Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Математическое моделирование неэвольвентного зубчатого зацепления

Полный текст:

Аннотация

Рассмотрены несопряженные зубчатые передачи с линейным контактом, зубьями которых является сочетание плоскостей и цилиндров или только цилиндров. Для оптимизации кинематических характеристик предложено использовать новую компоновку – многорядную зубчатую передачу.

Для цитирования:


Тимофеев Б.П., Ковалевич А.В. Математическое моделирование неэвольвентного зубчатого зацепления. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(4):84-92.

For citation:


Timofeev B.P., Kovalevich A.V. Mathematical modeling of noninvolute gearing. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(4):84-92. (In Russ.)

Введение

Человечество применяет различные механиз­мы, в том числе и зубчатые, с древнейших времен [1]. Бурное развитие машинной тех­ники в эпоху Возрождения дало толчок развитию зубчатых передач, например, итальян­ский часовщик Джованни Донди (1318-1387) создал описание планетарных (астрономиче­ских) часов [2].

Член Российской академии наук Лео­нард Эйлер (1707-1783) выявил уникальные свойства эвольвент круга и в 1754 г., задолго до формулирования теоремы Виллиса (1841), предложил использовать их в передачах. В на­стоящее время более 80 % всех передач в мире являются эвольвентными [3]. Такая передача относится к классу сопряженных зубчатых передач, в которых передаточное отношение при зацеплении одной пары зубьев остается постоянным и соответствует передаточному отношению за оборот.

Однако несопряженные передачи ис­пользуются и в настоящее время, поскольку, например, до сих пор не удавалось сформи­ровать сферическую эвольвентную поверх­ность и получить сопряженную коническую передачу.

Главное требование к несопряженным передачам было сформулировано так: необхо­димо получить пятно контакта, оторванное от всех кромок, в том числе от линии сопряжения (перехода, пересечения) активной и пере­ходной поверхностей зуба. В несопряженных передачах поставлена следующая задача: ис­ключить выход контакта на любую из кромок при всех возможных погрешностях зубчатых и незубчатых элементов передачи, монтажа и деформации под нагрузкой.

Стоит отметить, что постоянство переда­точного отношения в любой момент времени, высокие точности, нечувствительность к по­грешностям - наиболее значимые тенденции развития современных передач. В значитель­ной степени малоизученные несопряженные зубчатые передачи зачастую обеспечивают один из заданных параметров, требуемых в решении узкоспециализированной приклад­ной задачи.

В данной статье рассмотрены несопря­женные зубчатые передачи, зубьями которых является сочетание плоскостей и цилиндров или только цилиндров, некоторые из них широко применялись еще в древности. В работе Б. П. Тимофеева и А. А. Уланова [4] показано, что в этих передачах достигалась необходимая кривая функции положения за счет того, что в некоторый период зацепление осуществлялось при контакте поверхностей, а в другой - ис­пользовался контакт кромки с поверхностью. При этом функция положения приблизитель­но соответствовала «кривой Бакстера» [5, 6].

В настоящей статье рассмотрены зубча­тые передачи с линейным контактом. Постав­лена задача исключить из зацепления линию перехода плоскости и цилиндра ввиду возник­новения в этой точке «мягкого» удара из-за скачка радиуса кривизны поверхности и нор­мального ускорения.

В первой части статьи представлены ре­зультаты математического моделирования пе­редач зацеплением с точечным и линейным контактом в средеMATHCAD. Математическая модель реализует расчет геометрических па­раметров передачи с последующим расчетом значений кинематических параметров заце­пления. Условием выполнения данного расче­та является отсутствие кромочного контакта.

Далее для уменьшения скачка передаточ­ного отношения и жесткого удара при пере- сопряжении предложено использовать новую компоновку - многорядную зубчатую пере­дачу. Описаны результаты ее расчета в среде MATHCAD, твердотельное моделирование в среде Solidworks и создание макета методом 3D-печати.

Цилиндрические зубчатые колеса

В работе [4] исследована прямоугольная фор­ма зуба зубчатого колеса. В данной статье в качестве объекта исследования представле­на несопряженная зубчатая передача. В роли ведущего колеса выступает цевочное колесо, которое не изменяется в ходе исследования. В зацепление с цевочным колесом вступает зубчатое колесо с особой формой зуба. С уче­том исторического опыта применения прибли­женных зубчатых передач в качестве первого профиля выбран простой прямоугольный зуб. Формы зубьев и цевки представляют прямые и дуги окружностей [7]. Для исследования вы­берем три основные формы зуба (рис. 1).

 

Рис. 1. Варианты форм зуба зубчатого колеса:

А - прямая форма зуба (прямоугольник со скруглением торцевой стороны); В - острая форма зуба, образо­ванная прямыми, сходящимися к центру зубчатого ко­леса и дугой окружности; С - раскрытая форма зуба, образованная расходящимися прямыми

 

Для исследования выберем зацепление с теоретическим (номинальным - iн21) переда­точным отношением, равным единице:

iн21 = Z2 / z1 = 1

Используем стандартный геометрический расчет, аналогичный применяемому для рас­чета эвольвентного зубчатого зацепления [8].

Геометрический расчет будем вести от­носительно цевочного колеса ввиду его гео­метрической простоты и универсальности для всех трех исследуемых случаев.

Введем следующие условия: радиус цев­ки ρц = 5 мм; радиусы головок всех видов зу­бьев будут равны между собой и численно равны радиусу цевки ρз = ρц = ρ.

Исходя из этого, рассчитаем шаг зубьев на начальной окружности:

p = 4ρц + с′m.

Здесь с′ - коэффициент бокового зазора;

m - условный модуль зубьев.

Примем коэффициент бокового зазора с' = 0,25. Вычислим значение шага зубьев не­посредственно через модуль т.

p = πm.

Приравняв правые части двух определе­ний значения шага, найдем значение модуля т. Затем определим диаметр начальной окружно­сти по формуле

D = zm,

где z - число зубьев колеса (число цевок).

Примем количество цевок z = 12. Для це­вочного колеса на начальном диаметре должны располагаться оси цевок.

Для зубчатых колес необходимо рассчи­тать высоту головки и ножки зуба. Высоту го­ловки зуба примем равной ρ. Высота ножки зуба hf = 1,2 ρ.

Геометрические параметры рассматри­ваемой передачи следующие:

Рассмотрим процесс зацепления в пере­даче для одной пары зубьев (рис. 2).

  1. Контакт цевки с плоской частью зуба шестерни (контакт линия - окружность).
  2. Контакт цевки с круглой частью зуба (контакт окружность - окружность).
  3. Контакт цевки в точке сопряжения линии и дуги окружности, образующих форму зуба шестерни.

 


Рис. 2. Упрощенное изображение контакта форм зуба и цевки

 

В данном исследовании основными кри­териями оценки точности и плавности работы передачи выберем такие кинематические пара­метры, как функция ошибки положения, ошиб­ки передаточного положения и коэффициент перекрытия. С помощью них можно оценить циклическую погрешность передачи, а также характер и величины ударов при пересопряжении [8].

Ошибку положения определим так:

Δφ21) = φ21) φ1iн2,

где Δφ21) - функция ошибки положения ве­домого колеса;

φ21) - функция положения ведомого ко­леса;

φ1 - угол поворота ведущего колеса;

iн21 - номинальное передаточное отноше­ние.

Далее вычислим реальное значение пере­даточного отношения. Мгновенное передаточ­ное отношение - это производная функции по­ложения по углу поворота ведущего колеса φ1:

Определим ошибку функции передаточ­ного отношения:

Δi211) = i211) -  i211).

Математическое моделирование и по­строение кинематических характеристик ис­следуемой передачи проводилось в программ­ном пакете MATHCAD (компания Parametric Technology Corporation, PTC) с использовани­ем матричных методов [7-9] (рис. 3). Данный программный пакет удобен и широко известен. Матрицы взаимной ориентации радиусов-век­торов и ортов нормалей непосредственно за­даются в рабочей области для составления системы тригонометрических уравнений с по­следующим решением методом Рунге - Кутта.

 

Рис. 3. Геометрические параметры и положение систем координат математической модели зацепления шестер­ни и цевочного колеса

 

Применение систем автоматизирован­ных расчетов значительно упрощает процесс получения функциональных зависимостей с последующим анализом и визуализации полу­ченных результатов. В том числе с помощью продуктов корпорации PTC можно проводить комплексные процедуры проектирования, объ­единяя такие продукты, как MATHCAD и Creo [10-12]. Математический аппарат этих про­грамм схож, что позволяет с помощью их связ­ки автоматизированно проектировать детали и узлы, основываясь на расчетном файле. Сквоз­ная передача параметров математической мо­дели также возможна в системах автомати­зированного проектирования (САПР) прочих производителей.

Положение точки контакта определялось на профиле зуба ведущего колеса и цевки, за­тем посредством матриц перехода - положе­ние точки относительно неподвижной систе­мы координат. В качестве примера перевода радиус-вектора R1 из системы координат S1 в систему S0 приведем уравнение:

R0 = M01R1,                                                     (1)

где M01 - матрица перехода от S1 к S0.

Были использованы следующие матри­цы перехода:


 

Здесь R соответствует D/2;

φ2 - угол поворота ведомого колеса.

Геометрия профилей учитывается при определении радиус-векторов (R) и ортов нор­малей (E) относительно ведущего (8) и ведомого (9) колес, а также при матричных переходах между промежуточными системами координат.

где - радиус-вектор точки контакта относи­тельно зуба в системе координат S3;

- орт нормали в точке контакта относи­тельно зуба;

- радиус-вектор точки контакта относи­тельно цевки в системе координат S4;

- орт нормали относительно цевки;

θ1, θ2 - углы положения точки контакта на окружности зуба и цевки соответственно.

Таким образом, была составлена система уравнений проекций радиус-векторов положения точки контакта и проекций ортов нормалей про­филей в этой точке (10). Решением этой системы уравнений является функция положения φ21):


Математическая модель представляет со­бой систему тригонометрических уравнений и позволяет рассчитывать значения кинематиче­ских параметров зацепления, таких как функция ошибки положения, функция ошибки переда­точного отношения и коэффициент торцевого перекрытия. С помощью этих критериев можно оценить циклическую погрешность передачи, а также характер и величины ударов при пересопряжении [8].

По итогам моделирования зацепления и анализа функций ошибки положения и ошиб­ки передаточного отношения можно заключить, что б0льшим преимуществом обладает контакт острого зуба формы B с цевкой. На протяжении всего времени зацепления одной пары функ­ция передаточного отношения не имеет скачков.

Функции положения и передаточного отноше­ния дифференцируемы и непрерывны на всем протяжении диапазона шага в отличие от тех же функций для форм A и C.

На рис. 4 видим, что для функции ошибки положения Α(φ1) выполняется требование непре­рывности. Момент пересопряжения соседних пар зубьев представлен скачком передаточного отношения. Такие скачки функции являются ин­дикаторами жестких ударов. Однако отметим, что в процессе сопряжения одной пары зубьев нет ни жестких, ни мягких ударов. А коэффициент перекрытия за время поворота на угловой шаг ε = 1. Амплитуда функции Α(φ1) составляет Δ^ηαχ = 0,006 рад (рис. 4).

 

Рис. 4. Функции ошибки положения Α(φ1) (а) и пере­даточного отношения Β(φ1) (б) при пересопряжении трех пар зубьев

 

Ввиду полученных характеристик, опи­санных выше, данная передача не может обеспе­чивать должный уровень точности и плавности движения. При этом кромочный контакт в про­цессе зацепления одной пары зубьев отсутствует. Скачки передаточного отношения наблюдаются только при пересопряжении.

Для кардинального улучшения характери­стик зацепления необходимо изменить подход к модернизации элементов передачи. В связи с этим предлагаем новую компоновку описанных выше зубчатых колес.

Многорядное зубчатое колесо Для улучшения характеристик передачи ис­следуем новую компоновку - многорядные зубчатые колеса. Элементарную передачу плоского зубчатого колеса и цевочного коле­са, описанную выше, расположим в n рядов, сместив каждый последующий ряд на угол

γ = τ/n,

где τ - угловой шаг колеса; τ = 2π/z;

n - количество рядов.

В результате получим многорядную (псев- докосозубую) передачу, в которой полностью отсутствуют осевые составляющие нагрузки при передаче движения (рис. 5). Новизна этой ком­поновки заключается в возможности уйти от изготовления сложной винтовой поверхности зубьев, при определенных допущениях по точ­ности и скорости работы передачи.

 

Рис. 5. Многорядное зубчатое колесо

 

Для данного исполнения зубчатого и це­вочного колеса было принято количество рядов n = 6, при этом смещение рядов равное. Из этого следует, что угол γ = 5°. Параметры данной конфигурации являются первичными для данного исследования. Определим функ­ции ошибки положения и передаточного отно­шения (рис. 6).

 

Рис. 6. Функции ошибки положения С(φ1) (а) и пере­даточного отношения Д(φ1) (б) для зацепления много­рядных зубчатых колес

 

На рис. 6 видно, что за счет перехода зацепления на последующие ряды (слои) зуб­чатого колеса удается уменьшить амплитуду функции ошибки положения C(φ1) и, как следствие, повысить точность и плавность переда­чи движения.

Из графика C(φ1) (см. рис. 6) видим, что амплитуда функции Δymax ≈ 3 ·10-4 рад. Следова­тельно . Такое значение немногим менее шестой степени точности по показателю плавности по ГОСТ 1643-81 для аналогичных параметров эвольвентных цилиндрических зуб­чатых колес [13]. Очевидно, что при увеличе­нии количества рядов многорядной передачи будет уменьшаться значение амплитуды функ­ции ошибки передаточного отношения.

Рассмотрим график функции ошибки передаточного отношения для многорядной передачи D(φ1) (см. рис. 6). Здесь видны харак­терные скачки функции при пересопряжении. Однако, в отличие от однорядного зацепления, угол, при котором контактирует одна пара, ра­вен γ. За счет этого уменьшилось абсолютное значение перепада: от 0,24 при однорядном зацеплении до 0,02 при многорядном (с 6 ря­дами). Можно ожидать, что также уменьшат­ся шумы при эксплуатации и износ зубчатых колес. Учитывая, что теоретическое переда­точное значение для исследуемых зубчатых колес - единица, получаем, что ошибка функ­ции передаточного отношения варьируется в пределах 2 %.

Отдельно было проведено моделирова­ние при передаточных отношениях iн21 = 2,5 и iн21 = 3,17, где размерности и характеры функ­ций приблизительно схожи, и ошибка пере­даточного отношения варьируется около 2 %.

На основе проведенных расчетов для мно­горядной зубчатой передачи были построены 3D-модели однослойных зубчатых колес и мно­горядных зубчатых колес. Моделирование про­водилось в среде автоматизированного проек­тирования SolidWorks. На базе этой программы также было проведено физическое моделиро­вание холостого хода передачи с помощью про­граммных пакетов Motion и Simulation (рис. 7). Основное внимание уделялось кинематиче­ским параметрам. Моделирование многоряд­ного зубчатого зацепления согласуется с по­лученными графиками.

Создан макет многорядного зацепления. В ходе поиска технологии для воспроизведения макета предварительно был рассмотрен вариант изготовления зубчатых колес из конструкцион­ной стали 3 методом лазерной резки (рис. 8). Однако менее затратным и простым в вопро­се постобработки стало изготовление макета с помощью методов аддитивных технологий.

 

Рис. 8. Пример изготовления зубчатого колеса мето­дом лазерной резки

 

Все элементы макета были напечата­ны на 3D-принтере FDM технологии (Fused Deposition Modeling) ABS пластиком (акрило- нитрилбутадиенстирол). Данный материал был выбран главным образом по причине его вы­соких механических свойств (по сравнению с пластиками, доступными для бытовой печати), и легкости механической обработки (рис. 9).

 

Рис. 9. Макет многорядного зацепления

 

В силу физических свойств пластиков, таких как усадка и старение, а также невысо­кой точности бытовых 3D-принтеров данный макет предназначен только для ознакомле­ния. С его помощью можно оценить форму зубчатых колес, реализацию движения, визу­ализацию зацепления и особенностей рабо­ты передачи. Для испытаний кинематических и динамических характеристик планируется создание макета с использованием таких ма­териалов, как стали и сплавы алюминия, с помощью высокопроизводительных средств механической обработки.

Заключение

На данном этапе исследования проведен ана­лиз кинематики несопряженных зубчатых ко­лес, определены характеристики. На основа­нии плоского зацепления предложена новая модель многорядного зацепления для улуч­шения кинематических характеристик. Про­ведены кинематический анализ и 3D-моделирование многорядной передачи, изготовлен макет многорядного колеса.

Передачи с простыми кинематическими парами, где взаимодействие происходит между поверхностями первого и второго порядка, как показано в данной статье, могут быть исполь­зованы и сегодня. Основное применение таких передач в машинах, где главным качеством будет возможность восстановления передачи, не требующее использования зубонарезающих станков и приспособлений. Кроме того, такие передачи могут быть использованы для экспе­риментальных установок, поскольку при этом возможно оперативно изменить параметры при незначительных временных затратах на проек­тирование и изготовление.

Дальнейшие исследования темы прибли­женных многорядных передач с простейшими формами зубьев ориентированы на вопросы динамики, конструктивные и технологические вопросы изготовления, расчеты механических параметров зубчатых колес и оптимизацию ха­рактеристик таких передач.

Список литературы

1. Дильс Г. А. Античная техника. М.-Л.: ОНТИ Гос. техн.-теор. изд-во, 1934. 215 с.

2. Пипуныров В. Н. История часов с древнейших времен до наших дней. М.: Наука, 1982. 496 с.

3. Бабичев Д. Т., Волков А. Э. История развития зубчатых передач // Вестник научно-технического развития, 2015. № 5. 42 с.

4. Тимофеев Б. П., Уланов А. А. Кинематика зубчатых передач традиционного вида // Теория механизмов и машин. 2013. № 2 (22).

5. Шевелева Г. И. Теория формообразования и контакта движущихся тел. М.: Мосстанкин, 1999. 494 с.

6. Тимофеев Б. П., Шалобаев Е. В. Состояние и перспективы нормирования точности зубчатых колес и передач // Вестник машиностроения. 1990. № 12. С. 34–36.

7. Тимофеев Б. П., Пономаренко М. Ю., Ковалевич А. В. Приближенные зубчатые передачи с кусочно-линейным контактом // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2018. Т. 61. № 2. С. 135–140.

8. Литвин Ф. Л. Теория зубчатых зацеплений. М.: Наука, 1968. 584 с.

9. Шевелева Г. И. Теория формообразования и контакта движущихся тел. М.: Мосстанкин, 1999. 494 с.

10. Интерактивная справка Creo Paramet ric5.0.4.0. URL: http://support.ptc.com/help/creo/creo_pma/russian/index.html (дата обращения: 20.02.2020).

11. Куликов Д. Д. САПР технологических процессов. Ч. 1. М.: СПбГУ ИТМО, кафедра технологии приборостроения. URL: https://de.ifmo.ru/bk_netra/start.php?bn=4 (дата обращения: 20.02.2020).

12. Гаврилов П. Я., Брезгин В. И. Объединение расчетной и проектирующей подсистемы при проектировании оборудования паротурбинных установок // Труды 3-й науч.-техн. конф. молодых ученых Уральского энергетического института. 2018 г. С. 143–145.

13. ГОСТ 1643–81. Основные нормы взаимозаменяемости. Передачи зубчатые цилиндрические. Допуски. М.: ИПК Издательство стандартов, 1981. 45 с.


Об авторах

Б. П. Тимофеев
Университет ИТМО
Россия

Тимофеев Борис Павлович – доктор технических наук, профессор, профессор факультета систем управления и робототехники. Область научных интересов: механика.

г. Санкт-Петербург



А. В. Ковалевич
Акционерное общество «Конструкторское бюро специального машиностроения»; Университет ИТМО
Россия

Ковалевич Александр Валерьевич – инженер-конструктор 1-й категории Акционерного общества «Конструкторское бюро специального машиностроения», аспирант Университета ИТМО. Область научных интересов: механика.

г. Санкт-Петербург



Для цитирования:


Тимофеев Б.П., Ковалевич А.В. Математическое моделирование неэвольвентного зубчатого зацепления. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2019;(4):84-92.

For citation:


Timofeev B.P., Kovalevich A.V. Mathematical modeling of noninvolute gearing. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2019;(4):84-92. (In Russ.)

Просмотров: 49


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)