О применении алгоритмов на основе метода наименьших квадратов и конечных формул в задачах обработки траекторных измерений

Постановка задачи и общая схема ее решения

При использовании метода наименьших ква­дратов (МНК) в задачах навигации для опре­деления параметров траектории летательных аппаратов и других подвижных объектов по результатам измерений итерационно реша­ется соответствующая система нормальных уравнений.

Оценка среднеквадратических отклоне­ний параметров траектории подвижных объек­тов проводится автоматически при обращении матрицы системы нормальных уравнений.

Определение опытной траектории МНК по измерениям осуществляется в соответствии с данными [1-5] по формуле:

где  - оценки параметров опытной траектории подвижного объекта на (к + 1)-й и к-й итерациях;

ΔΧ_(к+1) - поправка к параметрам опыт­ной траектории подвижного объекта на (к + 1)-й итерации;

Z(_k) - матрица частных производных от измеряемых параметров по оцениваемым с к-й итерации;

Y - вектор измерений;

- расчетный вектор измеряе­мых параметров, вычисленный по оценке на к -й итерации;

W - обратная матрица к ковариационной матрице ошибок измерений.

Точность опытной траектории определя­ется ковариационной матрицей:

где k соответствует номеру последней итера­ции в формуле (1).

Пусть случайный вектор Χ размерности n функционально связан со случайным векто­ром Y размерности m:

X = F(Y).                                                           (3)

В соответствии с данными работы [1]:

где K_X, K_Y - соответствующие ковариацион­ные матрицы;

- матрица частных производных от оцениваемых параметров по измеряемым па­раметрам.

Формула (4) является точной в случае линейной зависимости.

В задачах при определении параметров траектории вектора X размерности n по резуль­татам измерений вектора Y(X) размерности т, как отмечено выше, универсальным подходом является применение МНК в соответствии с книгами [1-5].

В траекторной задаче [1], в которой изме­ряются дальность, азимут и угол места:

х = d cos γ cos α, y = d sin γ, z = d cos γ sin α, где x, y, z - координаты ЛА;

d, α, γ - дальность, азимут и угол места соответственно, оценка точности определя­емых параметров может быть выполнена по формуле (4).

В работах [1-3] приведены примеры, ког­да оцениваемые параметры определяются по конечным формулам по минимальному набо­ру измеряемых параметров, при этом в явном виде нет функциональной связи вектора X с вектором измерений Y по формуле вида (3) и в данном случае оценка точности опытной траектории по формуле вида (4) невозможна. В качестве примера таких задач навигации мож­но привести определение координат объекта по конечным формулам по трем дальностям от трех маяков [1-3], по трем разностям даль­ностей от четырех маяков [2, 3], по направля­ющим косинусам измеренных с двух фазовых пеленгаторов [1].

Пусть вектор  - оценка опытной траектории алгоритмом по конечным форму­лам по измерениям вектора Y размерности т (например, n = 3 и m = 3), если определяются три координаты траектории по трем разностям дальностей от четырех маяков в соответствии с работами [2, 3].

Для оценки точности (среднеквадратиче­ских отклонений) определения опытной траек­тории предлагается осуществлять стохастиче­ское моделирование следующим образом.

Вычислить расчетный вектор измерений  соответствующий оценке опытной траектории X.

Смоделировать серии измерений

где m - размерность вектора измерений;

i = 1,..., N_ser, N_ser - количество модели­руемых серий измерений;

ε_ij - помеха в i-испытании по j-координате.

Моделирование измерений осуществля­ется путем добавления к расчетным значениям измеряемых параметров случайных помех дат­чиком псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения.

Для каждой серии измерений Y_i опреде­лить по алгоритму конечных формул (оператор A) соответствующую опытную траекторию X_i:

Α: Y_i → X_i.

По сериям смоделированных опытных траекторий осуществить статистическую об­работку для оценки средних квадратичных от­клонений (СКО) координат траектории:

где - оценка СКО j-й координаты траекто­рии (j = 1,..., n).

Алгоритм определения координат по ми­нимальному набору измерений может быть осуществлен и на основе минимизации мето­дом случайного поиска суммы квадратов от­клонений измеренных значений от пробных расчетных значений.

На рис. 1 представлены способы оценки точности навигации по минимальному набору измерений, в том числе и по конечным формулам.

Определение кинематических параметров траектории по угловым измерениям с двух измерительных средств

Рассмотрим задачу определения координат объекта по азимутам и углам места, измерен­ным с двух измерительных средств (ИС) α₁, γ_1; α₂, γ₂ → x, y, z. Данная задача эквивалентна задаче определения координат объекта для двух фазовых пеленгаторов, измеряющих направля­ющие косинусы, в соответствии с работой [1].

Связь измеряемых параметров направля­ющих косинусов cos θ _х, cos θ _z с азимутом и углом места показана на рис. 2, определяем ее по формуле:

Пусть имеются измерения двух пар на­правляющих косинусов cos θ_x1 , cos θ_z1 и cosθ_x2  , cosθ_z2 .

Книга [1] содержит формулы опреде­ления координат объекта для двух фазовых пеленгаторов, измеряющих направляющие косинусы. Координаты ЛА в местной систе­ме координат (МСК) первого ИС могут быть определены по формуле:

Таким образом необходимо определить расстояние между ЛА и точкой стояния 1-го ИС D₁.

Способ решения задачи поясняет рис. 3 [1], на котором показаны углы δ, φ, Ψ, исполь­зуемые в дальнейших расчетах.

Величина D₁ определяется следующим образом:

где b - расстояние между двумя ИС;

b₁⁰ - единичный вектор (показан на рис. 3 и вычисляется в соответствии с работой [1]):

где Ф₁ Ф₂ - матрицы направляющих косину­сов связи МСК измерительных средств с грин­вичской системой координат (ГСК);

На рис. 4 приведены СКО определения координаты x опытной траектории, получен­ной при обработке измерений МНК и по ко­нечным формулам.

Данные рис. 4 показывают хорошее со­гласование двух способов оценки точности (СКО) на основе МНК и стохастического мо­делирования в задаче определения траектории по направляющим косинусам, измеренным с двух фазовых пеленгаторов.

Представляют математический интерес задачи определения параметров траектории по азимуту и углу места, измеренных с одного ИС и одного угла (азимута или угла места) со второго средства.

Как отмечено ранее, решение задачи cosθ_x1,cosθ_z1 ,cosθ_x2 ,cosθ_z2 → х,y,z дано в книге [1].

Формулы связи направляющих косину­сов с азимутом и углом места α₁, γ₁, α₂, γ₂ → cosθ_x1,cosθ_z1 ,cosθ_x2 ,cosθ_z2 задаются соотношением (7). Таким образом, задача определе­ния координат объекта по азимутам и углам места, измеренным с двух ИС α₁, γ₁, α₂, γ₂ → x, y, z решена.

Представляют интерес решения двух за­дач: α₁, γ₁, α₂ → x, y, z и α₁, γ₁, γ₂ → x, y, z.

Рассмотрим решения этих задач с помо­щью трех методов:

• по конечным формулам;
• методом наименьших квадратов;
• алгоритмом случайного поиска мини­мизации суммы квадратов.

Конечные формулы решения задачи α₁, γ₁, α₂ → x, y, z получим путем нахождения ко­ординат точки пересечения луча l₁, определя­емого углами α₁, γ₁ и плоскостью Π_α2 , опреде­ляемой азимутом α₂ и вертикальной осью O₂Y₂ на основе [6-9]. Способ решения указанных двух задач поясняет рис. 5 и 6 соответственно.

Плоскость Π_α2 может быть определена по трем точкам в МСК второго ИС:

M₁ = (x₁,y₁,z₁), M₂ = (x₂,y₂,z₂),  M₃ = (x₃,y₃,z₃),

где x₁ = y₁ = z₁ = 0;

x₂ = cos α₂, y₂ = 0, z₂ = sin α ₂;

x₃ = z₃ = 0, y₃ =1;

Плоскость Π_α2 задается уравнением:

В соответствующем общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 для плоскости Π_α2

A = x₂, B = 0, C = z₂, D = 0.

В МСК первого ИС луч I₁ лежит на пря­мой, задаваемой уравнением в параметриче­ской форме:

В МСК второго ИС уравнение прямой, имеет вид:

где b₁, b₂ - векторы свободных членов для пе­рехода из МСК измерительных средств в ГСК в соответствии с работой [1].

Пересечение луча l₁ с плоскостью П_α2 соответствует параметру:

Координаты объекта определяются по формуле:

г₂ (t₁)= a₂ t₁+ r₀₂ .                                                    (16)

Конечные формулы решения задачи α₁, γ₁, γ₂ → x, y, z будут получены путем нахожде­ния координат точки пересечения луча l₁, опре­деляемого углами α₁, γ₁, и круговым конусом Κ_θ2 вокруг оси O₂Y₂ с углом раствора

Конус K_θ2 задается уравнением:

Условие пересечения прямой линии (14) с конусом (17) определяется уравнением:

Далее параметр t определяется из квад­ратного уравнения:

Координаты объекта определяются по формуле:

Здесь  - корни уравне­ния (19).

По данным расчетной траектории лож­ное второе решение исключаем.

Таким образом, получены конечные фор­мулы определения параметров траектории по азимуту и косинусу, измеренных с одного ИС и одного угла (азимута или угла места) со вто­рого средства. Отметим, что эти формулы, по-видимому, приводятся впервые.

Определение параметров траектории по азимутам и углам места, измеренным с двух ИС, может осуществляться методом наимень­ших квадратов решением задачи минимизации:

где α_ipac, γ_pac - расчетные значения измеряе­мых углов ИС;

i = 1, 2 - номера ИС;

x, y, z - координаты объекта.

Определение параметров траектории по азимуту и углу места, измеренных с одного ИС, и одного угла (азимута или угла места) со второго средства осуществляется решением задачи минимизации (21), в которой отсутствует третье или четвертое слагаемое соответствен­но. Решение задачи (21) осуществляется двумя способами. При первом способе определение параметров траектории осуществляется ите­рационно, на каждом шаге решается система нормальных уравнений [1-6]. Второй способ решения задачи (21) заключается в примене­нии метода случайного поиска для минимиза­ции Ф(х, y, z) [10, 11].

В таблице приведены результаты моде­лирования. Результаты расчетов даны в виде отклонений Δx, Δy и Δz координат опытной траектории от их истинных значений для двух моментов измерений, соответствующих вы­соте объекта 50 и 2 км (номера измерений в таблице). Погрешность измерений принята с СКО σ_α = σ_γ = 10 угл. с. Обработка осуществлена по алгоритмам конечных формул (КФ); минимизацией в МНК суммы квадратов откло­нений измеренных значений от их расчетных величин случайным поиском (СП); МНК.

Данные таблицы отражают приемлемое совпадение оценок в задачах, решаемых раз­личными методами.

Выводы

1. Приведен способ оценки среднеквадрати­ческих отклонений при определении коорди­нат объекта по конечным формулам, по мини­мальному набору измеряемых параметров.
2. Получены конечные формулы для определения параметров траектории по ази­муту и углу места, измеренных с одного ИС и одного угла (азимута или угла места) со вто­рого средства.
3. Математическим моделированием подтверждена работоспособность предлагае­мых алгоритмов.