Теоретические основы рабочего процесса вихревой трубы в режиме вакуум-насоса (вихревого эжектора)

ВВЕДЕНИЕ

Газовый эжектор или вихревой компрессор (вихревой эжектор) – простейшие и распространенное газодинамическое устройство, применяемое в разнообразных отраслях промышленности, в частности в авиа- и ракетостроении, вакуумной технике и различных экспериментальных аэродинамических установках [1][2][8].

Основным достоинством эжектора как компрессора является отсутствие движущихся и трущихся деталей, что существенно при работе с горячими либо агрессивными средами.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Вихревые эжекторы применяются во многих областях техники. Однако более широкое распространение вихревых эжекторов (ВЭ) в аэрокосмической технике и других областях машиностроения, а также в промышленной аэродинамике сдерживает отсутствие замкнутой математической модели. Отсутствие этой модели, вполне возможно, связано с тем, что современная физическая модель не совсем соответствует реальным процессам, протекающим в эжекторах различных схем.

На основании вышеизложенного основной задачей данной работы является попытка уточнения существующей модели, соответствующей реальным процессам, протекающим в вихревом эжекторе.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Существуют несколько физико-математических моделей, объясняющих работу эжектора [1][2][9]. Основной недостаток данных физических моделей состоит в том, что по ним нельзя составить замкнутую математическую модель. Для получения единственного решения вводятся эмпирические формулы на основании экспериментальных исследований. Как правило, эти формулы справедливы в той области, в которой были проведены исследования.

В ряде работ эжекторы называют компрессорами без движущихся частей, но ни в одной работе нет уравнений, показывающих механизм передачи энергии от эжектирующего газа к эжектируемому [5][4][10].

На основании теоретических и экспериментальных исследований других авторов и собственных представлена физическая модель вихревого эжектора, в которой учитывается обмен работой и теплотой между эжектирующим и эжектируемым газами. Введение в систему уравнений, описывающих рабочий процесс вихревого эжектора, обмена работой и теплотой позволяет замкнуть систему уравнений [8][11][17].

На основании решения замкнутой системы уравнений составлены две методики:

• методика расчета оптимальных геометрических размеров вихревого эжектора (приложение 1);
• методика расчета характеристик вихревого эжектора при известных геометрических размерах (приложение 2).

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОТЫ ВИХРЕВОГО ЭЖЕКТОРА

Вихревой эжектор – устройство, в котором полное давление эжектируемого газа увеличивается за счет энергообмена с эжектирующим газом. Эжектирующий газ имеет более высокое полное давление и совершает работу над эжектируемым газом силами вязкости, что приводит к повышению давления эжектируемого газа. В результате взаимодействия потоков на выходе из вихревого эжектора (ВЭ) образуется смесь, имеющая полное давление выше, чем давление эжектируемого газа, но ниже полного давления эжектирующего газа [1].

Предлагается следующая физическая модель рабочего процесса вихревого эжектора.

Эжектирующий (высоконапорный) газ истекает из сопла в камеру смешения (рис. 1).

В начальный момент работы ВЭ эжектирующий газ начинает течение из сопла, а эжектируемый газ находится в состоянии покоя. Под действием центробежных сил эжектирующий газ движется по периферии камеры энергообмена 3, создавая разряжение на оси камеры. Под действием разности атмосферного давления и давление разряжения на оси камеры 3 воздух из атмосферы поступает через сопло 2 в камеру 3. В камере 3 силами вязкости происходит энергообмен между эжектирующим и эжектируемым газами. После завершения энергообмена смесь газов поступает в сопло 4 для дальнейшего использования по назначению. Трение и теплообмен на стенках корпуса не учитываются, так как они учитываются КПД сжатия η_c и расширения η_р.

На основании вышеизложенной физической модели составлена математическая модель рабочего процесса вихревого эжектора.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ВИХРЕВОГО ЭЖЕКТОРА

Сумма энергий эжектирующего и эжектируемого газов равна энергии газа, выходящего из вихревого эжектора

(1)

(2)

где N₁ – энергия эжектирующего газа, Вт;
G₁ – расход эжектирующего газа, Кг/с;
L – удельная энергия эжектирующего газа, Дж/кг.

(3)

где η_р – суммарный КПД расширения (отношение реальной работы расширения к изоэнтропной).

Энергия эжектируемого газа после подведения к нему энергии от эжектирующего газа силами вязкости за счет разности линейных скоростей

(4)

где G₂ – расход эжектируемого газа, кг/с;
L₂ – удельная энергия эжектируемого газа после совершения над ним работы эжектирующего газа, Дж/кг.

(5)

где η^*_c – суммарный КПД процесса сжатия (отношение изоэнтропной работы сжатия к реальной).

Суммарная энергия газа на выходе из вихревого эжектора

(6)

где G₃ – расход газа на выходе из вихревого эжектора, кг/с;
L₃ – удельная энергия газа на выходе из вихревого эжектора, Дж/кг.

(7)

Cтепень понижения полного давления эжектирующего газа

(8)

где Р₀₁ – полное давление эжектирующего газа на входе в эжектор, Па;
Р₀₃ – полное давление газа на выходе из эжектора, Па.

Степень повышения полного давления эжектируемого газа за счет энергообмена силами вязкости с эжектируемым газом

(9)

где Р_Н – давление среды, откуда поступает эжектируемый газ, Па.

Степень понижения полного давления газа на выходе из вихревого эжектора

(10)

Уравнения (2)–(10) подставляются в уравнение (1):

(11)

Уравнение (11) является уравнением энергии газа в механической форме. В тепловой форме это уравнение имеет вид [11][13][15]

(12)

где i_0j = C_pj Т_0j – полная энтальпия газа, Дж/кг;
C_pj – теплоемкость при постоянном давлении j-го газа, Дж/(кг•К);
Т_0j – полная температура j-го газа, К;
J = 1–3 – параметры газа на входе эжектирующего газа, эжектируемого газа и на выходе из вихревого эжектора соответственно.

При C_pj = C_p = const и G₂/G₁ = n, уравнение (12) преобразуется к виду

(13)

Полные температуры эжектирующего и эжектируемого газов на входе в эжектор могут иметь одну и ту же температуру, т.е. Т₀₂ = Т₀₁. Тогда из уравнения энергии в тепловой форме (13) следует, что

(14)

C учетом уравнения (14) уравнение энергии в механической форме (11) можно преобразовать следующим образом:

(15)

В уравнении (15) одна неизвестная величина. Это полное давление газа на выходе из вихревого эжектора Р₀₃.

Для нахождения полного давления Р03 раскрываются скобки уравнения (15):

(16)

Все члены уравнения (16) умножаются на величину :

(17)

Уравнение (17) преобразовывается к виду:

(18)

где

;

Полное давление газа на выходе из вихревого эжектора находится путем решения квадратного уравнения (18):

(19)

В уравнении (19) знак плюс перед корнем квадратным взят потому, что полное давление газа на выходе из вихревого эжектора не может иметь отрицательное значение.

На входе в вихревой эжектор скорости эжектирующего и эжектируемого газов имеют различные значения. За счет разности скоростей возникают касательные напряжения, приводящие к снижению скорости эжектирующего газа и повышению скорости эжектируемого газа. Следовательно, силами вязкости кинетическая энергия передается от эжектирующего газа к эжектируемому [1]. Таким образом, эжектирующий газ совершает работу над эжектируемым газом, в результате чего полное давление эжектирующего газа падает, а эжектируемого – растет. Обмен работой приводит также и к изменению полной температуры газа. Полная температура эжектирующего газа падает, эжектируемого – растет [1][12][14].

Изменение полных температур эжектирующего и эжектируемого газов можно определить с помощью известных уравнений термодинамики [6][7]:

(20)

(21)

где T_01p – полная температура эжектирующего газа после завершения энергообмена с эжектируемым газом, К;
T_02p – полная температура эжектируемого газа после завершения энергообмена с эжектирующим газом, К.

Энергообмен заканчивается тогда, когда полное давление эжектирующего и эжектируемого газов будут равны полному давлению их смеси на выходе из вихревого эжектора, т.е. P₀₃.

В процессе обмена работой может оказаться, что статическая температура одного газа будет выше статической температуры другого. В результате возникнет тепловой поток, идущий от более нагретого к менее нагретому, т.е.

(22)

Тепловой поток и температуру T₀₃ на выходе из эжектора можно определить по формулам теории теплопередач или по формуле (13).

Длина пути взаимодействия (энергообмена) эжектирующего и эжектируемого потоков газа зависит от вязкости газа и касательных напряжений.

Касательные напряжения можно определять эмпирической зависимостью Ж. Буссинеска, по гипотезам Прандтля, Тейлора, А. Ферри, Колмогорова [16][3].

Эмпирическая зависимость Ж. Буссинеска

Для вычисления турбулентного касательного напряжения пользуются соотношением, аналогичным закону трения Ньютона

(23.1)

где K – коэффициент турбулентной вязкости, который определяется экспериментально.

Гипотеза Прандтля

Исходя из выражения «кажущегося» напряжения трения

(23.2)

Прандтль показал, что

(23.3)

где l – длина пути смешения.

Кроме того, Прандтлем была найдена полуэмпирическая зависимость, которую назвали «новая формула Прандтля».

В этом случае напряжение трения

(23.4)

где H – экспериментальная величина;
– скорости потока на границах зоны смешения.

Гипотеза А. Ферри

Зависимость для коэффициента турбулентной вязкости

(24)

где V_max – максимальная скорость в струйном слое, b – ширина струйного слоя, H₁ – постоянная.

Между коэффициентом турбулентной вязкости и параметрами течений была установлена связь [16]

(25)

где H₂ – эмпирическая постоянная; ρ, ρ_m – соответственно плотности в струе и на внешней границе потока;

– скорости потоков.

Гипотеза Колмогорова

Турбулентная вязкость характеризуется кинетической энергией пульсаций и некоторым масштабом турбулентности

(26)

где
– величина, пропорциональная кинетической энергии турбулентности;
L – масштаб турбулентности, соответствующий среднему размеру турбулентных вихрей;
k = 0,2 – эмпирическая постоянная. Кроме того, величину касательных напряжений можно определить и по формуле [17]

(27)

Вышеприведенная математическая модель замкнута, по ней можно определить оптимальные геометрические размеры вихревого эжектора для получения заданной степени эжекции. По известным геометрическим размерам определяются характеристики вихревого эжектора во всем диапазоне режимов работы.

Расчетные и экспериментальные данные приведены на рисунке 2 [15][18].

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Вышеприведенная математическая модель рабочего процесса вихревого эжектора замкнута. По ней можно составить две методики расчета:

• методика расчета геометрических характеристик вихревого эжектора для заданных термодинамических характеристик;
• методика расчета термодинамических характеристик вихревого эжектора при известных геометрических параметрах.

Расчеты по данным методикам дают удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными собственными и других авторов [2][8][15].

Теоретически и экспериментально установлено, что эжектируемый поток сжимается после движения по камере смешения, его полная температура растет за счет обмена работой с эжектирующим газом, полное давление – растет.

Обмен работой и теплотой с эжектируемым газом приводит к падению полного давления и полной температуры эжектирующего газа. На выходе из эжектора полное давление и полная температура эжектирующего и эжектируемого газов выравниваются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлены результаты теоретических исследований авторов работы и сравнение их с результатами экспериментов других авторов [2][8][15].

Показано, что в вихревом эжекторе в результате взаимодействия эжектируемый газ повышает свое полное давление и полную температуру за счет совершения над ним работы со стороны эжектирующего газа. В результате обмена работой полное давление и полная температура эжектирующего газа падает. В результате энергообмена возникает разность термодинамических температур, что приводит к возникновению теплового потока от высокотемпературного потока к низкотемпературному. Передача энергии от эжектирующего газа к эжектируемому идет силами вязкости за счет разности угловых скоростей [1].

Приложение 1.

Методика расчета оптимальных геометрических размеров вихревого эжектора для получения заданной степени эжекции

Основные данные берутся в соответствии со схемой, показанной на рисунке 1.

Исходные данные:

Расчет

1. Коэффициент a

2. Коэффициент b

3. Коэффициент с

4. Полное давление газа на выходе из вихревого эжектора

5. Полная температура газа на выходе из эжектора

6. Площадь среза сопла эжектирующего газа

7. Эжектирующее сопло может быть круглым, квадратным или прямоугольным. Все определяется конструктивными особенностями эжектора.

Диаметр сопла:

8. Расход эжектируемого газа

9. Площадь среза сопла эжектируемого газа

где q(λ₂) = 1, так как на оси эжектора вакуум и перепад давлений на срезе сопла сверхкритический.

10. Диаметр среза сопла эжектируемого газа

11. Температура эжектирующего газа после совершения работы над эжектируемым газом

12. Температура эжектируемого газа после обмена работой с эжектирующим газом

13. Газодинамическая функция давления газа на выходе из вихревого эжектора

где Р₃ = Р_Н – при истечении в атмосферу с докритическим перепадом давления или при регулируемой площади сопла.

14. Коэффициент скорости на выходе из эжектора

15. Расходная газодинамическая функция на выходе из эжектора

16. Площадь среза сопла на выходе из эжектора

17. Диаметр среза сопла на выходе из эжектора

18. Величина касательных напряжений между эжектирующим и эжектируемым газом

19. Статическая температура газа на выходе из эжектора

где τ (λ₃) = f (λ₃) = 0,8335.

20. Критическая скорость газа на выходе из эжектора

21. Скорость газа на выходе из эжектора

22. Средняя скорость движения эжектирующего газа от входа до выхода из эжектора

23. Число Рейнольдса

24. Коэффициент сопротивления трения (формула Блазиуса)

25. Плотность газа на входе в эжектор

26. Длина пути по вихревой линии

27. Внутренний диаметр смещения потоков

28. Длина одного шага

29. Число шагов движения потока газа

30. Линейная длина камеры смещения вдоль оси эжектора

Приложение 2.

Методика расчета термодинамических характеристик вихревого эжектора при известных геометрических размерах

Исходные данные:

P₀₁ – полное давление эжектирующего газа, Па;

T₀₁ – полная температура эжектирующего газа, К;

P₀₂ – полное давление эжектируемого газа, Па;

T₀₂ – полная температура эжектируемого газа, К;

k = 1,4 – показатель адиабаты воздуха;

C_D = 1003,5 (Дж/кг•К) – теплоемкость воздуха при постоянном давлении;

; (кг•К/Дж)^0,5 – коэффициент m = 0,0404 – для воздуха;

R = 287 – газовая постоянная воздуха;

= 0,92 – КПД процесса расширения;

= 0,85 – КПД процесса сжатия;

Определить: G₁, G₂, G₃, n, P₀₃, T₀₃.

Расчет

1. Расход эжектируемого воздуха

2. Расход эжектирующего газа

3.

4. Коэффициент a

5. Коэффициент b

6. Коэффициент c

7. Полное давление газа на выходе из вихревого эжектора

8. Полная температура газа на выходе из эжектора

9. Газодинамическая функция давления газа на выходе из вихревого эжектора

10. Коэффициент скорости на выходе из эжектора

11. Расходная газодинамическая функция на выходе из эжектора

12. Расход газа на выходе из эжектора