Перейти к:
Математическое моделирование неэвольвентного зубчатого зацепления
https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-4-84-92
Аннотация
Ключевые слова
Для цитирования:
Тимофеев Б.П., Ковалевич А.В. Математическое моделирование неэвольвентного зубчатого зацепления. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(4):84-92. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-4-84-92
For citation:
Timofeev B.P., Kovalevich A.V. Mathematical modeling of noninvolute gearing. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(4):84-92. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-4-84-92
Введение
Человечество применяет различные механизмы, в том числе и зубчатые, с древнейших времен [1]. Бурное развитие машинной техники в эпоху Возрождения дало толчок развитию зубчатых передач, например, итальянский часовщик Джованни Донди (1318-1387) создал описание планетарных (астрономических) часов [2].
Член Российской академии наук Леонард Эйлер (1707-1783) выявил уникальные свойства эвольвент круга и в 1754 г., задолго до формулирования теоремы Виллиса (1841), предложил использовать их в передачах. В настоящее время более 80 % всех передач в мире являются эвольвентными [3]. Такая передача относится к классу сопряженных зубчатых передач, в которых передаточное отношение при зацеплении одной пары зубьев остается постоянным и соответствует передаточному отношению за оборот.
Однако несопряженные передачи используются и в настоящее время, поскольку, например, до сих пор не удавалось сформировать сферическую эвольвентную поверхность и получить сопряженную коническую передачу.
Главное требование к несопряженным передачам было сформулировано так: необходимо получить пятно контакта, оторванное от всех кромок, в том числе от линии сопряжения (перехода, пересечения) активной и переходной поверхностей зуба. В несопряженных передачах поставлена следующая задача: исключить выход контакта на любую из кромок при всех возможных погрешностях зубчатых и незубчатых элементов передачи, монтажа и деформации под нагрузкой.
Стоит отметить, что постоянство передаточного отношения в любой момент времени, высокие точности, нечувствительность к погрешностям - наиболее значимые тенденции развития современных передач. В значительной степени малоизученные несопряженные зубчатые передачи зачастую обеспечивают один из заданных параметров, требуемых в решении узкоспециализированной прикладной задачи.
В данной статье рассмотрены несопряженные зубчатые передачи, зубьями которых является сочетание плоскостей и цилиндров или только цилиндров, некоторые из них широко применялись еще в древности. В работе Б. П. Тимофеева и А. А. Уланова [4] показано, что в этих передачах достигалась необходимая кривая функции положения за счет того, что в некоторый период зацепление осуществлялось при контакте поверхностей, а в другой - использовался контакт кромки с поверхностью. При этом функция положения приблизительно соответствовала «кривой Бакстера» [5, 6].
В настоящей статье рассмотрены зубчатые передачи с линейным контактом. Поставлена задача исключить из зацепления линию перехода плоскости и цилиндра ввиду возникновения в этой точке «мягкого» удара из-за скачка радиуса кривизны поверхности и нормального ускорения.
В первой части статьи представлены результаты математического моделирования передач зацеплением с точечным и линейным контактом в средеMATHCAD. Математическая модель реализует расчет геометрических параметров передачи с последующим расчетом значений кинематических параметров зацепления. Условием выполнения данного расчета является отсутствие кромочного контакта.
Далее для уменьшения скачка передаточного отношения и жесткого удара при пере- сопряжении предложено использовать новую компоновку - многорядную зубчатую передачу. Описаны результаты ее расчета в среде MATHCAD, твердотельное моделирование в среде Solidworks и создание макета методом 3D-печати.
Цилиндрические зубчатые колеса
В работе [4] исследована прямоугольная форма зуба зубчатого колеса. В данной статье в качестве объекта исследования представлена несопряженная зубчатая передача. В роли ведущего колеса выступает цевочное колесо, которое не изменяется в ходе исследования. В зацепление с цевочным колесом вступает зубчатое колесо с особой формой зуба. С учетом исторического опыта применения приближенных зубчатых передач в качестве первого профиля выбран простой прямоугольный зуб. Формы зубьев и цевки представляют прямые и дуги окружностей [7]. Для исследования выберем три основные формы зуба (рис. 1).
Рис. 1. Варианты форм зуба зубчатого колеса:
А - прямая форма зуба (прямоугольник со скруглением торцевой стороны); В - острая форма зуба, образованная прямыми, сходящимися к центру зубчатого колеса и дугой окружности; С - раскрытая форма зуба, образованная расходящимися прямыми
Для исследования выберем зацепление с теоретическим (номинальным - iн21) передаточным отношением, равным единице:
iн21 = Z2 / z1 = 1
Используем стандартный геометрический расчет, аналогичный применяемому для расчета эвольвентного зубчатого зацепления [8].
Геометрический расчет будем вести относительно цевочного колеса ввиду его геометрической простоты и универсальности для всех трех исследуемых случаев.
Введем следующие условия: радиус цевки ρц = 5 мм; радиусы головок всех видов зубьев будут равны между собой и численно равны радиусу цевки ρз = ρц = ρ.
Исходя из этого, рассчитаем шаг зубьев на начальной окружности:
p = 4ρц + с′m.
Здесь с′ - коэффициент бокового зазора;
m - условный модуль зубьев.
Примем коэффициент бокового зазора с' = 0,25. Вычислим значение шага зубьев непосредственно через модуль т.
p = πm.
Приравняв правые части двух определений значения шага, найдем значение модуля т. Затем определим диаметр начальной окружности по формуле
D = zm,
где z - число зубьев колеса (число цевок).
Примем количество цевок z = 12. Для цевочного колеса на начальном диаметре должны располагаться оси цевок.
Для зубчатых колес необходимо рассчитать высоту головки и ножки зуба. Высоту головки зуба примем равной ρ. Высота ножки зуба hf = 1,2 ρ.
Геометрические параметры рассматриваемой передачи следующие:
Рассмотрим процесс зацепления в передаче для одной пары зубьев (рис. 2).
- Контакт цевки с плоской частью зуба шестерни (контакт линия - окружность).
- Контакт цевки с круглой частью зуба (контакт окружность - окружность).
- Контакт цевки в точке сопряжения линии и дуги окружности, образующих форму зуба шестерни.
Рис. 2. Упрощенное изображение контакта форм зуба и цевки
В данном исследовании основными критериями оценки точности и плавности работы передачи выберем такие кинематические параметры, как функция ошибки положения, ошибки передаточного положения и коэффициент перекрытия. С помощью них можно оценить циклическую погрешность передачи, а также характер и величины ударов при пересопряжении [8].
Ошибку положения определим так:
Δφ2(φ1) = φ2(φ1) φ1iн2,
где Δφ2(φ1) - функция ошибки положения ведомого колеса;
φ2(φ1) - функция положения ведомого колеса;
φ1 - угол поворота ведущего колеса;
iн21 - номинальное передаточное отношение.
Далее вычислим реальное значение передаточного отношения. Мгновенное передаточное отношение - это производная функции положения по углу поворота ведущего колеса φ1:
Определим ошибку функции передаточного отношения:
Δi21(φ1) = i21(φ1) - i21(φ1).
Математическое моделирование и построение кинематических характеристик исследуемой передачи проводилось в программном пакете MATHCAD (компания Parametric Technology Corporation, PTC) с использованием матричных методов [7-9] (рис. 3). Данный программный пакет удобен и широко известен. Матрицы взаимной ориентации радиусов-векторов и ортов нормалей непосредственно задаются в рабочей области для составления системы тригонометрических уравнений с последующим решением методом Рунге - Кутта.
Рис. 3. Геометрические параметры и положение систем координат математической модели зацепления шестерни и цевочного колеса
Применение систем автоматизированных расчетов значительно упрощает процесс получения функциональных зависимостей с последующим анализом и визуализации полученных результатов. В том числе с помощью продуктов корпорации PTC можно проводить комплексные процедуры проектирования, объединяя такие продукты, как MATHCAD и Creo [10-12]. Математический аппарат этих программ схож, что позволяет с помощью их связки автоматизированно проектировать детали и узлы, основываясь на расчетном файле. Сквозная передача параметров математической модели также возможна в системах автоматизированного проектирования (САПР) прочих производителей.
Положение точки контакта определялось на профиле зуба ведущего колеса и цевки, затем посредством матриц перехода - положение точки относительно неподвижной системы координат. В качестве примера перевода радиус-вектора R1 из системы координат S1 в систему S0 приведем уравнение:
R0 = M01R1, (1)
где M01 - матрица перехода от S1 к S0.
Были использованы следующие матрицы перехода:
Здесь R соответствует D/2;
φ2 - угол поворота ведомого колеса.
Геометрия профилей учитывается при определении радиус-векторов (R) и ортов нормалей (E) относительно ведущего (8) и ведомого (9) колес, а также при матричных переходах между промежуточными системами координат.
где - радиус-вектор точки контакта относительно зуба в системе координат S3;
- орт нормали в точке контакта относительно зуба;
- радиус-вектор точки контакта относительно цевки в системе координат S4;
- орт нормали относительно цевки;
θ1, θ2 - углы положения точки контакта на окружности зуба и цевки соответственно.
Таким образом, была составлена система уравнений проекций радиус-векторов положения точки контакта и проекций ортов нормалей профилей в этой точке (10). Решением этой системы уравнений является функция положения φ2(φ1):
Математическая модель представляет собой систему тригонометрических уравнений и позволяет рассчитывать значения кинематических параметров зацепления, таких как функция ошибки положения, функция ошибки передаточного отношения и коэффициент торцевого перекрытия. С помощью этих критериев можно оценить циклическую погрешность передачи, а также характер и величины ударов при пересопряжении [8].
По итогам моделирования зацепления и анализа функций ошибки положения и ошибки передаточного отношения можно заключить, что б0льшим преимуществом обладает контакт острого зуба формы B с цевкой. На протяжении всего времени зацепления одной пары функция передаточного отношения не имеет скачков.
Функции положения и передаточного отношения дифференцируемы и непрерывны на всем протяжении диапазона шага в отличие от тех же функций для форм A и C.
На рис. 4 видим, что для функции ошибки положения Α(φ1) выполняется требование непрерывности. Момент пересопряжения соседних пар зубьев представлен скачком передаточного отношения. Такие скачки функции являются индикаторами жестких ударов. Однако отметим, что в процессе сопряжения одной пары зубьев нет ни жестких, ни мягких ударов. А коэффициент перекрытия за время поворота на угловой шаг ε = 1. Амплитуда функции Α(φ1) составляет Δ^ηαχ = 0,006 рад (рис. 4).
Рис. 4. Функции ошибки положения Α(φ1) (а) и передаточного отношения Β(φ1) (б) при пересопряжении трех пар зубьев
Ввиду полученных характеристик, описанных выше, данная передача не может обеспечивать должный уровень точности и плавности движения. При этом кромочный контакт в процессе зацепления одной пары зубьев отсутствует. Скачки передаточного отношения наблюдаются только при пересопряжении.
Для кардинального улучшения характеристик зацепления необходимо изменить подход к модернизации элементов передачи. В связи с этим предлагаем новую компоновку описанных выше зубчатых колес.
Многорядное зубчатое колесо Для улучшения характеристик передачи исследуем новую компоновку - многорядные зубчатые колеса. Элементарную передачу плоского зубчатого колеса и цевочного колеса, описанную выше, расположим в n рядов, сместив каждый последующий ряд на угол
γ = τ/n,
где τ - угловой шаг колеса; τ = 2π/z;
n - количество рядов.
В результате получим многорядную (псев- докосозубую) передачу, в которой полностью отсутствуют осевые составляющие нагрузки при передаче движения (рис. 5). Новизна этой компоновки заключается в возможности уйти от изготовления сложной винтовой поверхности зубьев, при определенных допущениях по точности и скорости работы передачи.
Рис. 5. Многорядное зубчатое колесо
Для данного исполнения зубчатого и цевочного колеса было принято количество рядов n = 6, при этом смещение рядов равное. Из этого следует, что угол γ = 5°. Параметры данной конфигурации являются первичными для данного исследования. Определим функции ошибки положения и передаточного отношения (рис. 6).
Рис. 6. Функции ошибки положения С(φ1) (а) и передаточного отношения Д(φ1) (б) для зацепления многорядных зубчатых колес
На рис. 6 видно, что за счет перехода зацепления на последующие ряды (слои) зубчатого колеса удается уменьшить амплитуду функции ошибки положения C(φ1) и, как следствие, повысить точность и плавность передачи движения.
Из графика C(φ1) (см. рис. 6) видим, что амплитуда функции Δymax ≈ 3 ·10-4 рад. Следовательно . Такое значение немногим менее шестой степени точности по показателю плавности по ГОСТ 1643-81 для аналогичных параметров эвольвентных цилиндрических зубчатых колес [13]. Очевидно, что при увеличении количества рядов многорядной передачи будет уменьшаться значение амплитуды функции ошибки передаточного отношения.
Рассмотрим график функции ошибки передаточного отношения для многорядной передачи D(φ1) (см. рис. 6). Здесь видны характерные скачки функции при пересопряжении. Однако, в отличие от однорядного зацепления, угол, при котором контактирует одна пара, равен γ. За счет этого уменьшилось абсолютное значение перепада: от 0,24 при однорядном зацеплении до 0,02 при многорядном (с 6 рядами). Можно ожидать, что также уменьшатся шумы при эксплуатации и износ зубчатых колес. Учитывая, что теоретическое передаточное значение для исследуемых зубчатых колес - единица, получаем, что ошибка функции передаточного отношения варьируется в пределах 2 %.
Отдельно было проведено моделирование при передаточных отношениях iн21 = 2,5 и iн21 = 3,17, где размерности и характеры функций приблизительно схожи, и ошибка передаточного отношения варьируется около 2 %.
На основе проведенных расчетов для многорядной зубчатой передачи были построены 3D-модели однослойных зубчатых колес и многорядных зубчатых колес. Моделирование проводилось в среде автоматизированного проектирования SolidWorks. На базе этой программы также было проведено физическое моделирование холостого хода передачи с помощью программных пакетов Motion и Simulation (рис. 7). Основное внимание уделялось кинематическим параметрам. Моделирование многорядного зубчатого зацепления согласуется с полученными графиками.
Создан макет многорядного зацепления. В ходе поиска технологии для воспроизведения макета предварительно был рассмотрен вариант изготовления зубчатых колес из конструкционной стали 3 методом лазерной резки (рис. 8). Однако менее затратным и простым в вопросе постобработки стало изготовление макета с помощью методов аддитивных технологий.
Рис. 8. Пример изготовления зубчатого колеса методом лазерной резки
Все элементы макета были напечатаны на 3D-принтере FDM технологии (Fused Deposition Modeling) ABS пластиком (акрило- нитрилбутадиенстирол). Данный материал был выбран главным образом по причине его высоких механических свойств (по сравнению с пластиками, доступными для бытовой печати), и легкости механической обработки (рис. 9).
Рис. 9. Макет многорядного зацепления
В силу физических свойств пластиков, таких как усадка и старение, а также невысокой точности бытовых 3D-принтеров данный макет предназначен только для ознакомления. С его помощью можно оценить форму зубчатых колес, реализацию движения, визуализацию зацепления и особенностей работы передачи. Для испытаний кинематических и динамических характеристик планируется создание макета с использованием таких материалов, как стали и сплавы алюминия, с помощью высокопроизводительных средств механической обработки.
Заключение
На данном этапе исследования проведен анализ кинематики несопряженных зубчатых колес, определены характеристики. На основании плоского зацепления предложена новая модель многорядного зацепления для улучшения кинематических характеристик. Проведены кинематический анализ и 3D-моделирование многорядной передачи, изготовлен макет многорядного колеса.
Передачи с простыми кинематическими парами, где взаимодействие происходит между поверхностями первого и второго порядка, как показано в данной статье, могут быть использованы и сегодня. Основное применение таких передач в машинах, где главным качеством будет возможность восстановления передачи, не требующее использования зубонарезающих станков и приспособлений. Кроме того, такие передачи могут быть использованы для экспериментальных установок, поскольку при этом возможно оперативно изменить параметры при незначительных временных затратах на проектирование и изготовление.
Дальнейшие исследования темы приближенных многорядных передач с простейшими формами зубьев ориентированы на вопросы динамики, конструктивные и технологические вопросы изготовления, расчеты механических параметров зубчатых колес и оптимизацию характеристик таких передач.
Список литературы
1. Дильс Г. А. Античная техника. М.-Л.: ОНТИ Гос. техн.-теор. изд-во, 1934. 215 с.
2. Пипуныров В. Н. История часов с древнейших времен до наших дней. М.: Наука, 1982. 496 с.
3. Бабичев Д. Т., Волков А. Э. История развития зубчатых передач // Вестник научно-технического развития, 2015. № 5. 42 с.
4. Тимофеев Б. П., Уланов А. А. Кинематика зубчатых передач традиционного вида // Теория механизмов и машин. 2013. № 2 (22).
5. Шевелева Г. И. Теория формообразования и контакта движущихся тел. М.: Мосстанкин, 1999. 494 с.
6. Тимофеев Б. П., Шалобаев Е. В. Состояние и перспективы нормирования точности зубчатых колес и передач // Вестник машиностроения. 1990. № 12. С. 34–36.
7. Тимофеев Б. П., Пономаренко М. Ю., Ковалевич А. В. Приближенные зубчатые передачи с кусочно-линейным контактом // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2018. Т. 61. № 2. С. 135–140.
8. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1968. 584 с.
9. Шевелева Г. И. Теория формообразования и контакта движущихся тел. М.: Мосстанкин, 1999. 494 с.
10. Интерактивная справка Creo Paramet ric5.0.4.0. URL: http://support.ptc.com/help/creo/creo_pma/russian/index.html (дата обращения: 20.02.2020).
11. Куликов Д. Д. САПР технологических процессов. Ч. 1. М.: СПбГУ ИТМО, кафедра технологии приборостроения. URL: https://de.ifmo.ru/bk_netra/start.php?bn=4 (дата обращения: 20.02.2020).
12. Гаврилов П. Я., Брезгин В. И. Объединение расчетной и проектирующей подсистемы при проектировании оборудования паротурбинных установок // Труды 3-й науч.-техн. конф. молодых ученых Уральского энергетического института. 2018 г. С. 143–145.
13. ГОСТ 1643–81. Основные нормы взаимозаменяемости. Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски. М.: ИПК Издательство стандартов, 1981. 45 с.
Об авторах
Б. П. ТимофеевРоссия
Тимофеев Борис Павлович – доктор технических наук, профессор, профессор факультета систем управления и робототехники. Область научных интересов: механика.
г. Санкт-Петербург
А. В. Ковалевич
Россия
Ковалевич Александр Валерьевич – инженер-конструктор 1-й категории Акционерного общества «Конструкторское бюро специального машиностроения», аспирант Университета ИТМО. Область научных интересов: механика.
г. Санкт-Петербург
Рецензия
Для цитирования:
Тимофеев Б.П., Ковалевич А.В. Математическое моделирование неэвольвентного зубчатого зацепления. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(4):84-92. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-4-84-92
For citation:
Timofeev B.P., Kovalevich A.V. Mathematical modeling of noninvolute gearing. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(4):84-92. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2019-4-84-92