Повышение адекватности моделирования маневра летательного аппарата путем определения положений мгновенных осей его вращательного движения

Определения и сокращения

АТТ – абсолютно твердое тело

вращательное движение ЛА – вращательное движение ЛА, рассматриваемое изолированно от его поступательного движения

ДВС – действие внешних сил на ЛА, оказывающее влияние на динамику его движения

действующее распределение сил (влияющее распределение массы) ЛА по координатам его ССК – распределение сил (массы) ЛА по координатам его ССК после линеаризации его значений

ЛА – летательный аппарат

ММ – математическая модель маневрирования ЛА

МОДС – мгновенная ось действия момента внешних сил, влияющих на изменение параметров вращательного движения ЛА

МОУС – мгновенная ось угловой скорости, определяемая как множество точек пространства с нулевыми значениями скорости, определенных для вращательного движения ЛА

МОУУ – мгновенная ось углового ускорения, определяемая как множество точек пространства с нулевыми значениями линейного ускорения ЛА, определенного для изолированного вращательного движения ЛА

НС – неравномерно распределенные силы, формирующие угловое ускорение ЛА

ПЛСК 1 типа – подвижная локальная система координат, связанная с МОУС ЛА

ПЛСК 2 типа – подвижная локальная система координат, связанная с положением ССК ЛА в начальный момент шага моделирования

равнодействующая распределенной силы – вектор, которым можно заменить действие данной распределенной силы, модуль которого равен объему этого распределения, а сам вектор делит площади проходящих через него сечений этого распределения пополам

распределение сил (массы) ЛА по координатам ССК ЛА – распределение неравномерно распределенных нагрузок внешних сил (массы ЛА) по координатам ССК ЛА

распределенные силы – нагрузки, действующие на определенную поверхность

распределение скорости ЛА – распределение, в котором точкам ЛА (основания распределения), в соответствие векторам скоростей данных точек определено множество точек границы данного распределения

РМ – реальный маневр ЛА

РС – равномерно сбалансированные силы, формирующие линейное ускорение ЛА

РУНС – распределение ускорения неравномерно сбалансированных сил

РУРС – распределение ускорения равномерно распределенных сил

СК – система координат

ССК – связанная с ЛА СК с началом координат в носке ЛА

СМ – смоделированный маневр ЛА

ТПР – точка приложения равнодействующей сил, приложенных к ЛА

ТПРВ – точка приложения результирующего вектора

фигура скорости ЛА для ЛА в положении D (нижний индекс) – неделимое множество точек, характеризующее границу объемного распределения скорости точек ЛА в момент времени t_i. Определяется потенциальным перемещением ЛА через единицу времени [4] фигура ускорения ЛА для ЛА в положении D – неделимое множество точек, характеризующее границу распределения ускорения всех точек данного ЛА в момент времени t_i [4]

ЦМ – центр масс ЛА

эквивалентное преобразование – преобразование геометрического и аналитического представлений движения ЛА, выходные параметры которого позволяют его характеризовать как эквивалентное исходному движению ЛА

ЭЧ – элементарные частицы ЛА

характерные отрезки – отрезки ЛА, принадлежащие осям его ССК

[ ]_Ox ([ ]_АТТ) – знак отнесения действия к характерному отрезку, принадлежащему оси Ox (ко всему ЛА, определяемому АТТ)

Введение

Стремительное развитие техники выполнения сложных маневров (в т. ч. фигур высшего пилотажа) современных летательных аппаратов открывает большие возможности их применения по боевому назначению. Но такие маневры выполняются на критических углах атаки и скольжения, поэтому их выполнение под силу лишь опытным летчикам-профессионалам. Повсеместное выполнение таких маневров в автоматических режимах системами управления ЛА, а также беспилотными ЛА с целью достижения лучших условий их применения неприемлемо из-за существующих динамических погрешностей систем управления. Одна из причин таких погрешностей обусловлена использованием недостаточно точных ММ полета ЛА при синтезе их ЗУ. Для выполнения маневрирования ЛА в автоматическом режиме такие погрешности управления необходимо по возможности снизить до предельно малых вследствие невозвратных реакций ЛА, возникающих при превышении ключевых параметров маневра. Решение задачи отчасти позволило бы решить проблему выхода ЛА в автоматическом режиме из области неустойчивого полета в аварийных ситуациях.

Более точное понимание и, как следствие, прогнозирование происходящих процессов динамики ЛА позволит обеспечить компромисс устойчивости и управляемости, улучшить качество переходных процессов управления и стабилизации параметров полета ЛА.

Кроме того, использование существующих ММ полета ЛА, обладающих описанными погрешностями, при анализе маневров ЛА приводит к грубым погрешностям вычислительного эксперимента маневрирования ЛА, ошибкам в интерпретации полученных результатов и, в конечном счете, к возможности не всегда делать точные выводы об изменениях в протекающих процессах динамики полета данного ЛА.

Одной из причин динамических погрешностей управления являются погрешности, определяемые методом аналитического описания полета ЛА. В значительной степени снизить методические погрешности, возникающие из-за того, что синтез ЗУ происходит на основе недостаточно точных ММ динамики движения данных ЛА, возможно путем повышения адекватности ММ, описывающих маневрирование ЛА.

Повысить адекватность ММ полета ЛА для существующих условий принятия эквивалентными СМ и РМ ЛА достаточно проблемно. Задача решается проще при разработке принципа математического моделирования с использованием более жесткого критерия принятия эквивалентными СМ и РМ ЛА.

Цель исследования – повысить адекватность ММ маневра ЛА путем обоснования принципов математического моделирования с использованием более жесткого критерия принятия эквивалентными СМ и РМ ЛА.

Условия и допущения исследования

1. ЛА принят абсолютно твердым телом (АТТ) с неравномерным распределением массы, определяемым относительно координат его связанной с ЛА системы координат, все элементарные частицы (ЭЧ) которого в той или иной степени подвержены действию распределенных внешних сил.
2. Анализ динамики движения производится для ЛА, определяемого свободным телом [3, с. 10], – АТТ, обладающего возможностью совершения эволюций вращательного движения с любым расположением мгновенной оси вращения, МОУС, МОУУ и МОДС.
3. Для каждого шага математического моделирования маневра ЛА принимается, что интервал времени, в который он происходит, настолько мал, что все параметры движения ЛА (кроме угловых и линейных перемещений) не изменяют значения, определенные на начальный момент этого шага моделирования. Изменения данных параметров происходят только в начальный момент следующего шага моделирования.
4. Анализ маневрирования ЛА производится по распределениям его скорости, угловой скорости, ускорения, углового ускорения, а также действующих на него сил, определенных относительно осей его связанной системы координат (ССК) [3, с. 58–61]. Начало координат ССК выбрано в носке ЛА, поскольку центр масс (ЦМ) ЛА при проведении описываемых исследований не играет такой роли, как при приведении параметров полета к этому центру.
   Исключить погрешности измерения (вычисления) параметров вращательного движения можно только определением их относительно той мгновенной оси, относительно которой происходит изменение данного параметра в РМ. Поэтому определение угловых скорости и ускорения ЛА, а также действие НС целесообразно производить относительно МОУС, МОУУ и МОДС соответственно.
   Поэтому вращательное движение ЛА определяется в подвижной локальной (не связанной с положением других предметов) системе координат (ПЛСК 1 типа), определяемой для каждого шага моделирования в его начальный момент времени и в течение этого шага сохраняющей это положение. Началом данной ПЛСК выбран полюс O, определяемый как точка пересечения МОУС и плоскости, в которой происходит угловое перемещение носка ракеты. Положение осей ПЛСК 1 типа: оси Ox – по МОУС, с направлением, определяемым по правилу левой руки (для направления вращения ЛА); оси Oy – от центра O к носку ЛА, положение которого определено в начальный момент шага моделирования; ось Oz – дополняет оси Ox и Oy до правой СК.
   При отсутствии угловой скорости ЛА параметры его поступательного движения исчисляются в ПЛСК 2 типа, определяемой положением ССК на начальный момент шага моделирования и остающейся в этом положении до конца этого шага.
5. Действие внешних сил, оказывающих влияние на динамику движения ЛА (ДВС), характеризуется описанными выше неравномерно действующими силами (НС) и равномерно сбалансированными силами (РС). Данные составляющие ДВС определяются из условия, что РС формируют линейное ускорение ЛА a_ЛА, а НС формируют угловое ускорение ЛА ε_ЛА. Таким образом, для каждого шага моделирования характеристикой ДВС являются параметры равнодействующей и момента этих сил (действующего относительно МОДС).

Исключение замены вращательного движения ЛА его поступательным движением

Требованием к используемым СК и преобразованиям (определяемым принципом моделирования) при разработке ММ полета ЛА является не только возможность удобно представить действие сил на ЛА, но и обеспечить максимальное соответствие их значениям в РМ. Синтез ЗУ на основе ММ, у которой выходные параметры отличаются от параметров РМ, приводит к тому, что управление ЛА будет осуществляться с динамическими погрешностями. По мнению автора одна из причин подобных погрешностей кроется в использовании принципа приведения сил к определенному центру, при котором происходит замена части вращательного движения ЛА его поступательным движением.

Исследуем адекватность такой замены.

Параметры вращательного движения точек ЛА (угловое ускорение и угловая скорость) [6] связаны с радиусами действий этих параметров. В то время как параметры поступательного движения (ускорение и скорость точек ЛА) не связаны с расстояниями до каких-либо центров движения ЛА.

Существенные различия траекторий поступательного и вращательного движений ЛА и параметров их движения позволяют сделать вывод, что поступательное и вращательное движения ЛА – принципиально разные движения ЛА. Следовательно, их действие необходимо определять без замены одного движения другим.

Различие данных движений ЛА, определяемого АТТ, по условиям возникновения и строгого перехода в зависимости от положения МОУС (у поступательного движения МОУС находится в бесконечности) определяет их как полную группу несовместных событий.

Принцип приведения сил, приложенных к АТТ, к определенному центру

Основоположником существующего принципа анализа динамики движения АТТ является пэр Франции Луи Пуансо. В 1803 г. им был сформулирован принцип [1] преобразования векторов, действующих на АТТ, путем их приведения к выбранному центру, который позже был им применен для решения задач динамики.

Н. Е. Жуковским проводились исследования движения АТТ с определением мгновенного центра вращения, мгновенного центра скоростей (МЦС) и мгновенного центра ускорений (МЦУ) [2, с. 242–256]. Но возможно, ввиду простоты принципа приведения векторов к определенному центру [2] при решении задачи динамики полета ЛА им был использован именно этот принцип. В настоящее время принцип остается основным при определении параметров движения всех АТТ.

Описанный принцип Л. Пуансо определяет, что «любое число сил, приложенных к телу, можно привести к одной силе, проходящей через произвольно взятую точку, и одной паре… (описывающей действие НС. – Прим. автора)» [1].

Для определения влияния ДВС на маневрирующий ЛА принцип определяет:

• нахождение главного вектора путем определения равнодействующей и переноса точки ее приложения (ТПР) к центру приведения;
• нахождение главного момента путем определения действия пары, формируемой равнодействующей *3* и вектором *4*, ей противоположно направленным. При этом вектор *3* согласно правилу приведения приложен в ТПР, а вектор *4* – в центре приведения.

Проанализируем данное преобразование в представлении распределенного действия сил на ЛА с равномерным распределением массы.

ДВС на маневрирующий ЛА проявляется в формировании РС и НС. На рисунке 1а действия данных сил показаны в виде распределений РС F_РС (x) и НС F_НС (x), определенных для значений координат по оси Ox ССК ЛА.

Проанализируем изменения распределения НС F_НС (x) после приведения сил к центру O_прив. После приведения сил к центру Oприв распределение НС F_НС (x) стало разбито на две составляющие, которые также описывают неравномерное F_НС ^прив (x) и равномерно сбалансированное действие F_PС ^прив (x) данного распределения F_НС(x) (рис. 1б).

В результате такого приведения сил к центру O_прив действие НС F_НС определяется только составляющей НС F_НС ^прив. При этом вторая составляющая НС F_PС ^прив, определяющая действие НС на отрезке от ТПР O_ТПР до центра приведения O_прив, рассматривается как распределение РС. Наблюдается замена части распределения НС распределением РС.

Кроме того, из-за приведения пространственного движения ЛА к центру O_прив разделение угловой и линейной скорости (а также ускорения и углового ускорения) также производится относительно центра приведения без учета положения МОУС (МОУУ).

В этом случае погрешности приведения определяются расстояниями от O_прив до ТПР, от O_прив до точки разделения углового и линейного ускорения и от O_прив до точки разделения угловой и линейной скорости. Чем больше данные расстояния, тем погрешности определения действия НС, углового ускорения и угловой скорости в результате данного приведения будут больше. В классической механике при описании принципа приведения утверждается, что вращательная часть от выбора полюса не зависит [3, с. 128].

Фактором, который компенсирует данное несоответствие, является выбор в качестве центра приведения ЦМ ЛА. Для устойчивого по углу атаки ЛА при небольших значениях управляющей силы ТПР перемещается на незначительном удалении от ее ЦМ. Поэтому в этом случае приведение сил к ЦМ в СМ не дает значительных расхождений с параметрами РМ ЛА.

В [4] и [5] автором статьи выдвинута гипотеза, альтернативная данному принципу Л. Пуансо. Согласно данной гипотезе, в любой момент времени движение ЛА обладает единственными мгновенными центрами вращательного движения, относительно которых угловые перемещение, скорость, ускорение, а также момент внешних сил, соответственно, определяются без погрешностей. В [5] также показано, что при анализе полета ЛА, движущегося с угловым ускорением, отказ от использования переноса пары и перемещения вектора силы вдоль линии его действия исключит связанные с этими преобразованиями методические погрешности, повысит точность прогнозирования параметров полета ЛА.

Выбор критерия эквивалентности преобразований движения ЛА

Для определения адекватности преобразований сил и параметров движения ЛА выберем критерий определения эквивалентности СМ и РМ ЛА. Такое утверждение не должно вызывать сомнений в истинности для его принятия без доказательства.

Распределение траекторий движения точек ЛА во времени является идеальным «интегральным» критерием для всех изменений скорости, ускорения и распределенных сил, действующих на данные точки ЛА. Это обусловлено тем, что для любой точки АТТ распределение ее траектории во времени является результатом двойного интегрирования ее ускорения и интегрирования ее скорости.

Поэтому за такой критерий принимается:

Движения летательных аппаратов являются эквивалентными, если данные ЛА перемещаются синхронно во времени по одинаковым траекториям L₁(x₁, y₁, z₁, t) и L₂(x₂, y₂, z₂, t) при любом масштабировании:

(1)

При доказательстве использовались свойства динамики движения АТТ. Из-за жесткой связи между соседними ЭЧ в АТТ данные ЭЧ не могут иметь резкого различия в скоростях и ускорениях их движения, поэтому:

• скорости и ускорения точек, находящихся на одной прямой, могут изменяться только пропорционально изменению их координат в ССК ЛА;
• при единичном повороте АТТ отрезки, соединяющие начальное и конечное положение точек, взятых на любом из радиусов этого поворота, образуют ряд параллельных прямых.

Используя доказательства [4] и [5], сформулируем основное утверждение статьи.

Для любого момента времени маневра ЛА разложение его угловой скорости, углового ускорения и момента внешних сил, действующих на ЛА, относительно любых осей (центров) приведения, которые не совпадают с осями действия этих параметров (МОУС, МОУУ и МОДС соответственно) в реальном маневре, не является эквивалентным преобразованием. Параметры вращательного движения маневрирующего ЛА определить достоверно можно только относительно осей, относительно которых они происходят.

Докажем данное утверждение статьи для каждой из перечисленных осей вращательного движения ЛА.

Теорема 1

Формулировка. В любой момент времени движения ЛА его угловую скорость определить достоверно можно только относительно МОУС – оси, относительно которой в данный момент происходит вращение этого ЛА. Приведение вращательного движения ЛА относительно всех остальных центров (осей) не является эквивалентным преобразованием.

Постановка задачи. Для доказательства изменения параметров вращательного движения ЛА при использовании приведения к определенному центру исследуем перемещение его отдельных точек. Исследование проводится для двух случаев вращательного движения ЛА в ПЛСК 1 типа из положения D в положение E за интервал времени Δt, настолько малый, что угловые скорости точек ЛА на нем можно принять неизменными (рис. 2а). В случае исходного движения ЛА совершает вращательное движение относительно центра O₂^* (анализируется в ПЛСК 1 типа, связанной с этим центром).

В случае приведенного движения ЛА совершает перемещение от тех же начальных к тем же конечным точкам ЛА, но с векторами скоростей его точек, приведенными к центру O₁^*. Для каждого из движений интервал времени Δt разбивается на m^* равных участков (где m^* ≥ 10) и отслеживаются траектории (кроссировки) перемещения этих точек O₁^* и O₂^*.

Доказательство 1. Сравним кроссировки исходного и приведенного движений ЛА точек O₁^* и O₂^* на интервале моделирования Δt в увеличенном масштабе времени с Δt_p = 0,1Δt (рис. 2а).

Для движения, приведенного к центру O₁^*, приведение означает, что вращательное движение рассматривается в ПЛСК 1 типа, связанной с O₁^*, так, как будто оно происходит относительно этого центра, а сам центр O₁^* совершает только поступательное движение, Траектория точки O₂^* в таком движении приведена на рисунке 2б (траектория показана в масштабе Δt_p = 0,1 Δt). В случае исходного движения это траектория движения, состоящая из этой точки O₂^*. Для точки O₁^* в плоскопараллельном движении, приведенном к данной точке, это поступательное перемещение на S [м] к точке O₁^**. В случае исходного движения – это вращательное движение точки O₁^* относительно центра O₂^*.

Вывод. Траектории исходного и приведенного движений ЛА не совпадают, при этом их несовпадение не связано с изменением дискретности, а отличается характером кроссировок отдельных точек ЛА. По критерию (1) на интервале времени, на котором параметры полета ЛА остаются постоянными, исследуемые движения от одинаковых исходных к одинаковым конечным точкам ЛА определяются как неэквивалентные.

Доказательство 2. Сравним параметры, приведенного на рисунке 2а плоскопараллельного движения ЛА с параметрами аналогичного движения, приведенного к точке O₁^*.

В случае исходного движения вращательное движение точки O₁^* происходило с угловой скоростью χ / Δt [рад/с] без линейной скорости. В случае приведенного движения угловая скорость точки O₁^* относительно точки O₁^* равна нулю, а линейная скорость движения этой точки составляет s / Δt [м/с].

Различие линейных и угловых скоростей отдельных точек ЛА в двух рассмотренных случаях указывает на то, что в результате приведения исходного движения к новому центру полученное приведенное движение стало отличаться от исходного движения ЛА. Вследствие того что данные точки ЛА движутся со скоростями отличными от исходных угловых и линейных скоростей движения, исходное и преобразованное движения определяются как неэквивалентные.

Замечание. Отметим, что с точки зрения допущений существующей динамики описанные плоскопараллельные движения ЛА, рассматриваемые на одном интервале моделирования с разделением вращательного и поступательного движений относительно разных полюсов, принимаются как эквивалентные движения с разными центрами приведений.

Вывод. Допущение классического описания движения ЛА о возможности представления траекторий вращательного движения точек ЛА как траекторий поступательного движения данных точек для одного и того же рассматриваемого случая приводит к изменению значений линейных и угловых скоростей точек ЛА. Отметим это как один из недостатков принципа приведения сил к определенному центру, поскольку зависимость параметров одного и того же движения ЛА от положения центра приведения наблюдаться не должна.

Таким образом, любой маневр ЛА может рассматриваться как вращательное движение относительно МОУС, с течением времени изменяющей свое положение в результате поступательного движения ЛА. В качестве примера на рисунке 3 показаны кроссировки перемещения МОУС для маневрирующего истребителя [4] (в данном случае МОУС показаны как мгновенные центры скоростей вращательного движения этого истребителя).

На рисунке 3 также показаны направления векторов мгновенной скорости ЦМ ЛА , определяемых как параметры мгновенных угловых скоростей движения этого центра в разные моменты времени выражением (где i =).

На рисунке 3 видно, что в некоторых случаях МОУС уходит в бесконечность, ЛА переходит в состояние поступательного движения. На рисунке такие состояния определяются точками пересечения прямых b, c, d, e и траектории ЛА.

Качественное и количественное отличия распределений ускорений поступательного и вращательного движения ЛА определяют раздельное рассмотрение сил, которые их формируют. Поэтому далее распределение углового ускорения ЛА (ускорения вращательного движения ЛА) по координатам ССК данного ЛА будем определять как распределение ускорения неравномерно действующих на ЛА сил (РУНС). Соответственно распределение ускорения поступательного движения по координатам его ССК – как распределение ускорения ЛА равномерно сбалансированных сил, действующих на ЛА (РУРС).

Для более наглядного представления распределений скоростей (ускорений) точек ЛА помимо их границ в виде фигур скоростей (ускорений), например , будем показывать границы распределений скоростей (ускорений) для характерного отрезка , принадлежащего оси Ox ССК ЛА.

Для определения алгоритма получения РУНС рассмотрим получение подобного распределения на более простом примере – на примере получения в ПЛСК 2 типа границы РУРС ЛА, совершающего только поступательное движение (рис. 4а) в момент времени t₀. По исходным данным в моменты времени t₀, t₁, t₂ ЛА находился в положении фигур F, G, H соответственно, где t₂ – t₁ = t₁ – t₀ = Δt.

Исходя из того, что ускорение точки ЛА определяется из условия

РУРС его характерного отрезка в момент времени t₀ при его нахождении методом Эйлера (для чего значения скорости должны использоваться в масштабе – 1 / Δt) для ЛА в положении F определяется выражением (рис. 4б):

Теорема 2

Формулировка. Для любого момента времени движения ЛА разложение углового ускорения ЛА относительно любых центров (осей) приведения, которые не совпадают с МОУУ в РМ, не является эквивалентным преобразованием. Угловое ускорение маневрирующего ЛА определить достоверно можно только относительно МОУУ.

Постановка задачи. По трем положениям ЛА (ракеты) (фигуры A, B и C, рис. 5а), зафиксированным в моменты времени t₀, t₁ и t₂, для момента времени t₀ определяется распределение его ускорения по координатам ССК ЛА в ПЛСК 1 типа.

Для однозначного определения вращательного движения ЛА согласно теореме 1 методом [2, с. 240] для нахождения положения ПЛСК 1 типа для t₀ и t₁ определены положения МОУС ЛА, проходящие перпендикулярно плоскостям вращения α и β, с их пересечением данных плоскостей в точках O₁ и O₂ соответственно. Характерные отрезки фигур A, B и C на рисунке 5а показаны как отрезки КN, К₁N₁, К₂N₂.

Необходимо доказать, что неизменное на интервале времени Δt = t₁ – t₀ угловое ускорение ЛА без погрешности может определяться только относительно единственной МОУУ.

Доказательство. Поскольку потенциальное перемещение точек ЛА на рисунке 5 происходит как вращение относительно определенного центра, рассматриваемые распределения скорости нельзя считать прямолинейными. В этом случае больше подошел бы термин «секторные распределения вращательного движения ЛА», которые далее по тексту будем выделять верхним индексом ^сект, например .

Поэтому, по аналогии с понятиями распределений скорости и ускорения, фигур скорости и ускорения ЛА [4], введем понятия распределения угловой скорости и углового ускорения ЛА, фигур угловой скорости и углового ускорения ЛА.

Распределение угловой скорости ЛА – секторное распределение параметра углового перемещения ЛА, в соответствии с которым точкам текущего положения ЛА (основания) согласно их потенциальному угловому перемещению через единицу времени определено пространственное множество точек границы этого распределения.

Распределение углового ускорения ЛА – секторное распределение параметра углового перемещения ЛА, в соответствии с которым точкам текущего положения ЛА (основания) согласно прогнозируемому приращению угловой скорости точек ЛА через единицу времени определено пространственное множество точек границы этого распределения.

Фигура угловой скорости с основанием H (нижний индекс символа ) в момент времени t_i – граница распределения угловой скорости ЛА как неделимое множество точек, которое характеризует положение этого ЛА через единицу времени после прогнозируемого углового перемещения.

Фигура углового ускорения с основанием D в текущий момент времени t_i – граница распределения углового ускорения ЛА как неделимое множество точек, которое определяет прогнозируемое приращение угловой скорости точек ЛА через единицу времени.

Для исключения замены параметров вращательного движения ЛА параметрами поступательного движения его анализ разложением вектора ускорения точки ЛА на касательное a_τ и нормальное a_n ускорения данной точки [3, с. 110] не используется. При данном анализе используются описанные секторные распределения угловых скоростей и ускорений ЛА.

По разности распределений угловых скоростей и , взятой в масштабе 1 / Δt (где Δt – интервал времени между определением данных угловых скоростей), определим аналитическое выражение для РУНС

(рис. 5б):

,

где – РУНС с отрезком KN в основании (с характерным отрезком по оси Ox ЛА, находящегося в момент времени t₀ = 1 в положении A).

Определим положение РУНС в пространстве.

1. В плоскости α в масштабе значений угловой скорости 1 / Δt определим распределение как обратное распределению угловой скорости (на рисунке 5б показано синей стрелкой). Полученную границу распределения обозначим отрезком K₃N₃.
2. Поворотом по часовой стрелке приведем распределение угловой скорости , определенное в масштабе 1 / Δt, до совмещения его основания с отрезком K₃N₃ в плоскости γ, при γ || β (на рисунке 5 показано зеленым цветом). Получим секторное распределение .
3. Суммированием секторных распределений угловой скорости и в плоскости χ получим распределение по значениям координат ССК ЛА с основанием KN (на рисунке 5 сектор распределения выделен красным цветом).
4. Используя метод, изложенный в теореме [2, с. 240], для t₀ определим положение МОУУ РУНС с основанием A. Для данного случая движения ЛА (рис. 5а) рассматриваемая ось, проходящая через точку O_ε1, располагается перпендикулярно плоскости χ (рис. 5б).

Для доказательства от противного предположим, что может быть разложено на распределения линейного и углового ускорения ЛА относительно произвольного центра:

(3)

Однако, исходя из условия, что может быть разложено на составляющие

,

его составляющие и тоже можно разложить на суммы аналогичные (3):

(4)

Однако, как показано в теореме 1, разложение угловых скоростей ЛА и на составляющие поступательного и вращательного движения приведет к тому, что траектории преобразованного движения (4) не будут совпадать с исходными траекториями. Следовательно, выражение (3) определяет движение ЛА с изменением исходной траектории движения, что противоречит критерию (1) и определяет доказательство теоремы 2 от противного.

По аналогии со следствием 2 для теоремы 2 можно показать изменение параметров исходного и приведенного маневров ЛА.

Приведем произвольно взятое РУНС (например, ) маневрирующего ЛА к центру приведения, не принадлежащего МОУУ этого РУНС (например, согласно выражению (3)). В результате получим распределения линейного и углового ускорения по координатам данного ЛА. Полученное и приведенное состояния движения ЛА, определяемые относительно разных МОУУ, имеют разные значения угловых ускорений точек ЛА ( ~ объему и ~ объему ). При угловом перемещении от одинаковых исходных положений к одинаковым конечным положениям ЛА это определяет, что характеризуемые ими состояния движения данного ЛА нельзя считать эквивалентными. Приведение РУНС к центру приведения, не принадлежащему МОУУ этого РУНС, приводит к изменению состояния движения ЛА, что подтверждает доказательство теоремы 2.

Таким образом, любое приведение РУНС относительно выбранного центра приведения, не принадлежащего оси, относительно которой в данный момент действует угловое ускорение точек этого ЛА в РМ (т.е. относительно текущей МОУС), приводит к неэквивалентности разложения этого РУНС.

Поскольку полученное РУНС, приведенное на рисунке 5б (РУРС, приведенное на рис. 4б), получено единичным вращением (единичным параллельным переносом), можно сделать вывод о том, что для любого момента времени границы этих распределений по отношению к основанию (фигуре самого ЛА) по соответствию размеров и, как следствие, и по форме не изменяются.

Сохранение размеров фигур линейных и угловых скоростей, а также линейных и угловых ускорений дает основание утверждать, что все значения распределений скоростей и ускорения для точек ЛА, лежащих на одной прямой, описываются пропорциональной зависимостью от координат основания. В частности, границы РУРС ЛА, определенные для характерных отрезков ЛА, можно характеризовать положением прямых a^pc_y(x), a^pc_z(y), a^pc_x(z), содержащих эти границы:

(5)

где a^pc_y0, a^pc_z0, a^pc_x0 – значения линейного ускорения границы распределения во всех точках данного распределения.

По аналогии, границы РУНС, определяемые для характерных отрезков ЛА, можно характеризовать положением прямых a^нc_y (x), a^нc_z (y), a^нc_x (z) содержащих эти отрезки:

(6)

где k^нc_y(x), k^нc_z(y), k^нc_x(z) – коэффициенты пропорциональности прямых, содержащих границы РУНС характерных отрезков; a^нc_y0, a^нcz₀, a^нc_x0 – значения границ РУНС в точках ЛА с нулевыми значениями абсцисс ССК; x₀, y₀, z₀ – значения сдвига прямой от положения границы распределения над его основанием.

Перед тем как изложить следующую лемму, сделаем несколько пояснений по используемым в ней терминам и обозначениям. В лемме под линеаризацией значений распределения параметра по координатам ССК ЛА понимается преобразование распределения, определяющее сглаживание их значений по значениям до линейных функций, определяемых от координат ССК ЛА, с сохранением параметров воздействия исходного распределения на динамику ЛА.

Под сохранением параметров воздействия на динамику ЛА понимается сохранение направления и модуля равнодействующей для равномерно сбалансированного распределения параметра по осям ССК ЛА и модуля, плоскости и оси действия для секторного распределения параметра по данным осям.

В интересах дальнейшего исследования РС и НС на ЛА представим второй закон Ньютона в размерности [м/с²] для равномерного и неравномерного действий внешних сил на ЛА ( и ), определяемых в i-й момент времени:

(7)

где a^pc_ЛА(i), a^нc_ЛА(i) – ускорения ЛА от действия РС и НС в i-й момент времени, m_ЛА(i) – масса ЛА, зафиксированная в i-й момент времени.

Отметим, что пространственными распределениями можно представить не только РУРС (2) и РУНС (4), но и распределения РС, НС и массы ЛА, с тем отличием, что границы последних распределений не всегда можно представить в виде сплошных неделимых фигур.

(8)

где – распределения РС, НС и массы ЛА с характерным отрезком в основании, определенные в i-й момент времени.

Лемма

Для любого произвольного момента времени i распределения НС и по координатам ЛА, а также распределение массы ЛА по этим координатам ЛА при влиянии на динамику маневра ЛА, определяемого АТТ, линеаризуются по значениям функций этих распределений.

Доказательство. Распределения углового и линейного ускорений по координатам ССК ЛА и с границами, характеризуемыми линейными функциями (6) и (5), согласно (8), являются частными, что определяет пропорциональность распределений делимого и делителя, т.е. пропорциональность распределений НС и РС и распределения массы ЛА.

Парадокс отношений правых частей выражений (8) в очевидности, что неравномерное распределение РС и неравномерное распределение НС во все моменты времени маневрирования не могут быть пропорциональны ЛА неравномерному распределению массы .

Объяснение данного парадокса лежит в понимании того, как для неравномерного ДВС по конструкции маневрирующего ЛА границы его РУНС и РУРС для любого момента времени оказываются без изменения формы и размеров по отношению к их основанию.

Логическим объяснением этого несоответствия являются свойства ЛА как АТТ. В данном случае это свойство линеаризации действия на ЛА НС и РС так же, как и линеаризации инертного влияния неравномерно распределенной массы ЛА по координатам его ССК с сохранением свойств исходных распределений относительно этих координат. Свойство распространяется на НС и РС во все моменты времени рассматриваемого движения ЛА, что и требовалось доказать по условиям леммы.

Распределения НС и РС, определенные с учетом их линеаризации по координатам ССК ЛА, будем называть действующими распределениями РС и НС этого ЛА, а распределение массы ЛА с учетом этого процесса – влияющим распределением массы данного ЛА.

Свойство линеаризации (выравнивания) значений распределения сил по координатам ССК ЛА можно объяснить взаимными компенсациями и перераспределениями неравномерно действующих внешних сил по конструкции ЛА.

Решение задачи динамики для существующих в РМ неравномерных распределений НС, РС и массы сложно. Использование свойства линеаризации данных распределений делает определение РУРС и РУНС ЛА при решении данной задачи более простым и удобным.

На примере движения ЛА, происходящего в плоскости Oxy, дадим полученным результатам геометрическую интерпретацию (рис. 6, 7).

Обозначения на рисунках 6 и 7: k • m(x), k • m^*(x) – влияющие распределения массы ЛА, представленные для разных случаев. Для наглядности показаны в масштабе по значениям функции, где k – масштаб функций m(x) и m^*(x); F^нc(x)^сект и F^*(x) – секторное и линейное распределения действующих сил, с характерным отрезком ЛА в основании.

Условием возникновения только линейного ускорения ЛА с равномерно влияющим по его координатам распределением массы m(x) является равномерное действующее по этим координатам распределение сил F(x) (рис. 6). При неравномерно влияющем по координатам ЛА распределении массы m^*(x) таким условием является пропорциональное по значениям распределения m^*(x) действующее распределение сил F^*(x) (рис. 6). Отметим, в данном случае F^*(x) – линейное, а не секторное распределение, поскольку созданное им ускорение линейное.

Необходимым условием перехода от движения с линейным ускорением к движению с угловым ускорением ЛА с равномерно влияющим распределением по его координатам массы является действие любой НС. Например, для ЛА с равномерно влияющим распределением по оси Ox ССК массы m(x), представленного на рисунке 6, это может быть действие НС с действующим распределением F^нс(x)^сект (рис. 7).

Одним из путей перехода от движения с угловым ускорением ЛА a(x)^сект к движению с линейным ускорением при действии на ЛА этого же распределения силы F^нс(x)^сект является изменение распределения массы ЛА до неравномерно влияющего по его координатам m^*(x) (рис. 6). При этом значения влияющего распределения массы ЛА должны быть пропорциональны соответствующим значениям действующего распределения сил F^*(x). Таким образом, движение ЛА с угловым ускорением может выродиться, т.е. перейти к частному случаю полета с МОУУ, расположенной в бесконечности. Такое секторное распределение будем называть вырожденным секторным распределением параметра вращательного движения ЛА.

Использование распределений скорости (угловой скорости) ЛА позволяет наглядно продемонстрировать сложные переходы динамики полета с изменением данных скоростей. На рисунке 8 показан результат действия углового ускорения (относительно центра O_ε2) как переход от движения с угловой скоростью (относительно исходного центра O_ω2) к движению ЛА с вырожденным распределением угловой скорости ЛА , т.е. к движению ЛА с линейной скоростью .

Если не брать в расчет сферичность распределения НС и учитывать только положение границы этого распределения, создается ошибочное представление о том, что можно выделить в этом распределении постоянную составляющую. Это и определяет предпосылку классической динамики [3][6] о возможности представления действия НС как одновременного действия сил, формирующих линейное и угловое ускорения ЛА (т.е. НС и РС). Однако свойства секторного распределения значительно отличаются от линейного распределения, что исключает такую возможность.

Отметим, что разделение ДВС на действие НС и РС возможно только для известного распределения массы ЛА на текущий момент времени. С изменением распределения массы ЛА НС могут перейти в РС, и, наоборот.

Теорема 3

Формулировка. Действие НС на маневрирующий ЛА с текущим распределением массы m (x, y, z) по осям его ССК в любой момент времени происходит только относительно одной МОДС.

Постановка задачи. Для движения ЛА с неравномерным распределением массы m (x, y, z) по осям его ССК и известным действующим распределением НС в текущий момент времени необходимо доказать единственность положения МОДС данных сил. Для доказательства можно использовать свойства рассмотренного в теореме 2 РУНС или использовать свойства сил, действующих на АТТ.

Доказательство 1. Доказать единственность существования МОДС для каждого момента времени маневрирования ЛА можно, используя свойство действия его РУНС относительно единственной МОУС для этого момента времени. Согласно выражению (8) единственным распределением, которое может изменить положение МОДС, является распределение массы этого ЛА.

Рассматривая разные варианты, несложно показать, что для равномерного влияющего распределения массы ЛА МОДС совпадает с МОУУ. Пропорциональное изменение длин дуг действующего распределения НС и РУНС, соединяющих точки основания и границы этих секторных распределений, приводит к тому, что положения МОУС и МОДС совпадают (рис. 7). Это можно показать аналитически, определяя пропорциональное убывание прямой, содержащей границу действующего распределения НС, и прямой, содержащей границу РУНС характерного отрезка ЛА, до общей для этих прямых точки с ординатой равной 0.

В случае неравномерного влияющего распределения массы полученное распределение сил (8) определяется не только «растянутым» по оси ординат распределением ускорения (значениям углового ускорения), но и пропорциональным смещением границы этого изменения по оси абсцисс. Поэтому для этого распределения сохраняется параллельность отрезков, соединяющих точки основания и границы распределения, что, как следствие, определяет существование единственной МОДС q^* этого распределения, не совпадающей с МОУС q. На рисунке 9 для распределения заданного ускорения НС ЛА a(x)^сект, приведенного на рисунке 7, показано секторное распределение НС ЛА F^нс*(x)^сект, определенное для ЛА с неравномерным распределением влияющей массы k • m' (x).

Доказательство 2. Единственность существования МОДС можно доказать, поэтапно определяя процессы формирования НС и РС из суммарного ДВС на маневрирующий ЛА.

При определении происходящих процессов будем исходить из того, что ЛА является совокупностью ЭЧ, настолько малых, что плотность каждой из них можно считать однородной. При этом все исходное неравномерное ДВС на ЛА, формируемое тремя видами разнонаправленных сил разной природы, можно разложить на совокупность векторов, каждый из которых приложен к центру ЭЧ ЛА и имеет модуль, характеризующий суммарное действие описанных сил на эту ЭЧ.

Поскольку для каждого момента времени в разных направлениях существует результирующее действие сил всех ЭЧ ЛА, логично предположить, что по одному из направлений их результирующее действие станет больше, чем в остальных, и его преобладающее действие станет формирующим для результирующего действия описываемых сил.

Логично также предположить, что в результате суммарное действие сил по другим направлениям скорректирует параметры формирующего вектора до параметров результирующего вектора всей системы сил, действующих на данный ЛА.

Отметим, что не все векторы сил, действующие на ЭЧ ЛА, участвуют в создании результирующего вектора , который сформирует линейное ускорение ЛА в данный момент времени.

Поэтому выражение

,

где – сумма всех векторов сил действующих на ЭЧ ЛА, не может быть использовано для определения его модуля.

Принимая, что нам известны параметры результирующего вектора , т.е. исходя от обратного, оценим, какие из векторов сил ЭЧ участвуют в его создании.

В первую очередь в создании результирующего вектора принимают участие все векторы, с направлением содержащих их прямых, пересекающих точку приложения результирующего вектора (ТПРВ).

Кроме того, к таким векторам необходимо отнести часть совокупности векторов сил с направлением содержащих их прямых, которые не пересекают ТПРВ. Такие векторы в формировании результирующего вектора участвуют только в случае, если для каждого из них существует вектор равного модуля, действующий симметрично текущей ТПРВ O_ТПРВ (например, векторы, приложенные к точкам L и L₁ на рисунке 10), или вектор, имеющий противоположно направленный относительно O_ТПРВ момент.

Другая часть этой совокупности векторов с направлением содержащих их прямых, не пересекающих ТПРВ, не участвует в формировании равнодействующей, если их момент не компенсируется другими векторами (т.е. которые являются НС). На рисунке 10 в качестве такого вектора показан вектор силы, приложенный к точке Q, не участвующий в формировании результирующего вектора . Данный вектор, кроме того что направление содержащей его прямой не пересекает ТПРВ O_ТПР, не имеет парного вектора (из векторов, представленных на рисунке 10) относительно центра O_ТПР.

Отметим, что существует множество векторов описанного типа, которые участвуют одновременно и в формировании неравномерного, и в формировании равномерно сбалансированного действия сил на ЛА.

Поскольку из известного распределения ДВС при одновременном действии НС определить парность всех векторов, образующих действие РС, сложно, вычислить положение ТПРВ сразу не представляется возможным.

В этом плане проще сначала определить положение МОДС всего ДВС (исходной совокупности разнонаправленных сил), как и момент, создаваемый относительно этой оси. После чего определять распределение РС (и, как следствие, параметры результирующего вектора сил ЛА), вычитая из общего распределения ДВС действующее распределение НС.

Докажем, что все векторы НС формируют суммарный момент ЛА именно относительно ТПРВ. Исходя из факта, что каждый из векторов НС можно перевести в вектор РС, дополнительно приложив к ЛА ему парный вектор с противоположно направленным моментом относительно ТПРВ, следует, что все векторы НС действуют относительно ТПРВ. Например, вектор НС на рисунке 10, приложенный к точке T, станет вектором РС, если к ЛА приложить дополнительный парный вектор, приложенный к точке T^*.

Продолжая описание процесса, отметим, что сформированный суммарный момент НС не может действовать только относительно точки (ТПРВ). В любой рассматриваемый момент времени в одной из плоскостей действие НС будет иметь больший момент, чем в других плоскостях. Это приведет к тому, что его действие, скорректированное действием НС в других плоскостях, создаст результирующий момент всех НС. Одним из параметров данного результирующего момента является положение плоскости его действия, которая содержит ТПРВ и которая определяет положение МОДС – единственной оси действия данного момента.

Рассмотренные свойства НС и РС указывают на то, что разная природа их возникновения, разные свойства возникающих от их действия углового и линейного ускорения ЛА исключают возможность замены действия части НС действием части РС при приведении к оси (центру) приведения (не совпадающему с МОДС). Получаемый при таком приведении момент внешних сил будет действовать относительно новой МОДС с модулем не равным исходному, что указывает на его неэквивалентность исходному моменту внешних сил, действующих на ЛА. Таким образом, МОДС является единственной осью действия НС для данных условий. Теорема 3 доказана.

Результатом выводов теорем 1–3 является доказательство основного утверждения статьи: СМ и РМ ЛА могут быть приняты эквивалентными по критерию (1), а их параметры одинаково изменяющимися во времени только при совпадении их МОУС, МОУУ, и МОДС во все моменты времени движения ЛА.

Принцип моделирования динамики полета ЛА, отвечающий данному утверждению, заключается в том, что моделирование маневра ЛА для каждого момента времени производится не относительно ЦМ ЛА, а с учетом положений МОДС, МОУУ и МОУС движения данного ЛА.

Алгоритмически определение положения ЛА в пространстве через шаг моделирования при известных исходных данных (о его положении, положении его МОУС, распределении внешних сил и массы по координатам его ССК) означает:

• определение МОДС и момента НС ЛА относительно этой оси;
• определение действующих распределений НС и РС, влияющего распределения массы ЛА;
• определение параметров РУРС и РУНС относительно своей МОУУ;
• определение распределений приращений линейной и угловой скоростей ЛА за единицу моделирования (как следствие, определение положения МОУС по отношению к найденному распределению угловой скорости ЛА);
• определение положения МОУС в пространстве движения ЛА путем перемещения МОУС в предыдущий момент времени на значение приращения линейной скорости ЛА за шаг текущего моделирования;
• определение положения ЛА в пространстве его движения путем:
  1. наложения распределения приращения угловой скорости за шаг моделирования на положение ЛА в пространстве его движения с совмещением:
     • найденной МОУС в пространстве с МОУС распределения;
     • точки носа ЛА в пространстве в предыдущий момент времени с точкой носа ЛА в распределении;
  2. поворот ЛА от положения описанного совмещения на распределение приращения угловой скорости за шаг моделирования.

Принципиальное отличие выходных данных предлагаемого моделирования в том, что полученные распределения действующих на ЛА сил по координатам его ССК, а, следовательно, аналогичные распределения скорости и ускорения по координатам данного ЛА не зависят от положения центра приведения сил, действующих на ЛА.