Разработка методического и программного обеспечения обработки информации и экспериментальной оценки точности измерительной системы «Сажень-ТА»

Введение

С введением в состав измерительного комплек­са траекторной системы «Сажень-ТА» актуаль­ной задачей является разработка методическо­го и программно-математического обеспечения (ПМО) обработки и экспериментальной оцен­ки точности измерений данной системы.

Система «Сажень-ТА» из двух комплек­тов размещается в районе стартовых позиций для измерений на начальном участке полета летательного аппарата (ЛА). В оптическом и инфракрасном диапазоне измеряются азимут и угол места. Рассматриваются задачи опре­деления координат траектории ЛА по угло­вым измеряемым параметрам и оценки точно­сти получаемой траектории. Программное обеспечение разработано на алгоритмичес­ких языках программирования PASCAL, C#, что позволяет адаптировать его применение к операционной системе ОС МСВС, принятой и внедряемой в Вооруженных Силах Россий­ской Федерации.

Содержание статьи определяется акту­альностью задачи определения точности сис­темы «Сажень-ТА» при работе измерительно­го комплекса в условиях морского полигона. С учетом объектов летных испытаний осущес­твляется выбор эталонных средств, по кото­рым проводится экспериментальная оцен­ка точности системы «Сажень-ТА». Данная задача экспериментальной оценки точности потребовала на первом этапе разработки ме­тодического и программного обеспечения об­работки информации системы «Сажень-ТА» по определению экспериментальной траекто­рии и на втором этапе создания соответству­ющих алгоритмов и программ определения экспериментальной точности измерительной системы «Сажень-ТА».

Алгоритмы определения траектории летательного аппарата конечным методом и методом наименьших квадратов по информации системы «Сажень-ТА»

Задача определения координат траектории осу­ществляется по двум измерительным сред­ствам методом наименьших квадратов (МНК) [1] и конечным методом по пересечению двух лучей, определяемых измеряемыми азимута­ми и углами места двух систем «Сажень-ТА» в соответствии с [1-3].

Рассматривается задача (α₁, γ₁, α₂, γ₂) → (x, y, z) – определения координат летательного аппарата (ЛА) по азимутам и углам места, из­меренным с двух систем «Сажень-ТА». Данная задача, как отмечено в [2, 3], эквивалентна за­даче определения координат ЛА для двух фазо­вых пеленгаторов, измеряющих направляющие косинусы, которая рассмотрена в известной монографии по методам статистической обра­ботки траекторных измерений [1].

Связь направляющих косинусов (cos θ_x, cos θ_z) с азимутом и углом места (α, γ) [2, 3] определяется формулой:

cos θ_χ = sin γ · cos α,                                             (1)

cos θ_z = sin γ · sin α,

B [1] есть формулы определения коор­динат объекта для двух фазовых пеленгато­ров, измеряющих направляющие косинусы.

Координаты ЛА в местной системе координат (МСК) 1-го измерительного средства (ИС) мо­гут быть определены по формуле:

Таким образом, необходимо определить величину D₁ - расстояние между ЛА и точкой стояния 1-го ИС.

Способ решения задачи поясняет рису­нок 1 [1], на котором показаны углы δ, φ, ψ, используемые в дальнейших расчетах.

На рисунке 1 введены следующие обозначения: O₁X₁Y₁Z₁ и O₂X₂Y₂Z₂ МСК двух измерительных средств с номерами 1 и 2. Точки O₁ и O₂ - места расположения измери­тельных средств. Точка S - текущее местопо­ложение ЛА.

Рис. 1. Определение координат ЛА по двум измерительным средствам

Величина D₁ определяется следующим образом:

где b - расстояние между двумя ИС, b₁⁰ - еди­ничный вектор (показан на рисунке 1 и вычис­ляется в соответствии с [1]). Углы треугольни­ка O₁O₂S определяются из соотношений:

где Φ₁, Φ₂ - матрицы направляющих косинусов для перехода из МСК измерительных средств в гринвичскую систему координат (ГСК) [1]; D⁰₁ = (cos θ_χ1, cos θ_y1, cos θ_z1), D2 = (cos θ_χ2, cos θ_y2, cos θ_z2).

Системы координат ГСК и МСК опреде­ляются в соответствии с [1, с. 194, 198].

Геоцентрическая относительная (грин­вичская) система координат (ГСК) - пря­моугольная трехмерная система координат OX_гY_гZ_г, начало которой расположено в цен­тре земного эллипсоида, ось OX_r которого рас­положена в плоскости экватора и направлена в сторону нулевого (гринвичского) меридиана, ось OZ_r направлена по оси вращения Земли в сторону Северного полюса, ось OY_r допол­няет систему координат до правой.

Местная система координат (МСК) - прямоугольная трехмерная система координат OX_мY_мZ_м связанная с поверхностью Земли, начало которой расположено в точке с геоде­зическими координатами: В_м (геодезическая широта), L_M (геодезическая долгота), h_M (вы­сота над поверхностью земного эллипсои­да); ось OY_м направлена по внешней нормали к поверхности земного эллипсоида; ось OX_м лежит в плоскости, касательной к земному эллипсоиду в точке O, и составляет с плос­костью меридиана начала системы координат угол А_м (геодезический азимут), отсчитыва­емый от направления на север по часовой стрелке; ось OZ_м дополняет систему коорди­нат до правой.

Для МСК системы «Сажень-ТА» А_м = 0.

Формулы связи направляющих косину­сов с азимутом и углом места (α₁, γ₁, α₂, γ₂) → (cos  θ_x1, cos θ_z1, cos θ_x2, cos θ_z2) задаются соот­ношением (1).

Таким образом, задача (α₁, γ₁, α₂, γ₂) → (x, y, z) определения координат объекта по ази­мутам и углам места, измеренным с двух изме­рительных средств, тоже решена. Выходными результатами являются параметры траектории в ГСК.

Определение параметров траектории по азимутам и углам места, измеренным с двух измерительных средств, осуществляет­ся и МНК в ГСК.

Решение задачи МНК осуществляется итерационно, на каждом шаге решая систему нормальных уравнений [1, 4, 5].

Для каждого момента времени измере­ний итерационным способом осуществляется определение оцениваемых координат траекто­рии по формуле:

где Xˆ_(k+1), Xˆ_(k) - оценки координат траектории в ГСК на итерациях к + 1 и к;

ΔΧ_(k+1) - поправка к параметрам траектории на итерации к + 1;

A_(k) - матрица частных производных от из­меряемых параметров двух ИС по оценива­емым параметрам траектории в ГСК с к-той итерации;

H - вектор измерений (измеряемые пара­метры (α_1, γ₁, α₂, γ₂);

Y(Xˆ_(k)) - вектор измеряемых параметров, вычисленный по оценке координат на к-той итерации;

W - обратная матрица к ковариационной матрице ошибок измерений K_y;

K_y - диагональная квадратная матрица 4-го порядка с дисперсиями паспортных погрешно­стей системы «Сажень-ТА» на диагонали.

Начальное приближение Xˆ₍₀₎ задается по данным априорной расчетной траектории.

Матрица частных производных от изме­ряемых параметров двух ИС по оцениваемым параметрам траектории в ГСК имеет блочный вид:

где A₁, A₂ - соответствующие матрицы част­ных производных для первого и второго ИС.

При этом каждая из указанных матриц имеет вид:

где B - матрица частных производных от изме­ряемых параметров по параметрам траектории в МСК (опуская индекс номера ИС);

Ф - матрица направляющих косинусов связи МСК ИС с гринвичской системой коор­динат [1];

x, y, z - координаты ЛА в МСК.

Элементы матрицы B вычисляются по формулам:

При вычислении расчетных значений элементов вектора измеряемых параметров Y(X(k)) по координатам на k-той итерации ази­мут и угол места для каждого ИС определя­ются по формулам, опуская индекс итерации:

где x, y, z - координаты ЛА в МСК (для дан­ного ИС).

При вычислении арктангенса применя­ется соответствующая процедура языка про­граммирования, определяющая угол в интер­вале (0,2π).

При проведении расчетов следует учи­тывать возможный переход для расчетного значения азимута из I четверти в IV четверть и наоборот.

Переход в измеряемых параметрах от азимута и угла места к параметрам в виде направляющих косинусов по формуле (1) поз­воляет работать с непрерывными функциями и ослабить требования к начальному прибли­жению в итерационном процессе. В програм­мах реализована обработка обоих видов изме­ряемых параметров.

Точность параметров траектории дви­жения ЛА определяется ковариационной мат­рицей:

где к соответствует номеру последней итера­ции в формуле (6).

Рассмотренные методы определения па­раметров траектории по угловым измерениям применимы как для активного, так и для пас­сивного участков полета ЛА.

Возможно также определение парамет­ров траектории ЛА по результатам измере­ний только одной системы «Сажень-ТА» - как координат точки пересечения луча, определяемого азимутом и углом места с плос­костью полета ЛА. Данный способ применим на участке измерений, где параметры траек­тории находятся «почти» в одной плоскости. Для поиска участков траектории, располо­женных в «почти» одной плоскости, приме­няется специальная процедура. В указанной процедуре по трем выбранным точкам траек­тории определяется плоскость и вычисляют­ся расстояния от остальных точек траектории до выбранной плоскости. Если для всех точек выбранного участка траектории вычислен­ные расстояния не превосходят малое число ε, то точки траектории находятся «почти» в од­ной плоскости. Число ε выбирается на уровне погрешностей определения параметров траек­тории МНК по двум измерительным средствам в соответствии с матрицей K_x.

На этапе моделирования расчеты по вы­бору участков траектории, точки которого на­ходятся «почти» в одной плоскости, осущес­твляются по расчетной траектории. Расчетная траектория выдается разработчиком ЛА. Пара­метры данной траектории при моделировании принимаются за истинные значения.

Пусть имеется участок точек траектории, расположенных «почти» в одной плоскости, и на данном участке имеются измерения по од­ной системе «Сажень-ТА». Конечные форму­лы решения задачи определения траектории по одной системе «Сажень-ТА» будут полу­чены нахождением координат точки пересе­чения луча (l₁), определяемого углами (α₁, γ₁) и плоскостью.

Плоскость может быть определена по трем точкам в ГСК: M₁ = (X₁, y₁, Z₁), M₂ = (X₂, y₂, Z₂), M₃ = (X₃, y₃, Z₃).

В общем уравнении плоскости A · x + B · y + C · z + D = 0 коэффициенты плоскости определяются в соответствии с уравнением (8) [6, 7]:

В МСК первого измерительного средства луч (l₁) лежит на прямой, задаваемой уравне­нием в параметрической форме:

B ГСК уравнение прямой луча (l₁), име­ет вид:

свободных членов для перехода из МСК в ГСК.

Пересечение луча (l₁), задаваемого урав­нением (10), с плоскостью (П) соответствует параметру t₁:

Координаты ЛА в ГСК определяются по формуле:

Способ решения задачи по определению координат траектории ЛА на участке поле­та, точки которого находятся «почти» в од­ной плоскости, по данным с одного (первого или второго) комплекта системы «Сажень-ТА» поясняет рисунок 2.

На рисунке 2 введены следующие сок­ращения и обозначения: ОИС-1 - оптиче­ское измерительное средство с номером 1 и O₁X₁Y₁Z₁ - МСК данного измерительного средства; ССК - стартовая система координат, O_cX_cY_cZ_c - начало и оси ССК, M₁, M₂, M₃, M₄ - точки в которых получены угловые измерения азимута и угла места: (α₁, γ₁, α₂, γ₂, α₃, γ₃, α₄, γ₄).

На рисунках 3-5 приведены отклонения координат ЛА, определенных тремя методами от эталона. По горизонтальной оси представ­лены номера измерений (и на всех других ри­сунках), по вертикальной оси представлены отклонения координат ЛА в км.

Графики рисунков 3-5 показывают прак­тическое совпадение определения траектории МНК и пересечением лучей по двум системам «Сажень-ТА» и приемлемую точность опре­деления траектории по одной системе «Са- жень-ТА» на «почти» плоском участке полета.

На рисунке 6 приведены расстояния в метрах до плоскости от текущих точек тра­ектории при определении координат траекто­рии ЛА на «почти» плоском участке полета.

На рисунке 7 приведены угол между лу­чом и плоскостью и угол пересечения лучей в градусах. Если угол между лучом и плос­костью близок к нулю, то в этом случае погрешность определения траектории по одной системе «Сажень-ТА» будет большая. В дан­ном случае задача определения траектории по измерениям в одной системе «Сажень-ТА» плохо наблюдаема [1, 4, 5]. Угол пересечения лучей (линий визирования) двух систем «Сажень-ТА» рекомендуется в руководстве по экс­плуатации обеспечивать более 10 градусов.

Разработка методического и программного обеспечения экспериментальной оценки точности измерительной системы «Сажень-ТА»

Эффективность разработанного методическо­го и программного обеспечения оценивается на основе математического моделирования. Экспериментальная оценка точности осущес­твляется на уровне измеряемых параметров (азимут и угол места) системы «Сажень-ТА» и экспериментальных параметров траекто­рии, определяемых по информации системы «Сажень-ТА» в соответствии с алгоритмами первого раздела.

При математическом моделировании за истинную траекторию принимается рас­четная траектория. По данной траектории мо­делируются угловые измерения двух систем «Сажень-ТА» с внесением случайных оши­бок «измерений» датчиком псевдослучайных чисел с нормальным законом распределения с СКО, соответствующим паспортным величи­нам для оптического канала - 5 угловых се­кунд, для инфракрасного канала - 10 угловых секунд (с данным уровнем СКО проведены все расчеты по моделированию).

Методика оценки точности измерений с применением эталонного измерительного средства осуществляется в соответствии с [1, гл. 6]. Моделирование эталонной траектории осуществляется внесением случайных ошибок в расчетную траекторию датчиком псевдослу­чайных чисел с нормальным законом распре­деления с СКО, соответствующими данным ковариационной матрицы по результатам об­работки информации АПСН. По данным эта­лонной траектории рассчитываются угловые измеряемые параметры систем «Сажень-ТА».

Вычисляется вектор случайного процесса:

где  -  измеренный   и   эталонный век­тор соответственно, t_i –  момент времени изме­рений, i - номер измерения, j - номер сеанса измерений.

Составляющие векторов в (13) соот­ветствуют угловым измерениям (α₁, γ₁, α₂, γ₂) или координатам экспериментальной траекто­рии (x, y, z).

На рисунке 8 приведена реализация слу­чайного процесса отклонений эксперимен­тальных параметров траектории по МНК по информации двух измерительных средств от эталонных данных в километрах.

На рисунке 9 приведена реализация слу­чайного процесса отклонений измерений двух систем от эталонных данных в угловых секундах.

Графики рисунка 9 показывают, что «слу­чайные ошибки» смоделированных угловых измерений в данной реализации для двух из­мерительных систем не превосходят трех СКО паспортных величин для инфракрасного кана­ла - 10 угловых секунд, даже с учетом погреш­ностей эталонной траектории.

Исследование случайных процессов  осуществляется, как и в [1, гл. 6], в пред­положении, что данные процессы стационар­ные и эргодические и оценка статистических характеристик проводится в рамках одной реа­лизации, поэтому далее индекс j (номер сеанса измерений) опускается.

Оценка статистических характеристик проводится на уровне оценок математического ожидания и СКО.

Случайные процессы  представ­ляются в виде трех составляющих медлен­но меняющихся (систематических) ошибок (ММО) и быстро меняющихся (случайных) ошибок (БМО), а также погрешностей эталон­ных данных:

Далее предполагается, что по норме для векторов погрешностей выполняется усло­вие  и погреш­ностью эталонных данных можно пренебречь.

Оценка  осуществляется аппрок­симацией экспериментальных данных по МНК алгебраическими полиномами или ортогональ­ными полиномами Чебышева [1, 8].

Сглаживание осуществляется независи­мо по каждой координате вектора .

Моделирование введения медленно ме­няющихся ошибок  осуществляется по угловым измерениям по формулам вида:

где v - коэффициент линейного изменения ММО, задается в программе моделирования.

Влияние систематических ошибок по уг­ловым измерениям на определение параметров траектории осуществляется после проведе­ния обработки по алгоритмам первого раздела сравнением с параметрами траектории без сис­тематических ошибок в угловых измерениях.

Выделение медленно меняющихся оши­бок в реализации случайного процесса осущес­твляется аппроксимацией ортогональными полиномами Чебышева 3-й степени с примене­нием программного комплекса WinLTX, разра­ботанного НИЦ ЭТУ СПб.

Результаты моделирования представлены в километрах на рисунке 10.

Графики рисунка 10 показывают суще­ственное влияние на экспериментальную траек­торию систематических погрешностей измере­ний и эффективное выделение систематических погрешностей аппроксимацией отклонений между измеренными и эталонными данными ортогональными полиномами Чебышева.

На рисунке 11 приведены в километрах средние квадратичные отклонения (СКО) экс­периментальных параметров траектории МНК по дисперсиям ковариационной матрицы K_x в соответствии с (7).

Графики с обозначениями CKO X 2ИС, CKO Y 2ИС, CKO Z 2ИС соответствуют СКО, получаемым при обработке двух измеритель­ных средств.

Сравнение графиков на рисунках 11 и 8 показывает что «случайные ошибки» экспери­ментальной траектории в данной реализации

не превосходят трех СКО экспериментальных параметров траектории по МНК, даже с учетом погрешностей эталонной траектории.

В таблице 1 приведена оценка математи­ческого ожидания и СКО в метрах быстро ме­няющихся (случайных) ошибок определения экспериментальной траектории по эталонным данным.

Данные в таблице 1 согласуются с ре­зультатами обработки измерений МНК с уче­том погрешностей «эталонной» траектории.

При обработке реальной информации экспериментальная оценка точности системы «Сажень-ТА» осуществляется применением в качестве эталона данных АПСН.

Выводы

1. Разработаны алгоритмы и программы определения экспериментальных параметров траектории летательного аппарата по азиму­ту и углу места, измеренных системой «Сажень-ТА».
2. Разработано методическое и про­граммное обеспечение экспериментальной оценки точности измерительной системы «Сажень-ТА» с применением эталонных данных аппаратуры спутниковой навига­ции.
3. Математическим моделированием подтверждена работоспособность предлагае­мых алгоритмов.