Математическое моделирование работы ракетного двигателя со сложносоставным секционным зарядом

В отрасли ракетно-космической техники по­стоянно ведутся работы по совершенствова­нию облика ракетных двигателей на твердом топливе (РДТТ), внедряются новые технические решения тепловой защиты газового трак­та РДТТ, оптимизации конструкции РДТТ, создания нескольких последовательно сменя­ющих друг друга режимов работы давления и тяги в одном двигателе. Все это влечет за собой необходимость создания методики рас­чета внутрибаллистических характеристик (ВБХ) со сложносоставным секционным за­рядом (ТРТ). Разработка такой методики сво­дится к решению двух основных задач: опре­деление поверхности горения зарядов при плотной стыковке их торцов и расчет ВБХ с учетом горения двух зарядов с разными ха­рактеристиками в одной камере сгорания.

Определение поверхности горения

Задача определения поверхности горения двух плотно прилегающих друг к другу заря­дов с разными скоростями горения не подда­ется расчету существующими программными средствами. По мере выгорания основного заряда, имеющего более высокую скорость горения, поверхность низкоскоростного заря­да, прилегающая к основному, вскрывается с опережением относительно скорости горения самого заряда, образуя дополнительный го­рящий участок. Потребовалась специальная модель, в которой бы учитывалась постоянно вскрывающаяся поверхность горения. Поверхность горения высокоскоростного заряда рассчитывается с помощью имеющихся про­граммных средств [1]. На рис. 1 изображена модель расчета поверхности горения высоко­скоростного заряда. В данном случае негоря­щими являются наружная (на рисунке - верх­няя) и правая торцевая поверхности, осталь­ные - горящие.

Чтобы учесть постоянно вскрывающу­юся дополнительную поверхность горения у низкоскоростного заряда, была достроена до­бавочная часть заряда. В сечении она имеет форму прямоугольного треугольника (рис. 2). Один из катетов равен своду, закрытому вы­сокоскоростным зарядом, который будет по­степенно вскрываться. Угол α определяется по формуле

cos(α) = u_нс/u_вс,

где u_нс - скорость горения низкоскоростного топлива при стационарном давлении P^*, мм/с;

u_вс - скорость горения высокоскоростного то­плива при стационарном давлении P^*, мм/с.

Гипотенуза треугольника при повороте вокруг оси вращения заряда образует горя­щую поверхность в форме усеченного конуса. Чтобы не учитывать дополнительную массу и поверхность горения на самой добавочной части, в программе расчета поверхности за­даются границы расчета по длине низкоско­ростного заряда.

Указанное изменение формы заряда с введением границ расчета позволило исполь­зовать существующие программные средства для решения поставленной задачи.

Математическая модель горения двухсоставного заряда

Данная модель разработана на основе извест­ной модели горения односоставного заряда путем ее обобщения для случая горения двух составов топлива в одной камере сгорания [2].

Гипотезы математической модели и ис­ходные данные. Чтобы описать процессы в камере сгорания системой относительно про­стых дифференциальных уравнений (ДУ), необходимо принять следующие гипотезы:

• свойства топлив изотропны и однород­ны по всему объему каждого заряда;
• газовый поток и параметры в камере сгорания однородны по всему ее объему;
• эрозионное горение отсутствует;
• теплообмен со стенками камеры сго­рания отсутствует (идеальное теплозащитное покрытие);
• горение каждого топлива однородно, фронт горения направлен перпендикулярно поверхности горения.

Перед началом решения должны быть известны значения следующих величин:

• термодинамических характеристик всех газов (воздуха, продуктов сгорания вос­пламенителя и топлив): показателя адиабаты, изобарных и изохорных теплоемкостей, энтальпии, газовых постоянных, температуры горения (за исключением воздуха);
• коэффициента истечения продуктов сгорания (aA);
• зависимости поверхностей горения от свода;
• радиуса критического сечения;
• давления вылета заглушки;
• скорости разгара критики;
• скорости горения всех составов;
• плотности топлив.

Система уравнений. Если принять во вни­мание приведенные выше предположения, математическая модель поставленной задачи представляет собой систему ДУ горения, сохранения массы, энергии и импульса:

где e_i - выгоревший свод i-го топлива, м;

t - время, с;

u_i(P) - скорость горения i-го топлива при текущем давлении P, мм/с.

Данное уравнение записывается для каж­дого заряда и для воспламенителя.

Масса газов в камере сгорания складыва­ется из массы воздуха, заполнявшего свобод­ный объем камеры сгорания до начала работы, масс продуктов сгорания топлив и воспламе­нителя. Текущая масса газов в камере сгорания определяется разностью газового прихода (G_t) и газового расхода (G) в камере сгорания.

Изменение массы воздуха равно произ­ведению общего секундного расхода и кон­центрации воздуха в объеме камеры сгорания (КС):

Здесь М_возд - масса воздуха, кг;

P(t) - давление в камере сгорания в теку­щий момент времени, Па, P (t) = (k_см(t) -1) х U (t ) / V (t), (где k_см - показатель адиабаты сме­си,(Cp_i - изо­барная теплоемкость i-го топлива, Дж/кг · К; Cv_i - изохорная теплоемкость i-го топлива, Дж/кг · К; U(t) - внутренняя энергия газов в камере, Дж; V(t) - свободный объем камеры, м³);

F_Kp(t) - площадь критики (с учетом эрозии критического сечения), см², F_Kp(t) = π(r₀ + u_унt )² (где r₀ - начальный радиус критического сече­ния, мм; u_ун - скорость уноса материала крити­ческого сечения, мм/с); M - суммарная масса газов, кг, M = М_возд+ΣM_i + М_в.

Газовый приход от i-го топлива (в том числе и от воспламенителя) определяется по формуле

где γ_i - плотность i-го топлива, кг/м³;

S_i(e_i) - зависимость поверхности горения i-го заряда от свода, м².

Массовый расход равен:

Таким образом, прирост массы продук­тов сгорания i-го топлива в камере сгорания можно вычислить, решив ДУ:

ДУ сохранения энергии представляет со­бой следующее выражение:

где j_Ti - энтальпия соответствующего состава, Дж/кг.

Изменение свободного объема камеры определяется по формуле

Таким образом, получаем систему урав­нений:

Система обыкновенных ДУ в описывае­мой методике решается методом Эйлера в ма­тематическом пакете MathCAD Prime 3.0 [3].

Начальные условия. Для решения описанной системы обыкновенных ДУ необходимо задать начальные условия. Начальные своды зарядов и воспламенителя, начальные массы продуктов сгорания равны нулю: e_i(O) = 0, M_i(O) = 0.

Начальная энергия системы определяет­ся выражением

U(0) = P_hV₀ / (k_возд - 1),

где P_h - давление в камере до начала работы.

Начальный свободный объем камеры ра­вен разности внутреннего объема корпуса до сопловой заглушки и суммы начальных объе­мов зарядов и воспламенителя:

V(0) = V_корп  - ΣV_{зар i.}

Верификация модели

Сравнение с другими расчетными програм­мами. Математическая модель, позволяющая рассчитать ВБХ сложносоставного РДТТ, была реализована в программе MathCADPrime 3.0. Для проверки достоверности получаемых с ее помощью результатов был проведен расчет характеристик составного РДТТ с зарядами из одного состава ТРТ. Параллельно с этим был проведен расчет этого же РДТТ в САПР, используемой НПО «Искра». Схема тестового двигателя изображена на рис. 3.

Результаты, полученные при расчетах в САПР, используемой в НПО «Искра», и в разработанной программе, имеют достаточно близкие значения, что подтверждает правильность разработанной методики (рис. 4).

Расчет экспериментальной установки. На следующем этапе было произведено сравнение результатов расчета с экспериментальными данными. Экспериментальная двигательная установка представляет собой камеру сгора­ния, в которой размещены два заряда ТРТ. Основной заряд имеет высокие энергетиче­ские характеристики, при этом температура его продуктов сгорания также высока. При сгорании низкотемпературного заряда созда­ется пристеночный слой, способный защитить стенки газового тракта от воздействия высоко­температурных продуктов сгорания основного заряда. В то же время основной заряд служит для обеспечения высоких удельных энергети­ческих характеристик. Схема заряда приведе­на на рис. 5.

В результате расчета получена диаграм­ма «давление - время» при заданных значени­ях исходных параметров (рис. 6).

Видно, что расчетная диаграмма доста­точно точно описывает экспериментальную кривую «Давление - время», что подтверждает верность методики расчета.

Выводы

Разработана методика расчета ВБХ ракетного двигателя, снаряженного сложносоставным секционным зарядом ТРТ. Данная методи­ка предполагает возможность расчета ВБХ с учетом использования нескольких различ­ных составов в одном ракетном двигателе. Методика реализована с помощью математи­ческого пакетаMathCADPrime 3.0.

Проведена верификация модели путем сравнения полученных результатов с резуль­татами расчета в САПР, используемой для рас­четов в НПО «Искра».

Произведен расчет экспериментальной установки. Сравнение полученных результа­тов с результатами огневых стендовых испыта­ний подтвердило, что данные, полученные в раз­работанной с применением MathCAD Prime 3.0 программе, достоверны с достаточной для про­ведения технической оценки точностью.

Создано методическое пособие, описы­вающее математическую модель задачи и ее реализацию вMathCADPrime 3.0.