Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Применение методов условной многомерной минимизации к задаче расчета траектории баллистической ракеты

Полный текст:

Аннотация

Рассмотрена задача расчета приблизительной траектории баллистической ракеты, обеспечивающего попадание ракеты из заданной точки старта в точку финиша и охватывающего весь диапазон дальностей для ракет рассматриваемого типа. Траектория ракеты задана системой нелинейных дифференциальных уравнений. Достижение различной дальности обеспечено изменением начальных значений угла наклона траектории и времени работы ступеней. В связи с физическим смыслом на эти переменные наложены ограничения. Решена задача многомерной условной минимизации методом барьерных функций с минимизацией методом Нелдера - Мида

Для цитирования:


Дубровина А.А. Применение методов условной многомерной минимизации к задаче расчета траектории баллистической ракеты. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(3):59-62.

For citation:


Dubrovina A.A. Application of methods of conditional multidimensional minimization to the ballistic trajectory calculation problem. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2017;(3):59-62. (In Russ.)

Введение

В данной статье поставлена задача рассчитать приблизительную траекторию баллистиче­ской ракеты, обеспечивающую попадание из заданной точки старта в точку финиша, охва­тив весь диапазон дальностей для ракеты рас­сматриваемого типа.

В качестве примера выбрана межкон­тинентальная баллистическая ракета (МБР) с диапазоном дальностей от 5000 км до 10 000­13 000 км (в зависимости от модели). Каждой дальности соответствуют определенные зна­чения параметров запуска (угол атаки, продол­жительность работы ступеней, запас топлива, угол наклона траектории). Обычно управле­ние осуществляется по углу атаки. Его зави­симость от времени описывается функцией, зависящей от модели ракеты. Общедоступные данные об этой функции отсутствуют.

Расчет траектории можно значительно упростить, приняв угол атаки равным нулю и выбрав в качестве изменяемых параметров величины, которые можно задать дискретно (угол наклона траектории и продолжитель­ность работы каждой из ступеней). Предпола­гается, что, изменив перечисленные выше па­раметры, можно достичь заданного диапазона дальностей с заданной точностью, оставаясь в рамках физической реализуемости и соответ­ствия эталонным данным.

Система уравнений для расчета траектории МБР

В качестве объекта исследования выбрана межконтинентальная баллистическая ракета типа земля - земля.

Приняты следующие допущения:

  • Земля - сферическая;
  • учитывается вращение Земли;
  • модель атмосферы - экспоненциальная;
  • сила тяги постоянна для каждой из сту­пеней;
  • ускорение свободного падения не изме­няется в зависимости от широты и включает только радиальную составляющую, но меня­ется в зависимости от высоты;
  • аэродинамические коэффициенты по­стоянны.

Уравнения движения центра масс, запи­санные относительно наблюдаемой скорости, при учете принятых допущений в проекциях на оси полускоростной системы координат имеют вид [1, 2]:

Здесь m - масса ракеты с топливом (кг);

t - время (с);

μ - скорость расхода топлива (кг/с);

ν - скорость ракеты (м/с);

P - сила тяги, постоянная до момента полного расхода топлива, после - равная нулю (кг · м/с2);

α - угол атаки, т. е. угол между проек­цией вектора ν скорости на плоскость сим­метрии и продольной осью летательного ап­парата (град);

ρ - плотность атмосферы, ρ0 = = 1,225 (кг/м3);

S - характеристическая площадь (м2);

Cxα2, Cx, Cyα - аэродинамические коэф­фициенты (1/град2, безразмерный, 1/град со­ответственно);

g - сила тяжести (кг · м/с2);

θ - угол наклона траектории (град); r - расстояние до центра Земли (м);

ψα - азимут запуска, т. е. курс на конеч­ную точку из точки старта (рад);

φ - широта (град);

ω - угловая скорость вращения Земли, равная 7,292115078 · 10-5-1);

Rz - радиус Земли, равный 6 378 245 (м);

λ - долгота (град);

G - гравитационная постоянная, равная 6,67408(31) 10-113с-2кг-1);

M - масса Земли, составляющая 5,97219 · 1024 (кг).

Решение системы уравнений (1) осу­ществляется путем численного интегрирова­ния. В качестве критерия точности выбрана не­вязка, заданная функцией начального значения угла наклона траектории и продолжительности работы каждой из трех ступеней:

где θнач - начальное значение угла наклона траектории;

t1, t2, t3 - время работы первой, второй и третьей ступени соответственно;

φкон, λкон - заданные координаты конеч­ной точки;

φ(θнач , t1, t2, t3 ), λ(θнач , t1, t2, t3) - коорди­наты конечной точки, полученные в результате решения системы уравнений.

Данный критерий отражает точность приведения летательного аппарата в задан­ную точку пространства и является функцией нескольких переменных.

В связи с физическим смыслом на пере­менные накладываются следующие ограни­чения:

где t1max, t2max, t3max - максимальное время ра­боты первой, второй и третьей ступени соот­ветственно.

Следовательно, для решения данной за­дачи необходимо использовать методы услов­ной многомерной минимизации.

Методы условной многомерной минимизации

Целевая функция задана системой дифферен­циальных уравнений, поэтому применение семейства методов, в которых используется производная целевой функции, невозможно. Метод замены переменных также неудобен для рассматриваемой задачи. Кроме того, были рассмотрены методы, в основе которых лежит сведение задачи минимизации с огра­ничениями к задаче минимизации некоторой функции без ограничений. При этом вводит­ся вспомогательная функция, представляю­щая собой сумму минимизируемой функции и функции штрафа, в которой учитываются ограничения.

Метод штрафных функций

Подбирается вспомогательная функция, со­впадающая с заданной минимизируемой функцией внутри допустимой области и бы­стро возрастающая вне ее:

где f (x, l) - исходная минимизируемая функ­ция;

x = [x0 ..., xn];

n - количество переменных;

l - некоторый векторный параметр, l = {l}, 

gi (x) - ограничения, gi (x) ≤ 0.

Здесь также ψί (gi(x), li) - функция штрафа, обладающая свойствами [3]:

Данный метод требует дополнительных исследований для определения функций вида ψί (gi(x), li) и значений li, .

Метод барьерных функций

Этот метод имеет вид

Когда x приближается к границам обла­сти X (изнутри), значения по меньшей мере одной из ограничивающих функций прибли­жаются из области отрицательных значений к нулю. В этом случае к функции f (x) добав­ляется большая положительная величина. При k → 0 минимум функции F(x, k) стремится к минимуму функции f (x) с ограничениями gi (x) ≤ 0 [3]. Существенным преимуществом данного метода является то, что при его ис­пользовании для вычисления вспомогательной функции не требуются дополнительные иссле­дования. По этой причине был выбран метод барьерных функций.

Для нахождения минимума полученной вспомогательной функции использован метод Нелдера - Мида.

Результаты расчетов траектории МБР

Траектория МБР рассчитана с использовани­ем численного интегрирования двухшаговым методом Эйлера, имеющим второй порядок точности (шаг интегрирования 0,0005 с), ме­тода барьерных функций и минимизации раз­ницы расчетных и заданных координат точки финиша с помощью метода Нелдера - Мида. В качестве исходных были использованы дан­ные по МБР Minuteman [4, 5]. Полученные траектории для различных дальностей пред­ставлены на рисунке.

Заключение

Полученные результаты соответствуют фи­зическому смыслу и эталонным данным, что позволяет сделать вывод: с помощью метода барьерных функций и метода Нелдера - Мида можно охватить необходимый диапазон даль­ностей полета баллистической ракеты с до­стижением точности, соответствующей тех­ническим характеристикам баллистической ракеты.

Данная задача решена в рамках про­граммного изделия «Форт» и используется для распознавания различных оперативно­тактических ситуаций с целью формирования своевременной и достоверной информации предупреждения о воздушно-космическом на­падении. Рассчитанные траектории баллисти­ческих ракет отображаются на 2D- и 3D-картах.

Список литературы

1. Гуков В.В. Основы теории полета летательных аппаратов. М.: МАИ, 1978. 70 с.

2. Федосьев В.И., Синярев Г.Б. Введение в ракетную технику. М.: Оборонгиз, 1961. 506 с.

3. Методы математического программирования в задачах оптимизации сложных технических систем / А.М. Загребаев, Н.А. Крицына, Ю.П. Кулябичев, Ю.Ю. Шумилов. М.: МИФИ, 2007. 332 с.

4. Карпенко А.В. Межконтинентальная баллистическая ракета LGM-30G Minuteman-3 (США) // Военно-технический сборник «Бастион». 04.04.2008. URL: http://bastion-karpenko.ru/minuteman-3 (дата обращения 10.12.2017).

5. Межконтинентальные баллистические ракеты СССР (РФ) и США. История создания, развития и сокращения / Е.Б. Волков, А.А. Филимонов, В.Н. Бобырев, В.А. Кобяков; под ред. Е.Б. Волкова. М.: ЦИПК РВСН, 1996. С. 179-207.


Об авторе

А. А. Дубровина
АО «Концерн «РТИ Системы»
Россия


Для цитирования:


Дубровина А.А. Применение методов условной многомерной минимизации к задаче расчета траектории баллистической ракеты. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2017;(3):59-62.

For citation:


Dubrovina A.A. Application of methods of conditional multidimensional minimization to the ballistic trajectory calculation problem. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2017;(3):59-62. (In Russ.)

Просмотров: 38


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)