Тройные конфигурации догоняющих скачков уплотнения в условиях неоднозначности решения

Введение

Тройные конфигурации ударных волн присут­ствуют в струйных и сопловых течениях газа, реализуемых в реактивной авиационной и ра­кетной технике, и влияют на эффективность сверхзвуковых воздухозаборников и других аппаратов струйных технологий.

В настоящее время продолжается поиск эффективных решений для прямоточных, ро­тационных и пульсирующих детонационных двигателей, и проблема анализа взаимодействия скачков уплотнения, ударных, взрывных волн особенно актуальна. Для ее решения необходимо анализировать все тройные конфигурации, кото­рые могут образоваться в данных условиях, они определены параметрами устройства. Анализ всего множества возможных решений не менее актуален для задач разработки взрывозащитных устройств, определения поражающего действия взрыва конденсированного вещества, где присут­ствует нерегулярное взаимодействие воздушных ударных волн и их маховское отражение.

В данной статье кратко проанализирова­ны свойства оптимальных, соответствующих максимальным различиям параметров потоков за ними, тройных конфигураций, которые при­сущи основному и альтернативным решениям в рамках локальной трехскачковой теории. В связи с этим при поиске оптимальных режимов течения в тройных конфигурациях необходимо учитывать неоднозначность решения опреде­ляющей системы уравнений.

Общие сведения о тройных конфигурациях

Тройная конфигурация скачков уплотнения - это ударно-волновая структура из трех скач­ков, имеющих общую «тройную» точку (T на рис. 1). Тройные конфигурации ударных волн, стационарных в избранной координатной си­стеме (скачков уплотнения), присутствуют в струйных и сопловых течениях газа, реали­зуемых в реактивной авиационной и ракет­ной технике [1-3], влияют на эффективность сверхзвуковых воздухозаборников и других аппаратов струйных технологий [4, 5]. Трой­ные конфигурации подвижных (бегущих) ударных волн возникают при их маховском отражении и нерегулярном взаимодействии [6-10] и влияют на эффективность механи­ческого действия взрыва, а также взрыво­защитных устройств, предназначенных для подавления фугасного действия [11-13], в особенности при множественном взаимо­действии ударных волн в замкнутых объемах [14-16]. Потоки газа, прошедшие различные системы скачков уплотнения (последователь­ность скачков 1 и 2 или одиночный скачок 3), разделены тангенциальным разрывом τ. Усло­вия совместности на тангенциальном разрыве связывают параметры скачков, запишем их в виде [17-19]:

J₁J₂ = J₃;                                                              (1)

β₁ +β₂ =β₃.                                                          (2)

Здесь J_i (i = 1...3) - интенсивность i-го скачка (отношение статических давлений за скачком и перед ним);

β_i  - угол поворота потока на поверхно­сти i-го скачка.

Углы β_i  и числа Маха M_i за i-м скачком связаны с его интенсивностью и числом Маха M_k перед ним известными [1] классическими со­отношениями.

В зависимости от направления поворота потока на скачках 1-3 различают три вида тройных конфигураций. В конфигурациях пер­вого типа (ТК-1, рис. 1, а) поворот потока на скачке 1 происходит в ином, чем на скачках 2 и 3, направлении. Например, при β₁ < 0 углы β₂ > 0, β₃ > 0. В конфигурациях второго типа (ТК-2, рис. 1, б) отлично от других направление поворота на скачке 2, а в конфигурациях треть­его типа (ТК-3, рис. 1, в) поворот потока на всех скачках происходит в одном направлении. Ста­ционарная маховская конфигурация (СМК, рис. 1, г) с прямым главным скачком (β₃ = 0) и кон­фигурация ТКП-2-3 (рис. 1, д) с прямым скачком 2 (β₂ = 0) являются переходными.

Задание показателя адиабаты γ, числа Маха M потока перед тройной точкой и ин­тенсивности J₁ ветвящегося скачка не всегда однозначно позволяет определить свойства остальных скачков из системы (1)-(2). Одним и тем же параметрам γ, M и J₁ соответству­ет до трех физически обоснованных решений с разными значениями β₂ и β₃. Основное ре­шение системы (1)-(2) определено в наиболее широкой области пространства параметров (γ ,M, J₁), два альтернативных - лишь на под­множествах области определения основного решения. Тройные конфигурации, соответству­ющие основному решению, могут принадле­жать ко всем трем типам, а также к переходным конфигурациям СМК и ТКП-2-3. Альтернатив­ные тройные конфигурации (АТК) относятся к третьему типу (см. рис. 1, в), причем течение за скачком 2 в них - сверхзвуковое. Они обра­зуются в результате взаимодействия догоняю­щих скачков.

Многие параметры потоков газа за трой­ными конфигурациями существенно различа­ются. Представляют интерес отличия давлений торможения p₀, скоростей V, расходных функ­ций q = ρ V, скоростных напоров d = pV², им­пульсов потока j = p + pV² за тройной точкой. Мерой отличия здесь служат их отношения на сторонах тангенциального разрыва. Тройные конфигурации с экстремальными значениями таких отношений называют оптимальными. Исследование оптимальных конфигураций мо­жет иметь практическое значение при анализе возникновения автоколебательных режимов течения в свободных и импактных сверхзвуко­вых струях [20], при конструировании аппара­тов, создающих пульсирующие потоки газа.

Далее проанализируем свойства опти­мальных тройных конфигураций, соответству­ющие как основному, так и альтернативным решениям. Численные результаты приведены при значении γ = 1,4.

Оптимальные конфигурации, соответствующие основному решению

Свойства тройных конфигураций скачков уплот­нения анализируются на плоскости параме­тров M и σ₁ (рис. 2), где σ₁ - угол наклона скачка 1 к направлению течения перед ним. Угол σ₁ связан с интенсивностью J₁ скачка как

J₁ = (1 + ε) M² sin² σ₁ - ε,

где ε = (γ -1) / (γ +1).

Диапазон изменения углов σ₁ ограничен снизу кривой 1, соответствующей вырожде­нию скачка в слабый разрыв (σ₁ = α(Μ) = = arcsin (l/M), J₁ = 1). Значения σ₁ ограниче­ны и сверху, по меньшей мере требованием существования скачка 2 в сверхзвуковом потоке за ветвящимся скачком. Этому требованию удовлетворяет область под кривой 2, строя­щейся из условия M₁ = 1 за скачком 1.

Для существования тройной конфигура­ции недостаточно наличия сверхзвукового те­чения за скачком 1. Решение системы (1)-(2) существует только в области между кривыми 1 и f₁, поэтому кривая f₁ является точной верх­ней границей рассматриваемой области и опре­деляется уравнением, общим для кривых f_i (i = 1,2):

Кривая f₁ начинается в точке F₁ на кри­вой 1, где M _F1 = 1,245, M _F2 = 2,54.

Решения системы (1)-(2) в рассматрива­емой области могут соответствовать конфигу­рациям различных типов. В подобласти между кривыми 1 и 3 реализуются конфигурации ТК-1, между кривыми 3 и 4 - ТК-2, между кривыми 4 и f₁ - ТК-3. Кривая 3 соответствует стацио­нарной маховской конфигурации и строится из решения уравнения

где a = (1 - ε)(1 + εJ₁);

J_m - интенсивность прямого скачка, обра­зующегося в потоке с данным числом Маха,

J_m =(1 + ε)Μ² -ε;

b = — [(1 + ε — ε² + ε³ )J₁² + ε(1 + ε) J₁ + (1 — ε)];

с = J₁ ((1 - ε²) J₁² - (1 + ε²) J₁ - 2ε).

Переходные конфигурации ТКП-2-3 (кривая 4) также определяются аналитически [18, 19].

Интенсивности и другие параметры скач­ков уплотнения во всей области существова­ния основного решения меняются непрерыв­но. Параметры отдельных скачков принимают экстремальные и особые значения (например, скачки 2 и 3 могут соответствовать точкам наи­большего отклонения, точкам Крокко, точкам постоянного давления и звуковой точке [19]).

Свойства потоков за тройной конфигура­цией определяются из системы (1)-(2) и соот­ношений на скачках уплотнения. Например, отношения полных давлений p₀, скоростей V, расходных функций q, скоростных напоров d, импульсов потока j на тангенциальном раз­рыве следующие:

где  -    обратное отношение плот­ностей на скачке.

Нижняя граница области существования решения (кривая 1) соответствует вырождению скачка 1, а верхняя (кривая f₁) - скачка 2 в сла­бый разрыв. Все рассматриваемые отношения параметров за тройной точкой в этих случаях равны единице. При фиксированном числе Маха M единственной точкой экстремума рас­сматриваемых функций в диапазоне между границами области определения является точ­ка максимума. Конфигурации, соответствую­щие этим максимумам, оптимальны при фик­сированном числе Маха.

Параметры конфигураций, оптимальных по целевым функциям (4), показаны на рис. 2 кривыми 5-9 соответственно. При малых чис­лах Маха эти конфигурации принадлежат к третьему типу. Пересечение кривых 5-9 с кри­вой 4 соответствует оптимальным переходным конфигурациям. Оптимальные отношения па­раметров (I_po = 1,076; I_v = 1,085; I_q = 1,107; I_d = 1,201; I_j = 1,090) при этом невелики, а числа Маха (M = 1,596; M = 1,567; M = 1,571; M = 1,569; M = 1,584) очень близки.

При увеличении чисел Маха оптималь­ные кривые 5-9 сближаются и пересекаются в одной точке а, соответствующей стационар­ной маховской конфигурации (СМК) с числом

Маха . Интенсивно­ сти падающего скачка 1 и отраженного скачка 2 скачков уплотнения в такой СМК равны:

Доказано [21, 22], что равенство интенсивностей скачков уплотнения приводит к максимуму полного давления за ударно-волновой системой, если произведение этих интенсивностей фиксировано. Можно по­казать, что в СМК такое произведение (интен­сивность J₃), хотя и не является фиксирован­ным, но подчиняется данной теореме, поэтому оптимальной является именно маховская кон­фигурация с равными интенсивностями скачков. Отношения параметров за оптимальной СМК:

При б0льших числах Маха оптимальны конфигурации первого типа. Оптимальные зна­чения целевых функций растут монотонно, но ограниченно, а оптимальные интенсивности скачков 1 и 3 при M → ∞ стремятся к беско­нечности. В конфигурациях, оптимальных по I_po, существуют конечные пределы:

Число Маха за скачком 1 стремится к бесконечному (порядка √М), а за скачками 2 и 3 - к конечным пределам. Само же отноше­ние I_po стремится к величине

Предельные значения других функций в конфигурациях, оптимальных по I_po, состав­ляют:

и, как правило, близки к оптимальным, дости­гаемым на кривых 6-9 (см. рис. 2): I_v → 5,261, I_d → 155,8, I_q → 30,41, I_j → 30,22, поэтому оптимизацию конфигураций по этим параме­трам иногда заменяют оптимизацией по I_po [18]. В конфигурациях, оптимальных по этим четырем параметрам, интенсивность J₁ имеет порядок M², а значения M₁ и J₂ стремятся к большим конечным величинам. Угол наклона скачка 1 при этом стремится к малому конеч­ному значению, а не к нулю.

Оптимальные значения (особенно отно­шения полных давлений) стремятся к своим пределам медленно: при M = 8 оптимальное I_po = 19,36, а при M = 200 - I_po = 439,2. Оп­тимизация конфигураций ведет к заметному росту целевых функций. Так, при M → ∞ оптимальное I_po → 529,1, в то время как I_p → 69,72 в СМК и I_p → 1 в ТКП-2-3.

Альтернативные тройные конфигурации

Начиная с определенного числа Маха (M = 2,542 при оптимизации по отношению полных давлений) параметры (M, σ₁) опти­мальных основных конфигураций определя­ют еще два решения, а при M > 2,61 - одно решение, описывающее АТК третьего типа, соответствующую одному из дополнитель­ных решений, которые существуют наряду с основным решением при тех же числах Маха потока интенсивности скачка 1 (ветвящегося) и показателя адиабаты газа.

Альтернативные решения системы (1)- (2) возникают на кривой bc (см. рис. 2) в ре­зультате распада ударных изомах [13]. В кри­волинейном треугольнике F₂cb существуют две различных АТК. На участке F₂C кривой J₂ одно из решений соответствует значению J₁ < 1, в силу чего перестает реализовываться. За точкой с на кривой J₂ напротив возникает но­вое и единственное решение для АТК. Кривая J₂ и точка F₂ определены соотношением (3), а точки b (M_b = 2,089) и с (M_с = 3,117) - алгебраическими уравнениями высокой (для точки b - восьмой) степени.

Максимумы соотношений (4) достигают­ся в АТК, соответствующих решению, непре­рывному во всей области за кривыми bc и J₂ (кривые 10-14). При M → ∞ оптимальное значение I_p0 стремится к пределу (5) и достигается при J₃/M² → C₁, J₁/M → √C₁, J₂/M → √C1

Угол поворота потока на скачке 3 в оптималь­ной асимптотической АТК противоположен своему значению в «основной» конфигурации.

Пределы отношений других параметров в оптимальных АТК по крайней мере сопоста­вимы «основным» конфигурациям: в АТК при M = 199,3 максимальные I_v = 4,858, I_d = 133,1, I_q = 27,47, I_j = 28, а в «:основных» конфигурациях I_v = 5,257, I_d = 151, I_q = 29,23, I_j = 28,56. Взаиморасположение (снизу вверх) оптимальных кривых 10-14 обратно положе­нию кривых 5-9 при больших числах Маха.

Числа Маха, при которых образуются АТК, при увеличении параметра γ значитель­но увеличиваются и стремятся к бесконечно­сти при γ → 5/3. При γ ≥ 5/3 система (1)-(2) имеет не более одного физически обоснован­ного решения.

Заключение

Проведенные расчет и параметрический ана­лиз тройных конфигураций, образующихся при всех теоретически возможных параметрах течения перед ними, служат для оптимизации систем и устройств, использующих эффекты взаимодействия и отражения скачков уплот­нения, взрывных и детонационных волн.

Показано, что тройные конфигурации, соответствующие различным физически воз­можным решениям, могут быть оптимальны: за ними достигаются максимальные и весьма значительные отношения полных давлений, скоростей, скоростных напоров и других па­раметров потоков на разных сторонах танген­циального разрыва, исходящего из тройной точки. Это утверждение справедливо как для основных (традиционно рассматриваемых), так и для дополнительных (альтернативных) решений, описывающих тройные конфигура­ции, поэтому при поиске оптимальных режи­мов течения в тройных конфигурациях необ­ходимо учитывать неоднозначность решения определяющей системы уравнений.

Результаты, полученные теоретическим и численным путем, могут применяться в раз­личных приложениях газовой динамики. На­пример, большие перепады полного давления в сверхзвуковой газовой струе инициируют автоколебательные режимы ее взаимодействия с преградами, приводят к экстремальным аку­стическим и силовым нагрузкам в стартовых задачах. Различное трансляционное (перенос­ное) воздействие взрывных волн на тела, на­ходившиеся сверху и снизу от тройной точки, достигается ввиду значительного различия скоростных напоров потока по разные стороны тангенциального разрыва. Это явление может быть применено при конструировании взрыво­защитных устройств и анализе поражающего действия взрыва (особенно в замкнутых поме­щениях с неизбежным многократным отраже­нием ударных волн и их нерегулярным взаимодействием). Помимо этого, большие значения параметров потока за тройными конфигураци­ями затрудняют инициирование детонации в авиационных и ракетных двигателях соответ­ствующего типа и должны быть устранены при разработке этих устройств.