Применение метода дробных шагов для решения задач гидромеханических процессов в поршневой паре аксиально-поршневых гидромашин с наклонным диском

Наиболее ответственный узел аксиально-порш­невой гидромашины с наклонным диском - это поршневой механизм. От его функционирова­ния зависят характеристики всей гидромаши­ны, такие как коэффициент полезного действия (КПД), а также статические и динамические характеристики. Динамические характеристи­ки поршневых гидромашин зависят от зоны не­чувствительности, возникающей при реверсе гидромашины в связи с высокими значениями сил трения и объемными утечками.

Аксиально-поршневые гидромашины широко представлены в приводах, где требу­ется высокое давление при высоких частотах вращения выходного вала. Данные гидромаши­ны обеспечивают энергоемкость, что делает их безальтернативными для силового гидравличе­ского привода в ряде образцов техники: приво­ды подъема качающейся части; приводы гори- зонтирования; привод отбора мощности и др.

Гидромашины востребованы и в энерго­емких высокоточных приводах. В первую оче­редь это приводы, к которым предъявляются требования по статическим и динамическим характеристикам: приводы летательных аппа­ратов; объемные гидромеханические переда­чи наземной техники различного назначения, обеспечивающие передачу энергии с приводя­щего двигателя машины на исполнительные механизмы [1, 2].

Аксиально-поршневые гидромашины с наклонным диском (АПГНД) обладают такими преимуществами, как относительная простота конструкции и более удобные компоновоч­ные характеристики в сравнении с аксиально­поршневыми гидромашинами с наклонным блоком (АПГНБ). Однако актуальной пробле­мой для таких машин является обеспечение работы на низких оборотах и в режиме стра- гивания, чего можно достичь за счет снижения сил трения в поршневой паре.

Цель данной статьи - уменьшение сил трения между поршнем и направляющей втул­кой. Эта задача может быть решена с помощью реализации жидкостного режима трения [3], возникающего при достаточно большой подъ­емной силе, вызываемой движением поршня относительно втулки. Для определения вели­чины гидродинамической силы, обусловлива­ющей жидкостный режим трения, необходи­мо вычислить гидродинамическое давление в поршневой паре [4].

Ось поршня, находясь под воздействием поперечной силы, развернута относительно оси направляющей втулки на максимально воз­можный угол, обусловленный величиной радиального зазора, создавая благоприятные ус­ловия для формирования «масляного клина». Однако при страгивании и малых скоростях движения поршня относительно внутренней поверхности направляющей втулки подъемная сила со стороны масляной пленки недоста­точна для обеспечения жидкостного режима трения [5]. Поверхность поршня находится в непосредственном контакте с внешней и вну­тренней кромками направляющей втулки, что обусловливает реализацию в поршневой паре высокого уровня трения (рис. 1).

На рис. 1 введены следующие обозна­чения:

u - линейная скорость точки на поверх­ности поршня при его вращении во втулке;

w - поступательная скорость точки на поверхности поршня относительно втулки;

l - длина направляющей втулки;

r - радиус поршня;

h - зазор между поршнем и внутренней поверхностью втулки.

В данном случае рассмотрены гидроди­намические процессы в паре поршень - на­правляющая втулка до момента «всплытия» поршня. Для построения поля гидродинами­ческого давления использована развертка по­верхности поршня, привязанная к декартовой системе координат с осями х и z. В виду того что радиус кривизны поверхности поршня на два порядка превосходит величину зазора, до­пускается использовать прямоугольную систе­му координат [4]. Координата у определяется толщиной слоя рабочей жидкости.

Линейную скорость точки на поверхно­сти поршня при его вращении во втулке можно вычистить по формуле

u = ωr,                                                              (1)

а поступательную скорость точки на поверх­ности поршня относительно втулки -

w = ωRtan(γ)sin(α).                                             (2)

Здесь ω - частота вращения вала гидромашины;

R - радиус блока цилиндров;

γ - угол наклона опорного диска;

α - угловое положение поршня в течение рабочего цикла.

Формула (1) применима для скольжения поверхности поршня по кромкам втулки. Соот­ветствующие формуле (1) уравнения скоростей на поверхности поршня в случае кинематики обкатывания поршнем кромок направляющей втулки представлены в работе [6].

На рис. 2 показаны основные геометри­ческие параметры зазора между поршнем и на­правляющей втулкой. Величина зазора по сече­нию вычислена с помощью теоремы синусов и представлена в уравнении (3). По длине втулки зазор при координате х, соответствующей не­посредственному контакту поршня и втулки, изменяется линейно от 0 до зазора, равного удвоенному значению номинального зазора h₀:

Формула (3) является менее универсаль­ной, чем используемая в работе Пелоси [7], однако для случая неизменного угла наклона θ высоту зазора с ее помощью вычислить значи­тельно проще. При использовании формулы (3) можно упростить вычисления поля давления в соответствии с уравнениями Рейнольдса.

Запишем уравнение Рейнольдса для ки­нематики поршневого механизма, при котором поршень совершает полный оборот относи­тельно внутренней поверхности направляю­щей втулки за один оборот вала и сохраняет максимальный угол наклона [6, 7]:

где p - гидродинамическое давление в слое рабочей жидкости;

μ - коэффициент динамической вязкости жидкости.

Как показано в работе [6], формула (4) применима лишь для кинематики, при кото­рой вращательное движение поршня во втулке имеет характер скольжения на обеих кромках. Также в работе [6] приведено уравнение Рей­нольдса для кинематики, при которой происхо­дит обкатывание поршнем внешней и внутрен­ней кромок втулки. Однако данное уравнение слишком громоздкое и содержит слагаемые второго и выше порядков малости. Для срав­нения последних для каждого слагаемого со­поставлено выражение, содержащее характер­ные величины:

Здесь v₀, u₀, W₀ - максимальные значения скоростей для заданной частоты вращения вала гидромашины.

Номинальный зазор имеет величину по­рядка 10 мкм, следовательно, можно исклю­чить слагаемые, имеющие два и более множи­телей h₀. Характерные величины скоростей V₀ и u₀ имеют один порядок малости, значение скорости w₀ может превышать данные состав­ляющие не более чем на порядок, а радиус и длина направляющей втулки принимают зна­чения порядка 10^-2 м. По этой причине слагае­мые, имеющие даже один множитель h₀, будут как минимум на три порядка меньше слагае­мого без данного множителя.

Итоговая формула для кинематики обка­тывания кромок втулки представлена в фор­муле

Для решения уравнений (4) и (5) исполь­зуется метод установления, в частности метод дробных шагов (или метод Яненко) [8]. При его использовании обеспечивается достаточно высокая точность вычислений. Метод дробных шагов подразумевает применение метода про­гонки в каждом полушаге по времени.

Запишем схему для первого и второго полушагов:

Здесь ∆τ - шаг по времени;

λ - коэффициент, определяющий ско­рость решения задачи;

к - номер шага по времени.

В данном случае время введено как фик­тивный параметр, каждый шаг итерации при вычислении итогового значения давления в каждой точке не отражает реальное измене­ние гидродинамического давления во времени. В связи с этим коэффициент λ выбран с учетом порядков и размерностей слагаемых. Коэффи­циент λ для первого и второго полушагов вы­бран в соответствии с коэффициентами метода прогонки:

• для первого полушага

• для второго полушага

Здесь d - диаметр поршня.

Выбраны шаги по пространственным координатамм  , шаг по времени  разница между шагами для за­вершения счета выбрана как разница в 0,0001 от значения функции.

На рис. 3 и 4 представлены развертка смазочного слоя между поршнем и втулкой при образовании в нем гидродинамического давле­ния, вызванного движением поршня во втулке. Поле давления на поверхности поршня при ки­нематике скольжения для положения поршня (см. рис. 3) для следующих параметров: α = 0; ω = 100 рад/с; r = 10 мм; h₀ = 12,5 мкм. Так, ось х соответствует развертке по длине окружности, а ось z - оси втулки. Пики давления находятся вблизи мест наименьшего зазора, т. е. наимень­шей толщины слоя, однако имеют некоторое смещение, как и описано в работах [4, 5].

Результаты вычислений, приведенные на рис. 3, подтверждены экспериментальными данными, приведенными в работе [7]. Сравне­ние значений давления на рис. 3, 4 подтвержда­ет результаты, полученные ранее в работе [6] иным численным методом и без отбрасывания слагаемых б0льшего порядка малости.

В соответствии с работой Коровчинского [4] и уравнениями (4) и (5) несущая способность гидродинамической силы масляной пленки прямо пропорциональна скорости вращения шипа в подшипнике (в данном случае - поршня во втулке). Для сравнения значений гидродинамической силы для кинематики скольжения и обкатывания без применения численного эксперимента проведено сравне­ние значений скоростей в точке, в которой, в соответствии с работой [4], гидродинамиче­ское давление должно достигать максимума. Для указанных условий такая точка находит­ся в 14° от места наименьшего зазора между втулкой и поршнем.

Для точки пикового давления скорость скольжения поршня во втулке останется рав­ной ur =ω, в то время как составляющая вра­щательной скорости ν' =ωr ⋅ sin14°.

Тогда отношение скоростей

Развертка высоты зазора в поршневой паре в поперечном сечении по форме близка к синусоиде, поэтому значение изменения высоты зазора по длине окружности будет иметь тот же порядок малости, что и значение высоты зазора.

Сопоставив правые части уравнений (4) и (5), полученного соотношения скоростей и принимая во внимание указанную выше оцен­ку порядка малости производной высоты зазора по координате х, получено соотношение

Значит, в случае кинематики обкатыва­ния несущая способность гидродинамиче­ской силы по крайней мере на четыре порядка выше, чем в случае скольжения поршня.

На рис. 5 представлены значения сум­марной гидродинамической силы на внешней кромке направляющей втулки для двух случаев кинематики поршневого механизма, полученные с помощью расчетов после вычисления значений поля давления.

В результате сравнения графиков установ­лено, что гидродинамическая сила, создаваемая при обкатывании, не менее чем на пять порядков превышает силу, создаваемую при скольжении. Таким образом, обеспечив данную кинематику, можно перейти к жидкостному режиму трения при более низких оборотах вала гидромашины, что улучшит работу на низких оборотах и при страгивании. Однако данная кинематика возмож­на только при сравнительно низких силах трения в паре поршень - башмак, что трудно реализу­емо при текущей конструкции гидромашины.

В результате проведенного исследования получены:

• упрощенная формула для толщины мас­ляного слоя в поршневой паре АПГНД;
• итоговое уравнение для давления в слое для случая обкатывания поршня кромок на­правляющей втулки.

Проведен численный эксперимент по вычислению поля давления для двух случаев кинематики, выполненного с помощью метода дробных шагов. Показано, что кинематика обкатывания поршнем кромок втулки позволяет создавать гидродинамическую силу, на пять порядков превышающую ту, что создается при кинематике скольжения поршня во втулке.