Методы оптимизации в проектировании машин

Введение

Машиностроительная отрасль всегда развивалась высокими темпами, и наше время не исключение. Изменяется все в отрасли. Совершенствуются методы конструкторского проектирования, производства, производственного менеджмента. Одним из движителей развития является внедрение и развитие на производстве методов математического моделирования, которые появились еще в древние века. Сегодня все большее влияние при разработке изделий занимают методы цифрового моделирования и оптимального проектирования [1].

Основанные на работах Адамецкого, Ганта, Тейлора, Гастева и других математические модели управления производством применяются на большинстве предприятий. Существенное влияние на популяризацию аналитического проектирования, управления и производства оказало развитие компьютерных систем. Автоматизация производства, системы мониторинга, электронный документооборот, цифровые двойники - все это инструменты цифровизации предприятия, которые позволяют контролировать всю экономико-производственную систему предприятия.

В России одним из ведущих специалистов по математическим методам оптимизации экономической эффективности предприятия и продукции является доктор технических наук, профессор Хакимзян Амирович Фасхиев. Его работы связаны с повышением экономической эффективности и конкурентоспособности предприятия и его продукции. Его работы имеют как теоретический, так и прикладной характер. Большая часть из них была создана и применяется на производстве КамАЗ, г. Набережные Челны [2].

Разработка методики оптимизации

На сегодня технологии оптимального проектирования в той или иной мере применяются на всех производствах. Начиная от подбора оптимальной конструкции консервной банки, с учетом ее материала, формы, толщины стенок, массы и других характеристик с одним критерием оптимизации - минимизация себестоимости, и до оптимизации всей конструкции управляемой ракеты для достижения оптимума многокритериальной задачи, где критерием оптимальности является наибольшая дальность полета при наибольшей полезной нагрузке.

Существуют различные методы решения задач многокритериальной оптимизации. В чистом виде почти всегда решение подобных задач является множеством Парето-оптимальных решений. Выбор и обоснование одного конкретного решения из множества является основной проблемой подобных вопросов.

На примере унифицированной машины технологического электротранспорта рассмотрим процесс многокритериальной оптимизации энергосиловой установки электротранспорта.

Унифицированная машина технологического электротранспорта (УМТЭТ) разработана ФГБОУ ВО «Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова» для АО «Сарапульский электрогенераторный завод» в рамках постановления правительства РФ № 218 в целях исполнения проекта по созданию высокотехнологичного производства [1].

УМТЭТ представляет собой модульную транспортно-технологическую машину с широким спектром возможных сфер применения. Модульность УМТЭТ позволяет выполнять различные виды работ, таких как транспортировка навалочных и насыпных грузов, использование с рефрижераторной установкой для перевозки скоропортящейся продукции и работы с применением различных видов навесного оборудования, расположенного в передней и задней части машины [3].

Разработка методики оптимизации энергосиловой установки (ЭСУ) масштабируется и требует определения критериев оптимальности как элементов ЭСУ (локальные критерии), которые можно изменить для достижения требуемых показателей машины, так и критериев оптимальности машины в целом (глобальные критерии), которые зависят от локальных критериев [1].

Проект создания энергосиловой установки, как и любой другой, имеет структурную иерархию и может рассматриваться как набор структурных элементов, из которых формируется изделие. Изменяя масштаб формирования параметрической базы, можно рассматривать:
- микроуровень, изменение материалов и технологии изготовления корпусных, крепежных и других деталей;
- общий уровень, управление характеристиками сборочных единиц, узлов и агрегатов, выбирая из множества стандартных изделий крепежей и базовых деталей (валы, шестерни и т.д.);
- макроуровень, формирование общего вида изделия из множества стандартных узлов.

Для проектирования машины выгоднее использовать узлы, которые уже освоены производством, таким образом, элементы ЭСУ будут представлять собой набор локальных дискретных характеристик, что сокращает издержки на проектирование машины и позволяет быстрее поставить изделие на серийное производство.

Рассматривая конструктивную схему энергосиловой установки электромобиля, можно выделить 4 узла, показанных на рисунке 1, и их компоновку на рисунке 2, которые имеют наибольшее влияние на все характеристики конструкции [1].

Кроме того, можно выделить взаиморасположение элементов как пятый регулируемый элемент. Помимо описанных выше вариантов, возможна установка электродвигателей непосредственно в колесах либо в мосту ведущей оси машины технологического электротранспорта, но с учетом того, что машина проектируется исходя из узлов, производимых на предприятии, выбор электродвигателя для универсальной машины технологического электротранспорта ограничен выпускающейся серией тяговых электродвигателей АО «Сарапульский элек-трогенераторный завод» [1].

Следующим шагом проектирования является определение связи критериев оптимальности с характеристиками узлов.

Критерии оптимальности, обоснованные на стадии предпроектных исследований и разработки технического задания на технологическую машину, определяют направления оптимизации на всех последующих этапах создания машины. Критерии, образующие множество частных критериев оптимальности, имеют различные размерности, обычно имеют сложные взаимозависимости и зачастую противоречивы, т.е. улучшение одного критерия неизменно влечет за собой ухудшение другого, что создает наибольшую сложность при решении оптимизационных задач [5].

С учетом вышесказанного задача оптимизации имеет следующую математическую запись [5]:

где {O} - множество Парето-оптимальных решений, u_n - n-й критерий оптимальности, P_m -набор параметров m узла; тогда

где p_ml - l параметр, m узла.

Заказчиком, были сформулированы требования, представленные в таблице 1.

Исходя из ограничений, можно сформулировать локальные критерии оптимальности к УМТЭТ, достижение наилучших показателей которых будет достигаться путем оптимизации конструкции энергосиловой установки.

Оставшиеся требования учитываются в процессе оптимизации как заданные ограничения.

Далее необходимо определить влияние изменения входящих параметров на состояние системы, это можно сделать эмпирическим методом, заменяя детали, узлы и управляющие алгоритмы работы, после чего путем корреляционно-регрессионного анализа установить связь.

В этом случае между всевозможными парами параметров необходимо вычислять коэффициент парной корреляции, который характеризует связь между двумя случайными величинами. Если обозначить один параметр через y1, а другой - через y2, число опытов (измерений) - через N, т.е. текущий номер опыта u = 1, 2, ..., N, то коэффициент парной корреляции r вычисляется по формуле:

где  и   - средние арифметические [5].

Значения коэффициента парной корреляции r_y1, у₂ могут лежать в пределах от -1 до +1. Если с ростом значения одного параметра возрастает значение другого, у коэффициента будет знак плюс, а если уменьшается, то знак минус. Чем ближе найденное значение r_y1, у₂ к единице, тем сильнее значение одного параметра зависит от другого. В этом случае в исследованиях (экспериментах) достаточно рассматривать только один из параметров [5].

Для проверки значимости коэффициента парной корреляции нужно сравнить его значение с табличным (критическим) значением r. Квантили распределения Стьюдента приведены в таблице критических значений коэффициента корреляции Стьюдента [2].

Для пользования этой таблицей нужно знать число степеней свободы f = N - 2 и выбрать определенный уровень значимости, например равный α = 0,05. Такое значение уровня значимости называют 5 %-ным уровнем риска, что соответствует вероятности верного ответа при проверке нашей гипотезы P = 1 - α = 0,95, или 95 %. Это значит, что в среднем только в 5 % случаев возможна ошибка при проверке гипотезы [2].

Но далее будет рассмотрен способ, основанный на анализе математических взаимосвязей физических формул.
Математическая формулировка критериев определена следующим образом.

Первый критерий u₁. Время работы в ездовом цикле t математически можно описать как процентное соотношение режима нагрузки аккумуляторных батарей и представить в виде формулы:

где n - количество режимов нагружения, i -номер режима нагружения; t - полное время смены, (ч); w_i - потребляемая мощность i-го режима нагрузки в процентах от режима максимальной нагрузки, (%); τ_i - доля времени работы в i-м режиме, (%); E - энергия аккумуляторной батареи, (кВт∙ч); W - потребляемая мощность электродвигателя при максимальной нагрузке (кВт).

Второй, третий и пятый критерии u₂, u₃ и u₅, максимальная скорость пустой V_п (км/ч), загруженной машины V_з (км/ч) и максимальный преодолеваемый угол α (гр) определяются из уравнения мощностного баланса [7]:

где N_eη_тр - мощность на ведущих колесах с учетом кпд трансмиссии η_тр (кВт);
N_f - мощность, затрачиваемая на преодоление сопротивления качению колес, которая определяется по формуле [8]:

где V_а - скорость движения (м/с); P_f - сила сопротивления качению колес (кН); α - угол подъема (град); G_a - вес автомобиля (Н); f_a -коэффициент сопротивления качению, зависит от движителя и дорожного покрытия.

N_i - мощность сопротивления подъему, равная [8]:

где P_i - сила сопротивления подъему (кН).
N_в - мощность сопротивления воздушной среды, без учета ветра, определяется по формуле [8]:

где P_в – сила сопротивления воздушной среды (кН); К₀ – коэффициент сопротивления воздуха (Н×с² /м⁴ ); F_a – лобовая площадь автомобиля (м² ).
N_j – мощность сопротивления разгону, находится по формуле [8]:

где P_j – сила сопротивления разгону (кН); δ_a – коэффициент учета вращающихся масс автомобиля; g– ускорение притяжения (~9,8 м/с² ); j_a – ускорение автомобиля, по формуле [8]:

где D – динамический фактор автомобиля (кН/кг); Ѱ – коэффициент сопротивления дороги; δ_a – коэффициент учета вращающихся масс автомобиля.

С учетом значений мощности, затрачиваемых на преодоление всех видов сопротивлений, уравнение баланса мощностей принимает вид:

Из уравнения можно выразить скорость:

Данное выражение сложно для анализа, поэтому рассмотрим критерии в виде систем уравнений. После преобразования получим следующие системы уравнений для поиска предельной скорости:

Система для предельного угла подъема из мощностного баланса:

Формула силы тяги на крюке известна [8]:

где Р_кр - сила тяги на крюке (Н); М_д - момент двигателя (Нм); i_c - передаточное число трансмиссии; η_с - КПД трансмиссии r_к - радиус колеса (м).

Локальный оптимум достигается при наибольшем значении Р_кр. Тогда в общем виде математическая описание задачи оптимизации ЭСУ УМТЭТ будет выглядеть следующим образом:

Для дальнейшего решения задачи необходимо параметры привести в относительную систему координат, а критерий свести к единому U(u). Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным.

В этом случае i-й управляемый параметр u_i преобразуется в безразмерный x_i следующим образом [7]:

где ϛ_i - коэффициент, численно равный единице измерения параметра u_i. Еще двумя способами нормирования может быть применение методов статистического анализа через среднее арифметическое [7]:

где u_{i ср} - среднее арифметическое всех значений u_i по формуле:

где u_ij – j-й управляемый параметр u_i; - n количество всех значений u_ij;
и среднее медианное

где   - среднее медианное значение отсортированного ряда u_ij.

Кроме того, критерии могут иметь перпендикулярное направление вектора оптимизации, например, увеличение максимальной достижимой скорости, как правило, приближает получение оптимума, в то время как увеличение времени разгона, напротив, является отрицательным результатом. Для этого можно использовать следующие уравнение [7]:

где u_ia - значение возрастающих критериев; u_ib - значение убывающих критериев; u_{i max}, u_{i min} - максимальное и минимальное значение критерия. Определить направление движения оптимизации критерия можно следующим образом:

где   - улучшенное значения критерия, [u_i] -допустимое значение i-го критерия.

После формирования условий задачи оптимизации можно приступать к ее решению. Существуют разные способы нахождения оптимума, автором был выбран способ сведения их к единому критерию. Суть этих методов заключается в сведении множества критериев оптимальности к одному посредством различных методик.

К этим методам относятся метод условной максимизации, линейная свертка, методы скаляризации, метод Чебышева и другие. К ним также относятся методы весовых коэффициентов, наиболее распространенные из которых - экспертные методы. Основная идея экспертных методов состоит в том, чтобы использовать интеллект людей, их способность искать и находить решение слабоформализо-ванных задач. В теории экспертных оценок разработан ряд методов проведения экспертизы. Рассмотрим два метода.
1. Метод ранжирования заключается в следующем. Пусть экспертиза проводится группой из L экспертов, которые являются квалифицированными специалистами в той области, где принимается решение. Метод ранжирования основан на том, что каждого эксперта просят расставить частные критерии проектируемого объекта в порядке их важности. Цифрой 1 обозначают наиболее важный частный критерий, цифрой 2 - следующий по важности частный критерий и т.д. Эти ранги преобразовываются таким образом, что ранг 1 получает оценку m (число частных критериев), ранг 2 - оценку m - 1 и т.д. до ранга m, которому присваивается оценка 1. Обозначим полученные оценки rik, где i - это номер i-го эксперта, к - это номер k-го критерия. Тогда результаты опроса экспертов можно свести в таблицу 3 [2]

В (L+1) строке стоят суммы оценок, полученных критериями от экспертов. Тогда весовые коэффициенты определяются следующим образом [2]:

2. Метод приписывания баллов основан на том, что эксперты оценивают важность частного критерия по шкале. При этом разрешается оценивать важность дробными величинами или приписывать одну и ту же величину из выбранной шкалы нескольким критериям. Обозначим через h_ik - балл i-го эксперта для к -критерия, тогда

где h_jk - сумма i-й строки. r_ik - называют весом, подсчитанным для к критерия i-м экспертом [2].

Отсюда, учитывая, что , получим  

Метод приписывания баллов более трудоемкий в расчетах, но удобнее для экспертной оценки и позволяет дать более точную оценку.

Тогда с учетом экспертных весовых коэффициентов и нормализации математическая формулировка задачи оптимизации принимает следующий вид:

где U - единое приведенное значение критерия для системы, i - номер критерия, n - количество вариантов комбинаций узлов, l₁ - экспертный весовой коэффициент i-го возрастающего критерия;, l₂ - экспертный весовой коэффициент i-го убывающего критерия u, [u_i] - допустимое значение i-го критерия, u_ia - значение возрастающих критериев, u_ib - значение убывающих критериев, u_{i max} , u_{i min} - максимальное и минимальное значение критерия; u∙_1a u∙_1b – - улучшенные значения критерия.

Тогда после преобразований получим итоговую формулу, которая имеет следующий вид:

При нахождении максимального значения приведенного критерия можно говорить о достижении оптимальности конструкции энергосиловой установки машины технологического электротранспорта.

Заключение

В ходе работы была разработана методика получения оптимальных эксплуатационных характеристик технологического электротранспорта путем применения в его конструкции наиболее рациональной (оптимальной) конструкции энергосиловой установки для произвольных критериев.

Следующим шагом является формирование параметрической базы из возможных параметров и определение итоговой конфигурации машины. Разработанная методика может применяться не только для разработки электромобиля, но и для принятия наилучшего решения во многих проектах, например:
- при проектировании гибридного автомобиля с комбинированной энергосиловой установкой [8-10];
- при проектировании узлов и агрегатов машин [11];
- при оптимизации загрузки производственных мощностей предприятия [5];
- при внедрении методов бережливого производства и сокращения издержек предприятия [2].

И даже для решения качественных задач, таких как повышение комфорта эксплуатации автомобиля [12].

Применение подобных методик проектирования позволяет увеличить скорость проектирования объектов, уменьшает издержки постановки на производство и позволяет улучшать показатели изделия без ухудшения других характеристик.

Результатом продвинутого моделирования является цифровой двойник изделия и производства, на этом уровне автоматический анализ может давать не только информацию об оптимальных характеристиках, но и выстраивать сложные прогностические модели, что дает предприятию существенное рыночное преимущество.