Помехи от морской поверхности системам ближней электростатической локации

В процессе движения воздушного объекта - но­сителя электростатического локатора (самоле­та, ракеты, снаряда и т. д.) на его поверхности накапливается не скомпенсированный электри­ческий заряд, который возбуждает в окружа­ющем пространстве электрическое поле. Под действием этого поля, а также электрического поля Земли на морской поверхности индуци­руются электрические заряды, создающие в окружающем пространстве вторичное элек­трическое поле (ЭП), которое воспринимается электростатическим локатором (ЭЛ). Вторич­ное поле представляет собой суперпозицию флуктуирующей и регулярной составляющих. Как та, так и другая приводят к маскировке по­лезного сигнала от цели, поэтому актуальной становится задача исследования характеристик вторичного электрического поля над морской поверхностью.

Будем считать, что каждая из сред одно­родна, а граница раздела между ними фикси­рована. Морская поверхность (МП) h(x,y,t) является идеально проводящей, удовлетворяет ограничениям метода малых возмущений [1].

В рамках метода малых возмущений от­ражённое поле рассматривается в виде суммы полей 0-го и 1-го порядков [1]. Тогда потенци­ал вторичного поля φ_z(xy,z) представим в виде суммы полей: основного φ₀(x,y,z), полученно­го при наличии гладкой поверхности раздела (средней плоскости), и возмущённого φ₁(x,y,z), вызванного неровностями МП (деформацией плоскости):

φ_z(x,y,z)=φ₀(x,y,z)+φ₁(xy,z).

Это суммарное поле должно удовлетво­рять граничным условиям, т. е. быть равным 0 на поверхности раздела сред: z = h(x,y,t).

Исходя из этого и зная основное поле φ₀, найдем возмущённое φ₁ как дополнение к основному, обеспечивающее соблюдение гра­ничных условий на шероховатой поверхности. Для этого суммарное поле разложим в ряд по степеням z, ограничимся двумя членами раз­ложения:

или с учётом граничного условия:

Составляющие возмущённого поля в не­посредственной близости от средней плоско­сти (z = 0) равны

Таким образом, мы от деформирован­ной эквипотенциальной морской поверхности h(x,y,t) перешли к не эквипотенциальной пло­скости с распределением потенциала φ₁(x,y,0).

В соответствии с [2] при известном рас­пределении потенциала на плоскости z=0 по­тенциал поля в какой-либо точке M(x_my_m,z_m) в области z > 0 определится через функцию Гри­на для плоского полупространства:

Рассмотрим два предельных случая: ког­да первичное поле (например электрическое поле Земли) равномерно и когда источником первичного электростатического поля является точечный заряд. В соответствии с принципом суперпозиции для источника поля в виде про­извольного распределённого заряда результирующее поле может быть найдено интегри­рованием решения по области распределения источников.

При равномерном первичном поле Зем­ли:

φ_ig (x, y, 0) = -E_gn_gh{x, y) =| E_g | h(x, y), (3)

где E_g - вектор электрического поля Земли, на­правленный в сторону отрицательных z;

n_g - единичный вектор нормали к плоско­сти z = 0, направленный в сторону положи­тельных z.

Подставив (3) в (2) для потенциала флук­туирующей части возмущённого поля, полу­чим

Рассмотрим другой крайний случай - то­чечный источник поля, характеризуемый заря­дом q и размещенный в точке с координатами

(x_T y_T z_T).

Для распределения потенциала, выпол­нив аналогичные преобразования, получим (индекс Т указывает на природу источника поля - «точечный»):

где ε0 = 8,854·10^-12 Ф/м - электрическая по­стоянная.

В общем виде для компоненты электри­ческого поля (как частной производной потен­циала поля, по соответствующей координате взятой с обратным знаком) в точке наблюдения с координатами (x_my_m,z_m) можно записать:

 где E_K - соответствующая компонента вектора электрического поля;

M_K - соответствующий масштабный мно­житель;

g_K(x_m-x, y_m-y, z_m) - некоторая весовая функ­ция.

Индекс K принимает обозначение x, y, z для равномерного поля, для точечного источ­ника к этому индексу добавляется индекс Т.

Из (5) следует, что пространственное рас­пределение той или иной компоненты вектора электрического поля на фиксированной высоте z_m определяется двумерной сверткой функции высот волнового рельефа h (x, y) с соответ­ствующей весовой функцией g_K(x, y). По смыс­лу весовая функция g_K(x, у) является двумер­ной импульсной переходной характеристикой пространственного фильтра - ядром фильтра. На основании правил преобразования Фурье свертка функций в координатной форме ото­бражается в частотном представлении произ­ведением спектров этих функций.

Ядро фильтра g_K(x, у) может быть аппрок­симировано двумерными функциями Гаусса вида exp(-n г²), где n - некоторая константа и введено обозначение r=(x²+y²)/z_m².

Формулы для масштабных множителей Em_K, весовых функций g_K каждой из компонент поля E_k и их аппроксимаций в случае равно­мерного первичного поля и поля возбуждаемо­го точечным источником сведены в табл. 1, 2.

После нахождения компонент вектора ЭП для точечного источника в результате была сделана подстановка x_T = x_m , y_T=y_m, z_T = z_m (ре­гистрация возмущённого поля осуществляется локатором, который и является одним из источ­ников первичного поля).

Для примера на рис. 1 приведена характе­ристика ядра фильтра g_TT (сплошной линией) и её аппроксимация функцией Гаусса (точками).

Частотная характеристика простран-ственного фильтра может быть найдена как двумерное преобразование Фурье от ядра:

где η_x=2π/λ_x, η_y=2π/λ_y, λ_x, λ_y - значения про­странственных длин волн вдоль осей x, y со­ответственно.

Выполнив интегрирование, получим про­странственные частотные характеристики двух видов:

• для пространственного фильтра опреде­ляющего спектр x и y (горизонтальных) компо­нент электрического поля

• и для пространственного фильтра определя­ющего спектр z (вертикальной) компоненты электрического поля

В зависимости от источника первично­го поля и рассматриваемой компоненты ЭП в формулы (6) и (7) следует подставить со­ответствующее значение коэффициента n из табл. 1, 2.

Пространственные фильтры обладают явно выраженными фильтрующими свойства­ми. На рис. 2 приведено сечение нормирован­ной к максимуму частотной характеристики W_z(η_x, η_y плоскостью η_y, = 0 для n = 4 в функции b = z_m / λ - отношения высоты полёта к длине волны.

Из рис. 2 видно, что составляющие спек­тра высот морской поверхности, имеющие длину волны меньшую, чем полторы высоты полёта локатора, практически не участвуют в формировании флуктуирующей составляющей электрического поля. Для морского волнения флуктуирующая составляющая поля опреде­ляется крупными составляющими морских волн, т. е. теми спектральными составляющи­ми спектра высот морской поверхности, кото­рые обладают наибольшей энергией.

Для двумерного энергетического спектра составляющих электрического поля на высоте z_m получим:

где  -  двумерный  энергетический спектр высот морского волнения.

Проведем оценку погрешности расчёта по приведенным формулам (при разложении поля источников в ряд мы ограничились дву­мя членами). Рассмотрим морское волнение в виде детерминированной «гофрированной» поверхности, описываемой формулой:

h(x,y) = H cos(η_x x)                                                                            (9)

где H - амплитуда волны.

В качестве источника поля будем рассма­тривать точечный заряд.

Подставим (9) в (5), учтём масштабный множитель и аппроксимацию ядра простран­ственного фильтра по табл. 2 и, выполнив ин­тегрирование, для вертикальной составляющей ЭП получим:

Пусть пространственная длина волны λ_x значительно больше высоты полёта z_m на­столько, что экспоненциальный множитель в (10) обращается в единицу. С другой стороны, движение точечного заряда над гармонической поверхностью, длина волны которой в преде­ле стремится к бесконечности, эквивалентно движению точечного заряда над плоской по­верхностью с переменной высотой полёта. Гра­ничные значения высоты полёта принимают значения z_m+H и z_m - H. Амплитуда поля найдет­ся как половина разности полей, отражённого в плоскости точечного заряда, для граничных значений высот полёта:

Сравнивая амплитуды полей точного (11) и приближённого (10) результатов для относи­тельной погрешности, можно записать:

где z₀=z_m/H - отношение высоты полёта к ам­плитуде гармонической морской волны.

График относительной погрешности в функции z_o приведён на рис. 3.

Средняя высота волны случайного мор­ского волнения, отсчитываемая от подошвы до гребня волны, примерно в 3 раза меньше вы­соты волны с максимальным размахом. Можно считать, что относительная высота полёта ЭЛ во всех практически значимых случаях превы­шает 3 (ЭЛ при движении не имеет касания с морской поверхностью) и предельное значение погрешности расчёта по полученным форму­лам не превышает 20 %.

Для получения численных оценок энер­гетического спектра электрического поля не­обходимо в (8) задать двумерный спектр мор­ского волнения.

Для математического описания спектра морского волнения предложено большое коли­чество аналитических аппроксимаций, обзор которых подробно представлен в [3]. Достаточ­но полно, как экспериментально, так и теорети­чески, исследован частотный энергетический спектр морского ветрового волнения, характе­ризующий распределение энергии между эле­ментарными волнами в фиксированной точке поверхности.

В основном аппроксимация частотного энергетического спектра осуществляется по формуле Барлинга:

Спектр по пространственным частотам в направлении генерального бега морских волн получается из (13) с учётом дисперсионного соотношения [3], которое связывает периоды, частоты колебаний, длины волн и волновые числа элементарных плоских волн со скоро­стью их распространения:

где η=ω²/g;

g - ускорение свободного падения.

Для примера, приведем значения пара­метров широко применяемых аппроксимаций спектра высот морского волнения:

• по Нейману: A=3,05π/2, B=2(g/V)², k=6, m=2;
• по Пирсону - Масковицу: A=1,62-10^-2g², B=0,74(g/V)², k=5, m=4, где V - средняя скорость ветра.

В настоящее время нет общепризнанных выражений для двумерного спектра, получен­ных аналитическим путём. Часто используе­мой и удобной аппроксимацией двумерного спектра волнения является представление его в виде функции [3] с разделяющимися перемен­ными в полярной системе координат:

S_h(η,θ)=S_h(h)cos² (θ)/π,                                                            (15)

где θ - угол между направлением генерального бега волн и направлением сечения двумерного спектра.

Переход от прямоугольной системы ко­ординат к полярной в (8) осуществляется из­вестными способами на основе соотношений η_x=ηcos(θ), η_y=ηsin(θ) (модуль якобиана ра­вен η).

Двумерный энергетический спектр со­ставляющих электрического поля на высоте z_m в координатах (η, θ) определится по формуле:

Для задач электростатической локации воздушных объектов представляет интерес спектр электрического поля вдоль заданного фиксированного направления, совпадающего с направлением полёта ЭЛ. Если заданное на­правление образует с осью OX угол ψ, то по­лучение одномерного спектра в этом направле­нии сводится к переходу в двумерном спектре (16) к новым переменным η_ν, θ и интегрирова­нию по всем значениям угла θ:

В процессе движения ЭЛ простран­ственные флуктуации ЭП преобразуются во временные. Если скорость полёта ЭЛ равна v_r, то можем получить энергетический спектр временных флуктуаций напряженности элек­трического поля по временным частотам ω пу­тём замены переменных (h_v=w/v_r) в (17):

Полученные результаты можно распро­странить и на некоторые естественные покро­вы земной поверхности (с соответствующей заменой спектра морского волнения на спектр высот земных покровов), многие из которых в основном удовлетворяют ограничениям метода малых возмущений.

В ряде случаев формула (5) позволяет провести приближённый расчёт сигналов ЭЛ (когда получение точного решения электро­статической системы не представляется воз­можным) при пролёте границы лес - поле, при пролёте вблизи кораблей и т. д.

Для примера на рис. 4 приведены ре­зультаты расчёта энергетического спектра временных флуктуаций вертикальной состав­ляющей электрического поля SE_z(w,z_m) для двух высот полёта z_m - 5 и 10 м. При расчёте была использована аппроксимация спектра высот морской поверхности Пирсона - Масковитца. Скорость ветра V = 10 м/с (что соот­ветствует волнению 5 баллов), электрический заряд носителя ЭЛ q = 10^-5 Кл, скорость полёта носителя v_r = 1000 м/с, ψ = 0.

Среднеквадратическое отклонение элек­трического поля составило 84 В/м (при высо­те полёта 5 м) и 9 В/м (при высоте полёта 10 м), центр тяжести спектра был равен соответственно 25 и 20 Гц.

Следует отметить, что при не горизон­тальном полёте (при изменении высоты z_m от времени) флуктуации приобретают нестацио­нарный характер.

Выводы

1. Спектр составляющих возмущённого элек­трического поля над морской поверхностью может быть найден как результат двумерной фильтрации спектра высот морской поверх­ности.
2. При 3D моделировании морской по­верхности и численном расчёте временной реализации составляющих возмущённого элек­трического поля область интегрирования мо­жет быть ограничена участком поверхности, примерно равным двум высотам полёта ЭЛ.
3. Спектр составляющих возмущённого электрического поля над морской поверхно­стью в основном определяется крупными со­ставляющими морского волнения, простран­ственная длина волны которых превышает высоту полёта ЭЛ.
4. При малых высотах полёта (5...15 м) помеха от морской поверхности превышает по­меху от атмосферного электричества (не пре­вышающую единиц В/м) и приводит к умень­шению дальности действия ЭЛ.