К расчету динамических нагрузок на управляющие элементы летательных аппаратов при ударах

Введение

Развитие современного рынка вооружений при­водит к необходимости совершенствовать име­ющиеся образцы военной техники и развивать новые технологии. В последнее время особое внимание уделяется созданию современных летательных аппаратов (ЛА), эффективное ис­пользование которых зависит, в частности, от правильной работы элементов их управления. Одними из главных характеристик, влияющих на полетные качества аппарата, являются ча­стоты и формы собственных колебаний, а так­же ударная прочность консолей.

Основные элементы управления ЛА - кон­сольные рули (рис. 1), которые по две пары уста­навливаются в одном поперечном сечении кор­пуса ЛА по диаметру равноудаленно друг от друга. При их эксплуатации, кроме аэродинами­ческих нагрузок, могут возникнуть две ситуации, выводящие из строя ЛА. Первая - попадание в резонанс частот колебаний руля, вторая - возможное разрушение конструкции руля при ударе об упор в процессе его раскрытия и стопорения.

Традиционным и достаточно эффектив­ным методом определения амплитудно-частот­ных характеристик и ударных нагрузок на эле­менты управления ЛА является проведение динамических испытаний. Однако в условиях конструкторских и проектно-подготовительных работ необходимо иметь теоретические расчет­ные методики для определения характеристик свободных колебаний системы, а также динами­ческих нагрузок, действующих на руль при ударе и необходимых для оценки прочности элементов конструкции руля и рулевого отсека.

Цель данной работы - создание численно­го метода, позволяющего определить динамиче­ские нагрузки, приходящиеся на руль при ударе об упор в процессе его раскрытия и стопорения.

Анализ поведения конструкции рассмо­трен в рамках двух этапов. На первом проводи­лось компьютерное моделирование свободных колебаний руля в раскрытом состоянии, соответ­ствующем штатному полету ЛА, с целью опре­деления собственных частот и форм колебаний. Расчеты осуществлялись в конечно-элемент­ном программном комплексе (КЭ ПК). На вто­ром этапе были математически смоделированы консоли руля одномерной балкой переменного поперечного сечения, подверженной удару. Ме­тодика основана на решении уравнения изгиб- ных колебаний балки в частных производных с учетом преобразования кинетической энергии движения руля в энергию упругих деформаций, возникающих в руле при ударе. Методика реа­лизована в математическом расчетном комплексе MathCAD., но ввиду универсальности она может

быть осуществлена в любом математическом пакете. Оба этапа программно связаны между собой: результаты компьютерного моделирова­ния колебаний руля автоматически внедрялись посредством создания файла исходных данных в аналитическую программу в среде MathCAD. Динамические нагрузки из второго этапа в даль­нейшем используются для оценки прочности руля и узлов его крепления к рулевому отсеку, а также анализа амплитудно-фазовых и частотных характеристик всего ЛА.

Проведенное в работе моделирование по­зволило создать комплексный подход к иссле­дованию поведения элементов управления ЛА в процессе раскрытия.

Моделирование свободных колебаний руля

Введем декартову систему координат так, что продольная ось консоли руля, совпадающая с осью управления руля в полете, - Ox, ось вра­щения руля при раскрытии и стопорении (ось складывания) - Oy. Ось Oz расположена по нормали к плоскости Oxy (см. рис. 1). Длина размаха руля L = 0,4 м.

Пластина руля, составляющая основу его поворотной части, изготовлена из стеклопла­стика на базе кварцевой стеклоткани и связу­ющего ДТ-10 [1] со средней плотностью ρ₁ = 1705 кг/м³, приведенным модулем упру­гости E₁ = 2,696 · 10¹⁰ Па и приведенным ко­эффициентом Пуассона μ₁ = 0,147 . Для улуч­шения прочностных свойств руля его основание в области корневой хорды усилено металличе­скими вставками из титанового сплава Вт6. Ха­рактеристики Вт6: плотность ρ₂ = 4620 кг/м³, модуль упругости E₂ = 1,2· 10¹¹ Па, коэффи­циент Пуассона μ ₂ = 0,36 [2]. Распределение погонной массы m(x) по размаху руля пред­ставлено на рис. 2. Далее в вычислениях мате­риалы, из которых изготовлены рули, будем считать изотропными и однородными, посколь­ку деформирование конструкции преимуще­ственно одномерное с преобладанием изгибных деформаций в плоскости Oxz.

Исследование свободных колебаний кон­струкции проводилось методами компьютер­ного анализа посредством КЭ ПК. Смоделиро­ванные граничные условия соответствовали раскрытому состоянию образца: ось управления консоли фиксировалась по продольной оси Ox руля, вращение вокруг оси Oy задано сво­бодным с помощью шарнира, опирание консо­ли руля происходит об упор. КЭ сетка узлов построена с помощью тетраэдрических и гек- саэдрических элементов. В результате расчета частоты собственных колебаний по первой и второй формам составили ν₁ = 101,85 Гц и ν₂ = 333,54 Гц соответственно. В таблице пред­ставлены частоты первых четырех нетривиаль­ных форм свободных колебаний руля. Первая и вторая формы колебаний, отвечающие частотам ν₁ и ν₂, в виде нормированных к единице про­гибов консоли руля в плоскости Oxz изображе­ны на рис. 3.

Поскольку значительная масса консоли руля сосредоточена вдоль его основания (см. рис. 2), то форма колебаний имеет пологий вид, а явный изгиб консоли прослеживается только ближе к свободному концу. Именно поэтому на рис. 3, б незаметен прогиб между точками пере­гиба консоли, которые выделены зеленым цветом.

Отметим, что первая, вторая и четвертая формы колебаний консоли с частотами ν₁, ν₂ и ν₄ соответственно характеризуют колебания конструкции относительно оси изгиба Oy в пло­скости Oxz, в то время как третья форма с часто­той ν₃ определяет свободные колебания консо­ли относительно оси управления Ox руля в плоскости Oyz (см. рис. 1).

График нормированной к единице функ­ции прогибов консоли по размаху руля, взятых в срединной плоскости руля, по 1-й форме ко­лебаний представлен на рис. 4 (красная кривая).

Для идентификации полученных результа­тов дополнительно был реализован численный алгоритм расчета первых трех частот и форм собственных колебаний консольной одномерной балки со свойствами, близкими к реальной кон­струкции руля ЛА. В основу алгоритма заложен общеизвестный метод последовательных при­ближений [3] для расчета формы и частоты ко­лебаний консоли первого, второго или третьего тона. Соответствующая частота колебаний вычисляется по формуле Релея [3, 4]. В качестве исходных данных выбираются N участков кон­соли одинаковой длины (в рассматриваемой за­даче N = 10), на каждом из которых задаются массы m_i и средние изгибные жесткости EJ_i при i = 1...N. Первым приближением к реше­нию считаем нулевую частоту и полиномиаль­ную форму 2-го, 3-го и 4-го порядков для 1-й, 2-й и 3-й форм колебаний соответственно. На каждом последующем этапе последовательных при­ближений пересчитываются перемещения кон­соли (изначально нулевые) в центрах участков разбиения и частота колебаний по формуле Релея. Подробно данный алгоритм изложен в работе [3].

В результате реализации предложенной схемы применительно к рассматриваемой кон­струкции получены 3 формы и соответствую­щие им частоты свободных колебаний консоли руля. Значения частот представлены в таблице, а 1-я форма колебаний изображена на рис. 4 (синяя кривая). Отметим, что выбранный одно­мерный алгоритм позволяет найти формы и ча­стоты консольной балки только в одной плоско­сти колебаний, в данном случае относительно оси раскрытия руля Oy в плоскости Oxz изгиб- ных прогибов консоли (см. рис. 1). При этом теряется частота колебаний V₃ в плоскости Oyz, определяемая в КЭ ПК.

Расхождения числовых значений первой частоты колебаний, вычисленной КЭ методом и методом последовательных приближений, отли­чается на 3,75 %, что подтверждает адекватность расчета, проведенного КЭ методом.

Расчет динамических нагрузок в сечениях консоли при ударе

Процесс раскрытия руля в полете ЛА состоит в развороте его консольной части на угол ~90° относительно продольной оси ЛА и сопровож­дается ударом опорной площадки руля об упор и дальнейшей фиксацией консоли стопо­рами. Наибольшую опасность в данной ситуа­ции представляют возникающие при ударе об опорную площадку динамические усилия, ко­торые могут привести к повреждению не толь­ко самого руля, но и механизма стопорения, узлов крепления руля к корпусу ЛА, а также рулевого отсека ЛА.

При математическом моделировании уда­ра учитывалось, что раскрытие руля происходит преимущественно в плоскости Ozx (см. рис. 1). Тогда, пренебрегая аэродинамическим момен­том, создаваемым потоком воздуха при поле­те ЛА, наибольший прогиб консоли руля при ударе в момент ее стопорения (фиксирования) определяется из равенства кинетической энер­гии движения консоли при полном раскрытии и максимальной потенциальной энергии дефор­мации изгиба поворотной части консоли.

Кинетическая энергия вращательного движения консоли

где J_ин - массовый момент инерции консоли поворотной части руля относительно оси вра­щения Oy (см. рис. 1);

 - максимальная угловая скорость кон­соли при ударе, зависящая от механизма рас­крытия руля (пружинного, рычажного, кулис­ного или др.).

Потенциальную энергию изгиба поворот­ной части руля с изгибной жесткостью EJ и про­гибами z = z( x) можно представить в виде [4]

Учитывая только первую форму свобод­ных колебаний консоли руля с частотой ν = V₁ (см. подраздел «Моделирование свободных ко­лебаний руля»), превалирующую при ударе над остальными формами, функция перемещений характерных сечений срединной плоскости кон­соли относительно оси Oz при ударе об упор в соответствии с методом Фурье [4] будет

z (t, x ) = z_max f (x)sin (2πνt),                                   (2)

где z_max - максимальный прогиб в точке при­ведения, соответствующий крайней, свобод­ной кромке размаха руля (при x = L);

f (x) - нормированная собственная форма колебаний срединной плоскости консоли по первому тону (см. рис. 4), которая называется первой нормальной функцией и характеризует форму прогиба консоли;

sin(2πνt) - временная составляющая сво­бодных колебаний.

Энергия деформации изгиба достигает наибольшего значения при максимальном по времени перемещении z(t, x), т. е. при условии sin (2πνt) = 1, например при t = 1 / (4 ν). Под­ставляя (2) в (1), находим максимальное значе­ние потенциальной энергии изгиба:

Сравнивая последнюю формулу с макси­мальной потенциальной энергией силы упругости, отметим, что множитель  является жесткостью консоли, приведенной к свободному концу. Тогда Π_max = С_прz²_max / 2 .

По аналогии с колебаниями механической системы связь первой частоты собственных ко­лебаний консоли с характеристиками руля при­мем в виде

где M_пp - обобщенная масса, приведенная к свободному концу консоли, вычисляемая по формуле [3, 5]

Здесь m(x) - погонная масса консоли руля, распределенная вдоль продольной оси.

Выражая приведенную жесткость C_пp из (3) и подставляя ее в выражение для n_max, по­лучаем

Из равенства энергий Т = Π _max находим максимальный прогиб свободного края консоли при ударе о стопоры в процессе раскрытия:

Для вычисления распределения изгибаю­щего момента по размаху консоли будем придер­живаться балочной теории Тимошенко [3], тогда изгибающий момент М_изг можно связать с про­гибами z(x) в каждом поперечном сечении кон­соли следующим образом:

Уравнение изгибных колебаний одномер­ной балки с поперечным сечением F = F( x) плотностью ρ = ρ( x) и изгибной жесткостью EJ = EJ (x), консольно защемленной на оси раскрытия x = 0, будем использовать в обще­принятом виде [3, 4]:

записанном относительно прогибов консоли z (x, t) в плоскости раскрытия Oxz. Подставляя соотношение (6) в уравнение (7), получаем

где ρF - погонная масса консоли, ρF = m(x).

С учетом (2) ускорение ∂² z (x,t) / ∂t² в се­чении консоли с координатой x будет иметь бо­лее простой вид:

Дважды интегрируя по x обе части уравне­ния (8), подставляя в него (9) и переходя к повтор­ному интегралу, находим выражение для изгиба­ющего момента в некоторой точке x ∈ [0; L] на продольной оси консоли:

Максимальное по времени значение изгибающий момент М_изг принимает при sin (2πνt) = -1, тогда

Чтобы упростить (10), выделим условные поперечные слои консоли сколь угодно малой толщины, на которых функции m(ξ) и f (ξ) можно принять постоянными. В этом случае на каждом из таких участков точно берется вну­тренний интеграл в выражении (10). В результа­те преобразований с учетом выражения (5) функ­ция изгибающего момента принимает оконча­тельный вид:

где М_пр - приведенная масса, которая рассчи­тывается по формуле (4).

В частном случае, если функции m(ξ) и f (ξ) заданы в дискретном виде и их аппрокси­мация приводит к значительной погрешности, то выражение (11) удобнее использовать в виде суммы

где x_i - продольная координата текущего се­чения консоли;

N - количество участков (слоев) консо­ли, на каждом из которых распределение мас­сы и прогиб можно считать равномерными;

 - координата центра j-го участка;

M_j - масса j-го участка;

f_j - прогиб середины j-го участка.

В результате расчета получаем набор из N значений изгибающего момента в поперечных сечениях консоли руля.

Отметим, что полученные формулы для расчета моментов М_изг не теряют смысл суммы произведений поперечных сил консоли на каж­дом участке на расстоянии от сечения x до оси вращения поворотной части руля.

Выведем формулу для расчета диаграммы распределения максимальной погонной попереч­ной нагрузки по размаху консоли руля. Опираясь на соотношения (2), (5) и (9), находим наиболь­шее по времени линейное ускорение a(x) в точке x на продольной оси консоли:

Качественно график функции a(x) оче­видно будет аналогичен графику прогибов кон­соли руля при колебаниях по первой форме f (x). Погонная поперечная нагрузка в сечении x тогда определится как произведение погонной массы m (x) и ускорений a(x), т. е.

Продемонстрируем представленную мето­дику на примере расчета изгибающего момента и погонной нагрузки, рассматриваемой в под­разделе «Моделирование свободных колебаний руля» конструкции руля при ударе об упор в про­цессе раскрытия и стопорения.

Предложенные формулы реализованы в ма­тематическом вычислительном пакете MathCAD. При угловой скорости подхода консоли руля к упору  = 23 рад/с, определенной специалиста­ми в области аэродинамики исходя из особенно­стей аэродинамического обтекания ЛА при поле­те для данной формы руля, максимальный прогиб свободного конца консоли по формуле (5) соста­вил Z_max = 20 мм. Наибольшее значение изгиба­ющего момента зафиксировано на оси вращения поворотной части руля М_изг(x) = 1200 Н м. На свободном конце консоли изгибающий момент нулевой. Диаграмма изгибающего момента по размаху руля представлена на рис. 5.

При вычислении диаграммы поперечной нагрузки отметим, что функции m (x) и f (x) являются существенно нелинейными, причем экс­тремум m(x) ближе к оси вращения (см. рис. 2), чем экстремум f (x) на свободном конце консо­ли (см. рис. 4). Их произведение в соответствии с формулой (12) имеет глобальный максимум, равный q_max = 15,9 кН/с² в точке X = 0,32 м. Диа­грамма q(x) изображена на рис. 6.

Полученные диаграммы М_изг (x) и q (x) можно использовать для оценки прочности кон­соли руля, узлов крепления руля к корпусу ЛА, упора, а также рулевого отсека ЛА в области крепления рулей.

Заключение

Для исследования динамических нагрузок на конструкцию руля при ударе об упор в про­цессе раскрытия предложен аналитический метод для расчета возникающего при этом ударе изгибающего момента и поперечной нагрузки. Достоинством данного подхода яв­ляется возможность определять указанные динамические нагрузки в любом интересуе­мом поперечном сечении консоли. Это дости­гается за счет того, что в методе учитывается распределение изгибной жесткости и погон­ной массы по размаху руля. Частоты и формы свободных колебаний консоли руля, необхо­димые для расчета нагрузок при ударе, опре­делялись в КЭ ПК и были верифицированы общеизвестным численным методом последовательных приближений.

Отметим, что в отличие от [3, 5], где массо­вые и жесткостные характеристики конструкций имеют ступенчатый характер изменения по дли­не консоли, предлагаемый аналитический метод позволяет учитывать монотонное изменение изгибной жесткости. Новизна изложенного подхода заключается в возможности связать метод конеч­ных элементов (МКЭ) и аналитические расчеты для определения динамических нагрузок и ана­лиза характеристик рулей, позволяя не задавать изгибные жесткости в аналитическом расчете, а получать их из МКЭ. Предлагаемая методика принимает во внимание изгибные жесткости кон­соли в более широком смысле: для рассмотрен­ной конструкции они получены с учетом контакт­ных взаимодействий руля с упором и шарнирного вращения консоли вокруг оси складывания.