Применение методов условной многомерной минимизации к задаче расчета траектории баллистической ракеты

Введение

В данной статье поставлена задача рассчитать приблизительную траекторию баллистиче­ской ракеты, обеспечивающую попадание из заданной точки старта в точку финиша, охва­тив весь диапазон дальностей для ракеты рас­сматриваемого типа.

В качестве примера выбрана межкон­тинентальная баллистическая ракета (МБР) с диапазоном дальностей от 5000 км до 10 000­13 000 км (в зависимости от модели). Каждой дальности соответствуют определенные зна­чения параметров запуска (угол атаки, продол­жительность работы ступеней, запас топлива, угол наклона траектории). Обычно управле­ние осуществляется по углу атаки. Его зави­симость от времени описывается функцией, зависящей от модели ракеты. Общедоступные данные об этой функции отсутствуют.

Расчет траектории можно значительно упростить, приняв угол атаки равным нулю и выбрав в качестве изменяемых параметров величины, которые можно задать дискретно (угол наклона траектории и продолжитель­ность работы каждой из ступеней). Предпола­гается, что, изменив перечисленные выше па­раметры, можно достичь заданного диапазона дальностей с заданной точностью, оставаясь в рамках физической реализуемости и соответ­ствия эталонным данным.

Система уравнений для расчета траектории МБР

В качестве объекта исследования выбрана межконтинентальная баллистическая ракета типа земля - земля.

Приняты следующие допущения:

• Земля - сферическая;
• учитывается вращение Земли;
• модель атмосферы - экспоненциальная;
• сила тяги постоянна для каждой из сту­пеней;
• ускорение свободного падения не изме­няется в зависимости от широты и включает только радиальную составляющую, но меня­ется в зависимости от высоты;
• аэродинамические коэффициенты по­стоянны.

Уравнения движения центра масс, запи­санные относительно наблюдаемой скорости, при учете принятых допущений в проекциях на оси полускоростной системы координат имеют вид [1, 2]:

Здесь m - масса ракеты с топливом (кг);

t - время (с);

μ - скорость расхода топлива (кг/с);

ν - скорость ракеты (м/с);

P - сила тяги, постоянная до момента полного расхода топлива, после - равная нулю (кг · м/с²);

α - угол атаки, т. е. угол между проек­цией вектора ν скорости на плоскость сим­метрии и продольной осью летательного ап­парата (град);

ρ - плотность атмосферы, ρ₀ = = 1,225 (кг/м³);

S - характеристическая площадь (м²);

C_x^α2, C_x, C_y^α - аэродинамические коэф­фициенты (1/град², безразмерный, 1/град со­ответственно);

g - сила тяжести (кг · м/с²);

θ - угол наклона траектории (град); r - расстояние до центра Земли (м);

ψ_α - азимут запуска, т. е. курс на конеч­ную точку из точки старта (рад);

φ - широта (град);

ω - угловая скорость вращения Земли, равная 7,292115078 · 10^-5 (с^-1);

R_z - радиус Земли, равный 6 378 245 (м);

λ - долгота (град);

G - гравитационная постоянная, равная 6,67408(31) 10^-11 (м³с^-2кг^-1);

M - масса Земли, составляющая 5,97219 · 10²⁴ (кг).

Решение системы уравнений (1) осу­ществляется путем численного интегрирова­ния. В качестве критерия точности выбрана не­вязка, заданная функцией начального значения угла наклона траектории и продолжительности работы каждой из трех ступеней:

где θ_нач - начальное значение угла наклона траектории;

t₁, t₂, t₃ - время работы первой, второй и третьей ступени соответственно;

φ_кон, λ_кон - заданные координаты конеч­ной точки;

φ(θ_нач , t₁, t₂, t₃ ), λ(θ_нач , t₁, t₂, t₃) - коорди­наты конечной точки, полученные в результате решения системы уравнений.

Данный критерий отражает точность приведения летательного аппарата в задан­ную точку пространства и является функцией нескольких переменных.

В связи с физическим смыслом на пере­менные накладываются следующие ограни­чения:

где t_1max, t_2max, t_3max - максимальное время ра­боты первой, второй и третьей ступени соот­ветственно.

Следовательно, для решения данной за­дачи необходимо использовать методы услов­ной многомерной минимизации.

Методы условной многомерной минимизации

Целевая функция задана системой дифферен­циальных уравнений, поэтому применение семейства методов, в которых используется производная целевой функции, невозможно. Метод замены переменных также неудобен для рассматриваемой задачи. Кроме того, были рассмотрены методы, в основе которых лежит сведение задачи минимизации с огра­ничениями к задаче минимизации некоторой функции без ограничений. При этом вводит­ся вспомогательная функция, представляю­щая собой сумму минимизируемой функции и функции штрафа, в которой учитываются ограничения.

Метод штрафных функций

Подбирается вспомогательная функция, со­впадающая с заданной минимизируемой функцией внутри допустимой области и бы­стро возрастающая вне ее:

где f (x, l) - исходная минимизируемая функ­ция;

x = [x₀ ..., x_n];

n - количество переменных;

l - некоторый векторный параметр, l = {l_i }, 

g_i (x) - ограничения, g_i (x) ≤ 0.

Здесь также ψ_ί (g_i(x), l_i) - функция штрафа, обладающая свойствами [3]:

Данный метод требует дополнительных исследований для определения функций вида ψ_ί (g_i(x), l_i) и значений l_i, .

Метод барьерных функций

Этот метод имеет вид

Когда x приближается к границам обла­сти X (изнутри), значения по меньшей мере одной из ограничивающих функций прибли­жаются из области отрицательных значений к нулю. В этом случае к функции f (x) добав­ляется большая положительная величина. При k → 0 минимум функции F(x, k) стремится к минимуму функции f (x) с ограничениями g_i (x) ≤ 0 [3]. Существенным преимуществом данного метода является то, что при его ис­пользовании для вычисления вспомогательной функции не требуются дополнительные иссле­дования. По этой причине был выбран метод барьерных функций.

Для нахождения минимума полученной вспомогательной функции использован метод Нелдера - Мида.

Результаты расчетов траектории МБР

Траектория МБР рассчитана с использовани­ем численного интегрирования двухшаговым методом Эйлера, имеющим второй порядок точности (шаг интегрирования 0,0005 с), ме­тода барьерных функций и минимизации раз­ницы расчетных и заданных координат точки финиша с помощью метода Нелдера - Мида. В качестве исходных были использованы дан­ные по МБР Minuteman [4, 5]. Полученные траектории для различных дальностей пред­ставлены на рисунке.

Заключение

Полученные результаты соответствуют фи­зическому смыслу и эталонным данным, что позволяет сделать вывод: с помощью метода барьерных функций и метода Нелдера - Мида можно охватить необходимый диапазон даль­ностей полета баллистической ракеты с до­стижением точности, соответствующей тех­ническим характеристикам баллистической ракеты.

Данная задача решена в рамках про­граммного изделия «Форт» и используется для распознавания различных оперативно­тактических ситуаций с целью формирования своевременной и достоверной информации предупреждения о воздушно-космическом на­падении. Рассчитанные траектории баллисти­ческих ракет отображаются на 2D- и 3D-картах.