Применение теории дискретных сигналов, определенных на конечных интервалах, для обработки аэрокосмических изображений

Введение

Изображение можно рассматривать как дис­кретный сигнал, определенный на конечном интервале отсчетов координат на плоскости. В настоящее время наибольшие успехи в об­ласти обработки аэрокосмических изображе­ний достигнуты при построении алгоритмов в пространственных координатах. При этом пространственно-частотные свойства изобра­жений не учитываются. Сведения об исполь­зовании классического гармонического анали­за для обработки изображений можно найти в работе [1]. Однако вычислительная сложность реализации преобразования Фурье сдерживает широкое применение данных методов в прак­тике обработки аэрокосмических снимков.

Для решения задач спектрального ана­лиза в общем случае могут быть использова­ны любые системы, содержащие необходимое количество ортогональных функций. Выбор системы функций будет определяться требо­ваниями удобства вычислений и в конечном счете трудоемкостью алгоритмов реализации искомого преобразования. Для применения альтернативных систем базисных функций требуется методологическое осмысление воз­можности их применения для решения постав­ленных задач.

В данной статье обобщены известные и доказанные авторами положения, позволя­ющие расширить методологию применения ортогональных преобразований в области обработки аэрокосмических изображений. Та­ким образом, создается теоретическая и мето­дологическая основа для применения систем функций Виленкина - Крестенсона (ВКФ) в нетригонометрической, минимально возмож­ной форме их построения в виде функций Уолша. Полученные теоретические и мето­дологические положения подкреплены примерами разработки алгоритмов фильтрации и корреляционного анализа аэрокосмических изображений.

Основные результаты исследований

На основе анализа принципов и средств фор­мирования аэрокосмических изображений (АКИ) [2] все видеодатчики радиотехниче­ских систем можно разделить на пять групп:

• датчики, построенные на основе прибо­ров с зарядовой связью (ПЗС-линейки);
• однолучевые датчики с конической или плоскостной разверткой;
• датчики сканового типа;
• радиолокационные станции различного базирования и принципа действия;
• тепловизионные и телевизионные при­боры и системы, базирующиеся, как правило, на атмосферных летательных аппаратах или наземных станциях.

С помощью методов и систем съемки формируются видеоданные, которые могут быть зарегистрированы или сохранены любым известным способом. Все они имеют опреде­ленную геометрическую структуру, отражают содержательную часть в виде определенной плотности почернения видеотона и могут рас­пространяться по любым известным системам передачи данных на некоторое расстояние, т. е. обладают определенной общностью, что позволяет назвать их общим термином - АКИ.

На сформированных АКИ в соответствии с физическими принципами формирования и условиями их передачи возникают специфиче­ские искажения, среди которых:

• синхронные искажения, обусловленные изменением передаточных характеристик трак­та формирования яркостей пикселей и жестко связанные с законом сканирования АКИ (про­являются в виде характерной «синхронной полосатости» вдоль строк или столбцов);
• искажения в виде помех, для которых характерно абсолютно разрушительное дей­ствие (проявляются в виде «выбитых пиксе­лей», сгруппированных, как правило, вдоль строки АКИ), связанные с потерями в канале связи;
• несинхронные искажения, не связанные с процессом формирования яркостей пикселей и законом сканирования (проявляются в виде характерной периодической «несинхронной полосатости» со случайным углом наклона к столбцам АКИ). Устранение таких помех явля­ется частной задачей фильтрации изображений с периодическими помехами, и в данной статье не рассматривается.

Устранение перечисленных искажений - основная задача предварительной обработки АКИ для формирования условий использова­ния их по назначению.

От того, существует ли изображение в цифровой форме, зависит математический аппарат, применимый для проведения опе­раций по его обработке. Это, прежде всего, дискретные преобразования, определенные на конечных интервалах. Введение понятия «ко­нечность» позволяет избежать противоречий, возникающих при использовании преобразова­ния Фурье, для пространственно-спектрального анализа изображений, описываемых в общем случае нестационарным случайным процессом.

Таким образом, использование основных положений и выводов, следующих из теории дискретных сигналов на конечных интервалах, представляется оправданным. Данная теория основана на выборе наиболее приемлемого варианта построения системы базисных функ­ций из всего многообразия ВКФ, для которых сдвиг сигнала определяется как поразрядное сложение чисел по некоторому модулю. По­нятие ВКФ охватывает в качестве частного случая систему функций Уолша, основанную на двоичной арифметике. Методология приме­нения данной системы функций базируется на следующих свойствах.

1. Все функции системы являются дей­ствительными функциями на интервале опре­деления N = 2ⁿ.
2. Функции системы принимают только значения +1 и -1, поэтому основные операции при использовании разложения по системе Уолша - сложение и вычитание.
3. Система функций Уолша является ор­тогональной на интервале определения N, а матрица Адамара, построенная по функциям Уолша, - симметрическая.
4. Матрица Адамара имеет размерность N х N, следовательно, в нее входят N ортого­нальных функций и ее нельзя дополнить ни од­ной новой ортогональной функцией. Такая си­стема функций является полной и может быть использована для построения унитарных пре­образований негармонического спектрального анализа. Вычислительная сложность такого преобразования будет минимальна, так как все операции заменяются на операции сложения действительных чисел в отличие от дискрет­ных экспоненциальных функций, где все числа комплексные [3].

ВКФ могут быть представлены через функции Радемахера, т. е. комплексные функ­ции, заданные на том же интервале N = mⁿ:

Здесь i - порядок функции Радемахера.

Тогда ВКФ могут быть записаны как

Для случая m = 2 функции Радемахера могут быть заданы следующим образом:

где < X_i > - i-й разряд двоичного представления переменной х.

При таком задании все функции Радема- хера являются действительными и нечетными на интервале N. Составленная из них система не является полной.

В результате дополнения ее до полной можно записать систему функций Уолша:

где < W_i > - значение i-го разряда номера функ­ции Радемахера, представленного в коде Грея;

i = 1, 2, 3, n.

Если в номере функции Радемахера при­сутствует только одна единица, то функция Уолша совпадает с функцией Радемахера с соответствующим номером.

Таким образом, на интервале определе­ния N = 2ⁿ систему функций Уолша можно разделить на n групп. При этом функция нуле­вого порядка не учитывается. Если эти группы обозначить номерами k = 1, 2, 3, n, то каж­дая группа будет начинаться с функции Радема- хера r_n+1-k. Каждая группа включает 2^n-k функ­ций с учетом функции Радемахера. Таким образом, система функций Радемахера является своеобразным «каркасом», на котором строится система Уолша. Эту особенность можно ис­пользовать при спектральном анализе сигналов.

Методология применения такого пре­образования базируется на ряде теорем, от­личающихся от теорем классического спек­трального анализа [3]. Следствия, вытекающие из теорем, рассмотренных ниже, позволяют строить эффективные алгоритмы фильтрации и корреляционного анализа аэрокосмических изображений.

1. Теорема о диадной свертке. Если {X_n} и {Y_n} - цифровые последовательности, задан­ные на интервале N, то последовательность свертки (корреляции)  будет определяться следующим образом:

Здесь C^X_u - спектральные коэффициенты по­следовательности {X_n};

C^Y_u - спектральные коэффициенты по­следовательности {Y_n}.

При использовании теоремы о диодной свертке можно понять механизм формирования элементов сигнала в спектральном простран­стве после фильтрации. В отличие от соответ­ствующей классической теоремы спектрально­го анализа, в данной теореме при вычислении автокорреляционной функции экстремум в точке совпадения не образуется. Кроме того, она не может быть применена для построе­ния алгоритмов автоматического совмещения фрагментов изображений.

2. Теорема о вещественно-диадной свертке. Если {X_n}, {Y_n} - цифровые после­довательности, заданные на интервале N, то последовательность свертки (корреляции)  может быть найдена как

Здесь (C^Y_u)_s - спектральные коэффициенты, вычисляемые при сдвиге последовательно­сти {Y_n}.

С помощью теоремы можно строить сложные спектральные фильтры и эффектив­ные алгоритмы корреляционного анализа, ис­пользовать ее при построении систем совме­щения изображений. Теорема не имеет аналога в классическом спектральном анализе.

3. Теорема об инвариантности проре­женного базиса. Положим, что {V_n} - цифро­вая последовательность, полученная из после­довательности {X_n} в результате диадного сдвига на I (т. е. V_n = Х_n⊕1), при этом

где C^v - коэффициенты спектра Уолша после­довательности {V_n};

H_w - исходная матрица Адамара;

C^x - коэффициенты секвентного спектра последовательности {X_n};

H_W⁰ - матрица Адамара, прореженная произвольным образом.

Тогда

(C^v )² = (C^x )².

Теорема позволяет выборочно устра­нять некоторые спектральные составляющие, производя определенные виды фильтрации в процессе получения спектрального представ­ления, что несвойственно другим системам базисных функций. Доказательство теоремы можно найти в статье [4].

4. Теорема об ограничении нетригоно­метрического спектра. Положим, что n - по­рядок системы функций Радемахера, k - номер группы функций в системе Уолша, а ограниче­ние спектра осуществляется на уровне функ­ций Радемахера с номером n + 1 - k. Тогда во вновь образованном изображении яркость по­лученных элементов

Для компактности записи зависимость i(s); j(s); g(i); p(j) в формуле не показана.

Теория об ограничении нетригономе­трического спектра не имеет аналога в клас­сическом спектральном анализе. Ее можно использовать при построении систем совме­щения изображений. Интуитивное использо­вание данного свойства позволяет построить двухуровневый алгоритм совмещения, при ис­пользовании которого вычислительные затра­ты в десятки раз меньше. Пример реализации такого подхода описан в работе [1].

5. Теорема об энергетической полноте квазидвумерного спектрального представле­ния. Если b- матрица цифрового изображе­ния размером M x N, C - коэффициенты его квазидвумерного спектрального представле­ния, то справедливо равенство

Выражение является равенством Пар- севаля для квазидвумерного представления двумерных сигналов. Для его доказательства не требуется особое пояснение, так как оно вытекает из известных свойств спектрального анализа. Рассмотрение теоремы об энергетиче­ской полноте квазидвумерного спектрального представления имеет важное методологиче­ское значение, поскольку служит обоснова­нием использования без потери энергетиче­ской значимости изображения одномерного его спектра при двумерной фильтрации. Это позволяет сократить вычислительные затраты в два раза и получить некоторые другие пре­имущества при устранении отдельных видов искажений.

6. Теорема о постоянной составляющей спектра. Если предположить, что b(x, 0) = 0 - конкретное значение элемента изображения в каждой строке, то нет необходимости переда­вать постоянную составляющую изображения через канал связи - ее всегда можно восстано­вить по формуле

Передаваемый спектр в этом случае не имеет постоянной составляющей [5]. Теорема свойственна только данному виду преобразо­ваний, являясь следствием его алгебраической структуры.

Алгоритмы фильтрации, передачи и корреляционного анализа аэрокосмических изображений

Результат использования теорем 1 и 5 для фильтрации изображения с синхронными по­мехами [6] приведен на рис. 1.

Идея алгоритма базируется на примене­нии усредняющего фильтра по горизонтали изображения. В соответствии с теоремой 1 при этом происходит потеря части энергии отдельных спектральных составляющих, что нарушает требования теоремы об энергетиче­ской полноте. Производится восстановление постоянных составляющих путем введения поправочного коэффициента на основе срав­нения постоянных составляющих по столбцам изображения до и после фильтрации.

Алгоритм квазидвумерной фильтрации изображений с помехами в виде «выбитых пикселей» (рис. 2) выполняется в два этапа [7]. На первом этапе на основе обнаружения спек­тральных строк с отклонениями по энергетике от всех остальных автоматически формируется множество «выбитых пикселей». На втором эта­пе - осуществляется интерполяционная филь­трация на основе учета значений спектральных составляющих вблизи «выбитых пикселей». По­сле восстановления в пространство изображе­ния получаем снимок, пригодный для анализа.

Идея алгоритма передачи изображений без постоянной составляющей [5] напрямую вытекает из теоремы 6. Если в исходное изо­бражение ввести столбец с заранее известными значениями (0 или 256), то передача спектраль­ной составляющей, соответствующей постоян­ной составляющей, может не осуществляться,

а ее значение будет вычисляться на приемной стороне. Организация такого режима переда­чи возможна, так как поле зрения оптической системы всегда больше, чем размеры считы­вающего элемента, и на изображении при­сутствуют так называемые теневые зоны. На качество передачи применение данного алго­ритма практически не влияет (рис. 3). Однако при этом возникают дополнительные возмож­ности оптимизации процесса передачи, в том числе сжатия изображений. Пример передачи изображения городской застройски со сжатием приведен на рис. 4.

Возможность дополнительного сжатия изображений в процессе передачи возникает после применения теоремы 6 в алгоритме передачи изображений без постоянной составляющей. В результате работы данного алгоритма передаются спектральные составляющие, со­ответствующие только изменяющейся части изображений. При этом не все составляющие спектра энергетически значимы и их можно безболезненно исключить. Кроме того, нару­шаются условия теоремы об энергетической полноте квазидвумерного спектрального пред­ставления, поэтому в протоколе передачи изо­бражения предусматриваются поля для пере­дачи поправок, обеспечивающих выполнение данных условий [8].

Подходы и преимущества корреляцион­ного анализа для совмещения одноименных фрагментов изображений подробно рассмо­трены в статье [9]. В данной статье приводится пример работы двухэтапного алгоритма поис­ка эталонного изображения на текущем изо­бражении, формируемом в процессе съемки земной поверхности (рис. 5). На первом этапе осуществляется грубый, но быстрый поиск, ре­зультаты которого уточняются на втором этапе.

Заключение

В связи с большими объемами обрабатыва­емых данных при решении задач обработки АКИ необходимо постоянно искать методы и средства ускорения этого процесса, совер­шенствовать математический аппарат, при­меняемый для построения соответствующих алгоритмов, прежде всего для дискретных преобразований, определенных на конечных интервалах. Введение понятия конечности позволяет уйти от противоречий, вызванных использованием преобразования Фурье, для пространственно-спектрального анализа изо­бражений, описываемых в общем случае не­стационарным случайным процессом.

Рассмотренные примеры позволяют по­нять методологию применения преобразования Уолша для построения алгоритмов устранения синхронных помех, а также помех, связанных с потерей пикселей в процессе передачи изо­бражений. Качество получаемых изображений вполне пригодно для дальнейшего их исполь­зования (СКО не более 7,0). Алгоритмы пере­дачи и сжатия изображений позволяют достичь временных показателей, соответствующих пе­редаче видеопотока со скоростью 50 кадр/с. Алгоритмы корреляционного совмещения изо­бражений позволяют решать задачи сшивки снимков соседних маршрутов летательных аппаратов и строить системы автономной на­вигации по цифровым картам местности. При­менение двухэтапного подхода позволяет со­кратить время решения задачи нахождения одноименных сюжетов в десять и более раз.