряе­мых параметров, вычисленный по оценке на к -й итерации;

W - обратная матрица к ковариационной матрице ошибок измерений.

Точность опытной траектории определя­ется ковариационной матрицей:

где k соответствует номеру последней итера­ции в формуле (1).

Пусть случайный вектор Χ размерности n функционально связан со случайным векто­ром Y размерности m:

X = F(Y).                                                           (3)

В соответствии с данными работы [1]:

где KX, KY - соответствующие ковариацион­ные матрицы;

- матрица частных производных от оцениваемых параметров по измеряемым па­раметрам.

Формула (4) является точной в случае линейной зависимости.

В задачах при определении параметров траектории вектора X размерности n по резуль­татам измерений вектора Y(X) размерности т, как отмечено выше, универсальным подходом является применение МНК в соответствии с книгами [1-5].

В траекторной задаче [1], в которой изме­ряются дальность, азимут и угол места:

х = d cos γ cos α, y = d sin γ, z = d cos γ sin α, где x, y, z - координаты ЛА;

d, α, γ - дальность, азимут и угол места соответственно, оценка точности определя­емых параметров может быть выполнена по формуле (4).

В работах [1-3] приведены примеры, ког­да оцениваемые параметры определяются по конечным формулам по минимальному набо­ру измеряемых параметров, при этом в явном виде нет функциональной связи вектора X с вектором измерений Y по формуле вида (3) и в данном случае оценка точности опытной траектории по формуле вида (4) невозможна. В качестве примера таких задач навигации мож­но привести определение координат объекта по конечным формулам по трем дальностям от трех маяков [1-3], по трем разностям даль­ностей от четырех маяков [2, 3], по направля­ющим косинусам измеренных с двух фазовых пеленгаторов [1].

Пусть вектор  - оценка опытной траектории алгоритмом по конечным форму­лам по измерениям вектора Y размерности т (например, n = 3 и m = 3), если определяются три координаты траектории по трем разностям дальностей от четырех маяков в соответствии с работами [2, 3].

Для оценки точности (среднеквадратиче­ских отклонений) определения опытной траек­тории предлагается осуществлять стохастиче­ское моделирование следующим образом.

Вычислить расчетный вектор измерений  соответствующий оценке опытной траектории X.

Смоделировать серии измерений

где m - размерность вектора измерений;

i = 1,..., Nser, Nser - количество модели­руемых серий измерений;

εij - помеха в i-испытании по j-координате.

Моделирование измерений осуществля­ется путем добавления к расчетным значениям измеряемых параметров случайных помех дат­чиком псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения.

Для каждой серии измерений Yi опреде­лить по алгоритму конечных формул (оператор A) соответствующую опытную траекторию Xi:

Α: Yi → Xi.

По сериям смоделированных опытных траекторий осуществить статистическую об­работку для оценки средних квадратичных от­клонений (СКО) координат траектории:

где - оценка СКО j-й координаты траекто­рии (j = 1,..., n).

Алгоритм определения координат по ми­нимальному набору измерений может быть осуществлен и на основе минимизации мето­дом случайного поиска суммы квадратов от­клонений измеренных значений от пробных расчетных значений.

На рис. 1 представлены способы оценки точности навигации по минимальному набору измерений, в том числе и по конечным формулам.

 

Рис. 1. Способы расчета точности определения траек­тории по минимальному набору измерений

 

Определение кинематических параметров траектории по угловым измерениям с двух измерительных средств

Рассмотрим задачу определения координат объекта по азимутам и углам места, измерен­ным с двух измерительных средств (ИС) α1, γ1; α2, γ2 → x, y, z. Данная задача эквивалентна задаче определения координат объекта для двух фазовых пеленгаторов, измеряющих направля­ющие косинусы, в соответствии с работой [1].

Связь измеряемых параметров направля­ющих косинусов cos θ х, cos θ z с азимутом и углом места показана на рис. 2, определяем ее по формуле:

 

Рис. 2. Переход от азимута и угла места к измерени­ям в виде направляющих косинусов

 

Пусть имеются измерения двух пар на­правляющих косинусов cos θx1 , cos θz1 и cosθx2  , cosθz2 .

Книга [1] содержит формулы опреде­ления координат объекта для двух фазовых пеленгаторов, измеряющих направляющие косинусы. Координаты ЛА в местной систе­ме координат (МСК) первого ИС могут быть определены по формуле:

Таким образом необходимо определить расстояние между ЛА и точкой стояния 1-го ИС D1.

Способ решения задачи поясняет рис. 3 [1], на котором показаны углы δ, φ, Ψ, исполь­зуемые в дальнейших расчетах.

Величина D1 определяется следующим образом:

где b - расстояние между двумя ИС;

b10 - единичный вектор (показан на рис. 3 и вычисляется в соответствии с работой [1]):

где Ф1 Ф2 - матрицы направляющих косину­сов связи МСК измерительных средств с грин­вичской системой координат (ГСК);

 

Рис. 3. Определение координат объекта на паре ИС

 

На рис. 4 приведены СКО определения координаты x опытной траектории, получен­ной при обработке измерений МНК и по ко­нечным формулам.

 

 

Данные рис. 4 показывают хорошее со­гласование двух способов оценки точности (СКО) на основе МНК и стохастического мо­делирования в задаче определения траектории по направляющим косинусам, измеренным с двух фазовых пеленгаторов.

Представляют математический интерес задачи определения параметров траектории по азимуту и углу места, измеренных с одного ИС и одного угла (азимута или угла места) со второго средства.

Как отмечено ранее, решение задачи cosθx1,cosθz1 ,cosθx2 ,cosθz2 → х,y,z дано в книге [1].

Формулы связи направляющих косину­сов с азимутом и углом места α1, γ1, α2, γ2 → cosθx1,cosθz1 ,cosθx2 ,cosθz2 задаются соотношением (7). Таким образом, задача определе­ния координат объекта по азимутам и углам места, измеренным с двух ИС α1, γ1, α2, γ2 → x, y, z решена.

Представляют интерес решения двух за­дач: α1, γ1, α2 → x, y, z и α1, γ1, γ2 → x, y, z.

Рассмотрим решения этих задач с помо­щью трех методов:

  • по конечным формулам;
  • методом наименьших квадратов;
  • алгоритмом случайного поиска мини­мизации суммы квадратов.

Конечные формулы решения задачи α1, γ1, α2 → x, y, z получим путем нахождения ко­ординат точки пересечения луча l1, определя­емого углами α1, γ1 и плоскостью Πα2 , опреде­ляемой азимутом α2 и вертикальной осью O2Y2 на основе [6-9]. Способ решения указанных двух задач поясняет рис. 5 и 6 соответственно.

 

Рис. 5. Способ решения задачи α1, γ1, α2 → x, y, z

 

 

Рис. 6. Способ решения задачи α1, γY1, α2 → x, y, z

 

Плоскость Πα2 может быть определена по трем точкам в МСК второго ИС:

M1 = (x1,y1,z1), M2 = (x2,y2,z2),  M3 = (x3,y3,z3),

где x1 = y1 = z1 = 0;

x2 = cos α2, y2 = 0, z2 = sin α 2;

x3 = z3 = 0, y3 =1;

Плоскость Πα2 задается уравнением:

В соответствующем общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 для плоскости Πα2

A = x2, B = 0, C = z2, D = 0.

В МСК первого ИС луч I1 лежит на пря­мой, задаваемой уравнением в параметриче­ской форме:

В МСК второго ИС уравнение прямой, имеет вид:

где b1, b2 - векторы свободных членов для пе­рехода из МСК измерительных средств в ГСК в соответствии с работой [1].

Пересечение луча l1 с плоскостью Пα2 соответствует параметру:

Координаты объекта определяются по формуле:

г(t1)= a2 t1+ r02 .                                                    (16)

Конечные формулы решения задачи α1, γ1, γ2 → x, y, z будут получены путем нахожде­ния координат точки пересечения луча l1, опре­деляемого углами α1, γ1, и круговым конусом Κθ2 вокруг оси O2Y2 с углом раствора

Конус Kθ2 задается уравнением:

Условие пересечения прямой линии (14) с конусом (17) определяется уравнением:

Далее параметр t определяется из квад­ратного уравнения:

Координаты объекта определяются по формуле:

Здесь  - корни уравне­ния (19).

По данным расчетной траектории лож­ное второе решение исключаем.

Таким образом, получены конечные фор­мулы определения параметров траектории по азимуту и косинусу, измеренных с одного ИС и одного угла (азимута или угла места) со вто­рого средства. Отметим, что эти формулы, по-видимому, приводятся впервые.

Определение параметров траектории по азимутам и углам места, измеренным с двух ИС, может осуществляться методом наимень­ших квадратов решением задачи минимизации:

где αipac, γpac - расчетные значения измеряе­мых углов ИС;

i = 1, 2 - номера ИС;

x, y, z - координаты объекта.

Определение параметров траектории по азимуту и углу места, измеренных с одного ИС, и одного угла (азимута или угла места) со второго средства осуществляется решением задачи минимизации (21), в которой отсутствует третье или четвертое слагаемое соответствен­но. Решение задачи (21) осуществляется двумя способами. При первом способе определение параметров траектории осуществляется ите­рационно, на каждом шаге решается система нормальных уравнений [1-6]. Второй способ решения задачи (21) заключается в примене­нии метода случайного поиска для минимиза­ции Ф(х, y, z) [10, 11].

В таблице приведены результаты моде­лирования. Результаты расчетов даны в виде отклонений Δx, Δy и Δz координат опытной траектории от их истинных значений для двух моментов измерений, соответствующих вы­соте объекта 50 и 2 км (номера измерений в таблице). Погрешность измерений принята с СКО σα = σγ = 10 угл. с. Обработка осуществлена по алгоритмам конечных формул (КФ); минимизацией в МНК суммы квадратов откло­нений измеренных значений от их расчетных величин случайным поиском (СП); МНК.

Данные таблицы отражают приемлемое совпадение оценок в задачах, решаемых раз­личными методами.

Выводы

  1. Приведен способ оценки среднеквадрати­ческих отклонений при определении коорди­нат объекта по конечным формулам, по мини­мальному набору измеряемых параметров.
  2. Получены конечные формулы для определения параметров траектории по ази­муту и углу места, измеренных с одного ИС и одного угла (азимута или угла места) со вто­рого средства.
  3. Математическим моделированием подтверждена работоспособность предлагае­мых алгоритмов.

 

Результаты моделирования

Измеряе­мые параметры

Метод

Номер измерения

Отклонения, км

Δx

Δy

Δz

1, γ1, α2, γ2)

КФ

1

-0,013

0,008

-0,013

2

-0,003

0,010

-0,006

1, γ1, α2)

КФ

1

-0,015

0,009

-0,017

2

-0,004

0,011

-0,007

1, γ1, γ2)

КФ

1

0,325

-0,133

0,618

2

-0,002

-0,002

-0,002

1, γ1, α2)

СП

1

-0,015

0,009

-0,017

2

-0,004

0,012

-0,007

1, γ1, γ2)

СП

1

-0,008

0,007

-0,018

2

-0,014

0,057

-0,032

1, γ1, α2, γ2)

МНК

1

-0,008

0,007

-0,018

2

-0,003

0,010

-0,007

1, γ1, α2)

МНК

1

-0,015

0,009

-0,017

2

-0,004

0,011

-0,007

1, γ1, γ2)

МНК

1

0,325

-0,133

0,618

2

-0,002

-0,002

-0,002

Список литературы

1. Жданюк Б. Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. М.: Советское радио, 1978. 384 с.

2. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / В. С. Шебшаевич и др. М.: Радио и связь, 1993. 408 с.

3. Барабанов О. О., Барабанова Л. П. Математические задачи дальномерной навигации. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 272 с.

4. Мудров В. И., Кушко В. Л. Методы обработки измерений. Квазиправдоподобные оценки. Изд. 2-е. М.: Радио и связь, 1983. 304 с.

5. Тихонов А. Н., Уфимцев М. В. Статистическая обработка результатов экспериментов. М.: Изд-во Московского университета, 1988. 174 с.

6. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Астрель: АСТ, 2006. 991 с.

7. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 240 с.

8. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979. 512 с.

9. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: учебное пособие. М.: Наука, 1990. 672 с.

10. Растригин Л. А. Случайный поиск. М.: Знание, 1979. 64 с.

11. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.


Об авторе

Ю. К. Кисин
Войсковая часть 09703; РАРАН
Россия

Кисин Юрий Константинович – кандидат технических наук, старший научный сотрудник отдела войсковой части 09703, академический советник РАРАН.

Область научных интересов: определение параметров движения летательных аппаратов по результатам измерений.

г. Северодвинск



Для цитирования:


Кисин Ю.К. О применении алгоритмов на основе метода наименьших квадратов и конечных формул в задачах обработки траекторных измерений. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2016;(3):74-80.

For citation:


Kisin Yu.K. On application of algorithms on the basis of least-square and end formula methods in the trajectory measurement processing problems. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2016;(3):74-80. (In Russ.)

Просмотров: 39


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)