Preview

Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей»

Расширенный поиск

Оптимальное и комбинированное управление безредукторным приводом с моментным двигателем

https://doi.org/10.38013/2542-0542-2021-3-47-58

Полный текст:

Аннотация

В статье рассматривается задача обеспечения максимального быстродействия безредукторного привода, построенного на базе моментного двигателя. Поставленную задачу предлагается решить за счет реализации оптимального управления с упреждением в соответствии с принципом максимума Понтрягина и теоремы Фельдбаума о конечном числе переключений. При комбинированном управлении обеспечивается переход от оптимального управления к автоматическому регулированию в зоне стабилизации конечного состояния. Результаты математического моделирования подтверждают эффективность выбранных технических решений.

Для цитирования:


Цапцов А.В., Степовой А.В. Оптимальное и комбинированное управление безредукторным приводом с моментным двигателем. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2021;(3):47-58. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2021-3-47-58

For citation:


Tsaptsov A.V., Stepovoy A.V. Optimal and combined control of the direct drive with the torque motor. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2021;(3):47-58. (In Russ.) https://doi.org/10.38013/2542-0542-2021-3-47-58

Безредукторные приводы на базе моментных двигателей (МД) нашли широкое применение в различных областях народного хозяйства: приводы станков, опорно-поворотные устройства радиолокационных станций (РЛС), оптико-электронные станции (ОЭС) обзора и наблюдения, компрессорное оборудование, следящие координаторы, сервоприводы роботов и манипуляторов, гиростабилизированные платформы и др. [1],[2],[3],[4]. Безредукторный привод отличается плавностью работы, отсутствием люфтов и упругих деформаций, повышенной надежностью и увеличенным сроком эксплуатации.

В отдельных случаях к безредукторному приводу могут быть предъявлены жесткие требования по быстродействию в режимах отработки входного воздействия. Задача обеспечения максимального быстродействия изучается в теории оптимальных процессов. Синтез оптимального управления безредукторным приводом как динамической системой n-го порядка может быть выполнен в фазовом пространстве системы применением принципа максимума Понтрягина [5],[6],[7].

Согласно принципу максимума [5] оптимальное управление для динамической системы представляет собой кусочно-постоянную функцию времени с разрывами первого рода. В силу теоремы Фельдбаума [6] для линейной динамической системы n-го порядка, имеющей неположительные вещественные корни, оптимальное по быстродействию управление имеет на интервале управления не более (n – 1) переключений с одной границы допустимой области на другую. 

Синтез оптимального управления сводится к исследованию динамической системы в фазовом пространстве и построению линии переключения [7].

В качестве примера рассмотрим привод с малым углом поворота на базе двухфазной синхронной электрической машины типа ДБМ70 с постоянными магнитами на роторе. Динамическая модель привода с учетом известных допущений и соотношений [1, 2, 7, 8] приведена на рисунке 1. Динамическая модель реализована в среде Simulink (Matlab).

Привод представляет собой систему подчиненного регулирования с тремя вложенными контурами:
- токовый (моментный) контур. Обратная связь реализуется через датчик тока с передаточным коэффициентом Kdt;
- скоростной контур с обратной связью по датчику угловой скорости (ДУС);
- позиционный контур с обратной связью по датчику угла (ДУ).

Модель ДУС представлена фильтром Баттерворта 3-го порядка с рабочей полосой частот 400 Гц (по уровню –3 дБ), звеном квантования по уровню, по времени, запаздыванием и генератором измерительного шума со среднеквадратичным отклонением (СКО) 2,6 мкрад/ с/√Гц. Модель ДУ представлена безинерционным звеном, звеном запаздывания, звеном квантования по времени и звеном квантования по уровню с ценой младшего разряда 5’’.

Параметры динамической модели: P = 8; Kum = 1; Kdt = 0,25 А/В; L = 0,3 мГн; R = 0,75 Ом; Сm = 0,09 Нм/А; Ce = 0,09 В/рад/с; Kmt = 0,2 Нм/рад; Mtr = 0,005 Н; Jn = 0,07 кг×м2 .

Номинальный момент двигателя ДБМ70 составляет 0,16 Нм, а номинальная скорость вращения – 3000 об/мин.

Выбор значений коэффициентов П-регулятора (Kus = 40) и ПИ-регулятора (Ksk = 80; Kiz = 1) выполнен по методу динамического синтеза [8, 9]. Интегральная составляющая ПИ-регулятора ограничена в диапазоне от –0,01 до 0,01.

В модели привода сигнал управления U ограничен значением |UMAX| = 24 В, что соответствует предельно допустимой амплитуде тока 24 А для статорной обмотки двигателя ДБМ70 при выбранных настройках токового контура.

Перед синтезом оптимального управления динамическая модель привода (рис. 1) должна быть приведена к каноническому описанию [5]:

 (1)
где x1, …, xn – фазовые координаты динамической системы, определяющие ее состояние в каждый момент времени t;
u1, …, ur – параметры управления;
t – время;
i = 1, …, n.

Для этого упрощенно представим неизменяемую часть привода (токового контура с МД) в качестве бесколлекторного аналога двигателя постоянного тока [1, 2, 8, 10, 11] с передаточной функцией:

 (2)
где φ – угол поворота привода, рад;
U – сигнал управления, В;
TE – электромагнитная постоянная времени, с;
TM – электромеханическая постоянная времени, с;
p – оператор Лапласа.

Расчетные соотношения для определения значений TE и TM:

где Ktk, Ttk, K`, T1, T2 – промежуточные переменные.

 

Рис. 1. Динамическая модель безредукторного привода: Fin – входной сигнал по углу, рад; Fi – угол поворота привода, рад; Fi_du – выходной сигнал датчика угла, рад; Kus – коэффициент усиления П-регулятора позиционного контура; Ksk – коэффициент усиления ПИ-регулятора скоростного контура; Kiz – коэффициент изодрома ПИ-регулятора скоростного контура; U – сигнал управления, В; ЦАП – цифро-аналоговый преобразователь; P – число пар полюсов МД; Kum – коэффициент усилителя мощности; Kdt – передаточный коэффициент датчика тока, В/А; Isin, Icos – токи в статорных обмотках МД, А; L – индуктивность статорной обмотки МД, Гн; R – сопротивление статорной обмотки МД, Ом; Сm – моментный коэффициент МД, Нм/А; Ce – коэффициент противоЭДС, В/рад/с; M – момент МД, Нм; Mt – момент тяжения токопроводников, Нм; Kmt – удельный коэффициент момента тяжения, Нм/рад; Mtr – момент «сухого» трения, Нм; Jn – момент инерции нагрузки привода, кг×м2 ; ДУС – датчик угловой скорости; ДУ – датчик угла 

 

Понижение порядка динамического звена (2) достигается при выполнении условия [8]:

TM ≥ 10 × TE
8,6427 ≥ 0,003.

Тогда передаточная функция (2) приводится к еще более упрощенному виду:

с соответствующим дифференциальным уравнением 2-го порядка:

где K = Kum/Ce – коэффициент усиления;
T = TM – постоянная времени.

Окончательно приведем динамическую модель привода к канонической записи (1):


где φ,ω – угол поворота привода и его угловая скорость соответственно.

Задача синтеза оптимального по быстродействию управления безредукторным приводом формализуется следующим образом:
- для динамической системы (3) с областью допустимого управления |U| ≤ UMAX требуется синтезировать такое оптимальное управление UОПТ(φ,ω), которое переводит систему (3) из начального состояния:

0, ω0): φ(t0) = φ0; ω(t0) = ω0 (4)

в конечное:

К, ωК): φ(tК) = φК; ω(tК) = 0 (4)

за минимально возможное время: tKmin.

Поскольку программное оптимальное управление UОПТ(t) в силу теоремы Фельдбаума для системы 2-го порядка имеет структуру:


где t* – момент переключения, 
то для синтеза оптимального управления (в форме зависимости от текущего состояния системы UОПТ(φ,ω)) достаточно определить знак начального управления z и линию переключения знака управления в фазовом пространстве.

Выполнив подстановку переменных

из системы (3), получим уравнение, задающее траекторию системы в фазовом пространстве:

 (7)

Решение уравнения (7) несложно получить в аналитическом виде φ = φ(ω):

 (8)

Перейдем к координатам:

Δφ = φК – φ,
где Δφ – угловое рассогласование, рад.

В таком случае движение динамической системы (3) с оптимальным управлением UОПТ(Δφ,ω) всегда будет завершаться в начале координат (Δφ = 0;ω = 0).

Примем очевидное допущение φ0 = 0 и ω0 = 0 и перепишем уравнение (8) в следующем виде:

 (9)

В соответствии с (9) все фазовые траектории Δφ = Δφ(ω) делятся на два семейства: при U = UMAX и при U = –UMAX (рис. 2а).

Из анализа графиков следует, что перемещение в начало координат (Δφ = 0; ω = 0) происходит по двум траекториям:
- при ω > 0 и U = –UMAX;
- при ω < 0 и U = UMAX.

Соответственно, уравнение линии переключения (ЛП) примет следующий вид (рис. 2б):

 

Формально ЛП можно записать следующим образом: FЛП (Δφ,ω) = 0,

 

 

Линия переключения (11) разделяет фазовую плоскость (Δφ,ω) на две области. Знак переключения z оптимального управления (6) определяется в соответствии с правилом:

 (12)

Полученные расчетные соотношения не представляют сложности для современных вычислительных средств. Оптимальное управление (11)–(12) может быть реализовано практически в любом безредукторном приводе с цифровым управлением.

Результаты моделирования привода (рис. 1) с оптимальным управлением (11)– (12) при наличии запаздывания τ в реализации управления представлены на рисунках 3 и 7.

Вследствие наличия запаздываний в динамической системе смена знака управления происходит выше линии переключения. По окончании переходного процесса устанавливаются незатухающие колебания, которым на фазовой плоскости соответствует предельный цикл. Как видно из графиков, параметры колебаний не зависят от величины входного воздействия.

Согласно [7],[8] все малые постоянные времени в системе можно учесть в виде постоянного запаздывания τ.

 

Запаздывание τ приводит к смещению точки переключения N в точку 1 (см. рис. 4а) на величину Δωτ по оси ординат и на величину Δφτ по оси абсцисс. Приращения Δωτ и Δφτ за время τ определяются через систему дифференциальных уравнений (3):

Или, в силу малости τ:

где τ – обобщенное запаздывание, с;
Δφτ – приращение по углу за время τ, рад;
Δωτ – приращение по угловой скорости за время τ, рад/с.

Компенсация запаздывания τ достигается путем синтеза новой ЛП с упреждением таким образом, чтобы управляющее воздействие системы с запаздыванием и той же системы без запаздывания совпадали.

Синтез новой ЛП с упреждением проведем путем сдвига ЛП строго оптимального управления (11) на величины Δωτ и Δφτ против направления движения – с точки N в точку P (рис. 4а). Произведем замену измеренных координат (Δφ, ω) на упрежденные (ΔφУ, ωУ) и запишем уравнение ЛП с упреждением в соответствии с выражением (11):

Δφ,ω – измеренные координаты фазовой траектории динамической системы;
ΔφУУ – упрежденные координаты фазовой траектории динамической системы.

Упрежденные координаты ΔφУ, ωУ определяются по выражениям (13)–(14).

Линия переключения (15) визуализируется кривой PO1O2P’ на рисунке 4.

В общем случае численное значение τ неизвестно, но может быть определено через параметры предельного цикла [7]:

1) Уравнение фазовой траектории (9) для точки N имеет следующий вид:
- для левой полуоси 

- для правой полуоси 

Приравнивая правые части уравнений (16) и (17) и опуская промежуточные вычисления, получим выражение для φK:

Из (18) получим обратное выражение для ωN:

2) Уравнение фазовой траектории (9) для точки 1 имеет следующий вид:
- для левой полуоси 

- для правой полуоси 

где ω1 = ωN + Δωτ, φЛ, φП – координаты левой и правой полуосей фазовой траектории соответственно при ω = 0.

Приравнивая правые части уравнений (21) и (22) и опуская промежуточные вычисления и индексы, получим выражение для точечного преобразования правой полуоси в левую:

Построим диаграмму точечного преобразования (рис. 5) по функции соответствия (23).

 

 

Точка пересечения кривых φП и φЛП) характеризует наличие в системе единственного устойчивого предельного цикла.

Условие существования предельного цикла:

φC = –φЛ = φП,
где φC – амплитуда колебаний по углу в предельном цикле, рад.

3) Для определения τ подставим φC в выражение (23):


где ωC – амплитуда колебаний по угловой скорости в предельном цикле, определяемая по (19)–(20), рад/с;
ΔωτC – приращение по угловой скорости, определяемое по (13)–(14), рад/с.

Из (24), опуская промежуточные вычисления, получим выражение для оценки обобщенного запаздывания τ:

В соответствии с выражением (25) по измеренным значениям φC и ωC выполняется расчет τ. Для исследуемого безредукторного привода (рис. 1) с колебаниями в предельном цикле (рис. 3б или 4б) оценка запаздывания составит τ ≈ 0,001947 с.

Результаты моделирования привода с оптимальным управлением (12) и упреждением (15) представлены на рисунках 6 и 7.

 

Стоит особо отметить, что вследствие имеющихся измерительных шумов и нелинейностей отдельные фазовые траектории все же «просачиваются» сквозь линию переключения (см. рис. 6б). Фактически перевод динамической системы 2-го порядка из начального состояния в конечное выполняется более чем за 1 одно переключение. Таким образом, для безредукторного привода с оптимальным управлением реализуется квазиоптимальный переходной процесс.

По завершении переходного процесса динамическая система переходит в так называемый «скользящий режим» [12], который вызван остаточным некомпенсированным запаздыванием τ и который также характеризуется незатухающими колебаниями. Амплитуда колебаний минимальна благодаря введению упреждения и для идеальной системы фактически определяется величиной τ согласно (24) и (13)–(14):

Функционирование безредукторного привода в скользящем режиме может быть неприемлемо по двум причинам:

1) постоянное энергопотребление (рис. 8), что критично для аппаратуры с ограниченным по емкости источником питания (например, ОЭС обзора беспилотного летательного аппарата);

2) «дрожание» привода (рис. 7б), что приведет к «смазу» пеленгуемого сигнала, что критично для высокоточных РЛС и ОЭС.

В связи с этим предлагается применить комбинированное управление, состоящее из двух режимов:
1) режим оптимального управления (12) с упреждением (15) в зоне «приведения» системы с начальными условиями:

Δφ(t0) = φK; ω(t0) = 0 (26)

и конечными:

|Δφ(tK)| ≤ δΔφ; |ω(tK)| ≤ δω, (27)
где δΔφ, δω – границы зоны «стабилизации» по угловому рассогласованию и угловой скорости соответственно,
и критерием быстродействия: tKmin;

2) режим автоматического регулирования в зоне «стабилизации» (27) с П-регулятором в позиционном контуре и ПИ-регулятором в скоростном.

Для рассматриваемого привода границы зоны точности δΔφ = 0,15 мрад и δω = 0,08 рад/с определены следующим образом:

δΔφ = ΔφСР ± θ, (28)

δω = ωСР ± υ, (29)

где ΔφСР – амплитуда колебаний по угловому рассогласованию в скользящем режиме (рис. 6б),
ωСР – амплитуда колебаний по угловой скорости в скользящем режиме (рис. 6б),
θ, υ – параметры, задающие размер зоны «стабилизации».

Методика (28)–(29) носит эмпирический характер, а выбор значений δΔφ и δω является предметом отдельных исследований.

Сравнительные результаты моделирования безредукторного привода представлены на рисунках 9, 10 и в таблице 1.

 

 

Таблица 1

Сравнительные результаты моделирования

Результаты приведены для постоянного входного воздействия и для режима сканирования. Режим сканирования характерен для высокоточных РЛС и ОЭС, оснащенных двухканальным приводом горизонтального (ГН) и вертикального наведения (ВН). Режим сканирования позволяет существенно расширить поле обзора путем механического перемещения строительной оси антенны в заданные по циклограмме области пространства.

Результаты моделирования показали эффективность применения предлагаемого комбинированного управления в сканирующих и следящих системах в части: 
- обеспечения повышенного быстродействие для всех типов и величины входного воздействия;
- снижения времени переходного процесса на 25–32 % при постоянном входном воздействии;
- увеличения быстродействия на 20– 23 % в режиме сканирования.

Таким образом, для безредукторного привода с малым углом поворота на базе моментного двигателя типа ДБМ70 выполнен синтез оптимального управления с упреждением. Оптимальное управление с упреждением обеспечивает минимальное время переходного процесса и минимальные амплитуды незатухающих колебаний в установившемся скользящем режиме. При этом для отдельных фазовых траекторий реализуется квазиоптимальный переходной процесс – число переключений больше, чем n – 1.

Для исключения скользящего режима и, соответственно, незатухающих колебаний в безредукторном приводе предложено комбинированное управление. Комбинированное управление включает в себя режим оптимального управления с упреждением на участке «приведения» и режим автоматического регулирования в зоне «стабилизации».

Динамическое моделирование подтвердило правильность выбранных технических решений и корректность синтезированного управления. По сравнению с П- и ПИ-регуляторами комбинированное управление в безредукторном приводе обеспечивает повышение быстродействия на 20–30 %. При этом статическая ошибка не ухудшается.

Расчетные соотношения не представляют сложности для современных вычислительных средств и могут быть реализованы в приводе с цифровым управлением (при проектировании или модернизации).

Список литературы

1. Овчинников И.Е. Вентильные электрические двигатели и привод на их основе (малая и средняя мощность): курс лекций. СПб.: Корона-Век, 2007. 336 с.

2. Баранов М.В., Бродовский В.Н., Зимин А.В., Каржаков Б.Н. Электрические следящие приводы с моментным управлением исполнительными двигателями: монография. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 240 с.

3. Горячев О.В., Шигин И.А., Кузьмин М.А. Синтез алгоритма управления приводом наведения и стабилизации секторным моментным электрическим двигателем встраиваемого исполнения // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 3. 2020. С. 17–28.

4. Кузьмин М.А., Шигин И.А., Ерофеев А.Г. Синтез алгоритмов управления безредукторного привода на базе бесконтактного моментного двигателя // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 5. 2019. С. 381–392.

5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. 384 с.

6. Фельдбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М.: Физматгиз, 1963. 552 с.

7. Павлов А.А. Синтез релейных систем, оптимальных по быстродействию (метод фазового пространства). М.: «Наука». Главная редакция физ.-мат. литературы, 1966. 392 с.

8. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. М.: «Наука». Главная редакция физ.-мат. литературы, 1975. 768 с.

9. Бессекерский В.А., Фабрикант Е.А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. М.: «Судостроение», 1968. 351 с.

10. Соколовский Г.Г. Электроприводы переменного тока с частотным регулированием: учебник для студ. высш. учеб. заведений. 2-е изд., испр. М.: Издательский центр «Академия», 2007. 272 с.

11. Микеров А.Г. Электромеханические датчики и электронные компоненты управляемых вентильных двигателей: учеб. пособие. СПб.: СПбГЭТУ, 1999. 60 с.

12. Сурков В.В., Сухинин Б.В., Ловчаков В.И., Соловьев А.Э. Аналитическое конструирование регуляторов, оптимальных по точности и быстродействию. Тула: Тул. гос. ун-т, 2005. 300 с.


Об авторах

А. В. Цапцов
Акционерное общество «Конструкторское бюро точного машиностроения им. А. Э. Нудельмана»
Россия

Цапцов Артем Вячеславович – кандидат технических наук, заместитель начальника отдела. Область научных интересов: системы управления движением, оптико-электронные системы.

Москва



А. В. Степовой
Акционерное общество «Конструкторское бюро точного машиностроения им. А. Э. Нудельмана»
Россия

Степовой Андрей Васильевич – кандидат технических наук, начальник направления – заместитель главного конструктора. Область научных интересов: системы управления движением, оптико-электронные системы.

Москва



Для цитирования:


Цапцов А.В., Степовой А.В. Оптимальное и комбинированное управление безредукторным приводом с моментным двигателем. Вестник Концерна ВКО «Алмаз – Антей». 2021;(3):47-58. https://doi.org/10.38013/2542-0542-2021-3-47-58

For citation:


Tsaptsov A.V., Stepovoy A.V. Optimal and combined control of the direct drive with the torque motor. Journal of «Almaz – Antey» Air and Space Defence Corporation. 2021;(3):47-58. (In Russ.) https://doi.org/10.38013/2542-0542-2021-3-47-58

Просмотров: 58


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2542-0542 (Print)