Кинематический анализ методов пропорциональной навигации применительно к наведению зенитной управляемой ракеты на баллистическую цель

Введение. Постановка задачи

Пропорциональная навигация как закон управления полетом является основой для построения современных систем самонаведения ЗУР. Методы пропорциональной навигации, реализующие этот закон в виде управляющих ускорений, обладают рядом свойств, выгодно отличающих их от других методов наведения. Одним из таких свойств является то, что на заключительном участке полета ЗУР, за несколько единиц – десятков секунд до ее встречи с целью, если цель не маневрирует, а ракета выведена на участок самонаведения на цель без существенных угловых ошибок, то наведение осуществляется фактически по методу параллельного сближения. В свою очередь, достоинством метода параллельного сближения является обеспечение наведения ракеты на неманеврирующую цель без поперечных перегрузок. Последнее позволяет сэкономить энергию («располагаемые перегрузки») ракеты для отработки внезапного маневра цели на конечном участке наведения и в итоге минимизировать промах.

Данное свойство пропорциональной навигации особенно актуально при перехвате баллистических целей – для них характерен регулярный (кеплеровский) характер движения вне атмосферы и интенсивное торможение с большими перегрузками (воспринимаемыми системой управления ракеты как маневр) при входе в атмосферу и движении в ней. Кроме того, современные баллистические цели (боевые блоки и головные части баллистических ракет) создаются способными при движении в атмосфере совершать интенсивные маневры и в поперечном направлении за счет использования аэродинамических органов управления. Ранее такими маневрирующими целями были головные части баллистических ракет Pershing II (производство США, ракета снята с вооружения в 1991 г.), а в настоящее время в различных странах мира активно создаются современные виды гиперзвукового оружия, выводимого к цели с использованием баллистических и аэробаллистических траекторий и способного активно маневрировать в стратосфере.

Сам метод параллельного сближения не получил распространения в системах самонаведения ввиду сложности технической реализации, а также недостатков при работе по маневрирующим целям и в условиях переменной скорости ракеты (что характерно для современных твердотопливных ЗУР, имеющих, как правило, короткий разгонный участок и участок пассивного полета, на котором скорость ракеты интенсивно снижается под действием сил сопротивления воздуха и гравитации), в то время как методы пропорциональной навигации в этих условиях имеют хорошие свойства, которые, собственно, и исследуются в настоящей статье.

Другими ценными свойствами пропорциональной навигации как закона управления являются возможность адаптации траектории ракеты к условиям полета за счет изменения всего одного параметра – коэффициента пропорциональности, а также достаточно простая техническая реализация на борту ЗУР.

Основы теории пропорциональной навигации были впервые сформулированы в США в 1943 году (первая известная монография вышла в 1945 г. [1]). Практически одновременно и независимо сходные результаты были получены немецкими учеными при разработке ракетных систем в 1944–1945 годах. В нашей стране эта теория получила развитие и практическое применение в послевоенные годы – уже в начале 1960-х годов на основе пропорциональной навигации были созданы первые системы самонаводящегося зенитного управляемого ракетного оружия С-200 [2–5] и «Куб».

Однако, несмотря на большую историю развития, из-за преимущественно военного применения, прежде всего в системах ракетного вооружения, теория пропорциональной навигации (в трехмерном представлении и в различных возможных вариантах реализации) широкого освещения не получала и стала достоянием общественности только в последние десятилетия.

Сущность и свойства некоторых методов пропорциональной навигации в настоящее время детально описаны и исследованы в специальной литературе. Наиболее значимыми являются работы зарубежных авторов: классические, многократно переизданные труды П. Зарчана (США) [6][7], монография Н. А. Шнейдора (Израиль) [8], статьи Ю. С. Шукла и П. Р. Махапатра (Индия) [9][10]. Среди отечественных публикаций выделяются монографии Е. И. Кринецкого [11], В. Я. Мизрохи [12], фундаментальная монография под ред. И. С. Голубева и В. Г. Светлова [13], лекции А. В. Беляева [14], а также более ранние статьи А. С. Кельзона и В. Л. Кана [15–17], в которых описаны базовые принципы пропорциональной навигации.

В настоящее время в доступной литературе описаны четыре метода пропорциональной навигации. Наиболее известны методы, именуемые в ряде зарубежных работ PPN (Pure Proportional navigation – «чистая пропорциональная навигация») и TPN (True Proportional navigation – «истинная пропорциональная навигация»). Данные названия методов (как и другие) условны и не отражают их сущности и свойств, а используются лишь для различения методов. Известен также метод, получивший в [8] название IPN (Ideal Proportional navigation – «идеальная пропорциональная навигация»). Именно этот метод в большинстве отечественных работ последних десятилетий описывается как метод пропорциональной навигации и рассматривается безальтернативно, как основа современных систем самонаведения ракет (см., например, [12–14]).

Кроме названных методов в англоязычной Википедии [18] при описании пропорциональной навигации приведено соотношение для управляющего ускорения, формируемого по методу (без специального наименования для него), который в настоящей статье для удобства, в силу его свойств, сочетающих свойства методов PPN и IPN, рассматриваемых ниже, обозначен как PPN-I. При этом отсылка Википедии по поводу этого метода к монографии Р. Янушевского [19] несостоятельна – в монографии описан метод IPN.

Все четыре перечисленные метода (PPN, TPN, IPN, PPN-I) отличаются как свойствами, определяющими способность перехвата цели управляемой ракетой, так и возможностями по их технической (аппаратной) реализации.

Несмотря на детальное описание отдельных методов пропорциональной навигации в специальной литературе, вопрос их сравнения и выбора остается открытым. В качестве работ, где выполнено обстоятельное сравнение, но только двух методов – PPN и TPN, можно назвать монографию [8] и статью [9]. Некоторые самые общие сравнительные сведения по методам PPN, TPN и PPN-I приведены в Википедии [18]. Анализ названных методов в перечисленных работах носит формально-математический характер и не позволяет однозначно отдать предпочтение какому-либо методу (за исключением [9], где из пары PPN и TPN более предпочтительным признан метод PPN). В работах П. Зарчана, прежде всего в статье [7], выполнен глубокий, практически-ориентированный анализ, но только одного метода – IPN. Сравнительный анализ всех четырех перечисленных методов (PPN, TPN, IPN, PPN-I) в единой работе отсутствует.

В настоящей работе проводится сравнительная оценка кинематики¹ ракеты при использовании четырех названных методов (кинематический анализ) с учетом возможности их технической реализации. При этом учитываются неточность исходных данных в начале этапа самонаведения (ошибки вывода ракеты на самонаведение) и особенности движения цели. Учет влияния помех и инерционности элементов системы самонаведения вынесены за рамки рассмотрения в интересах анализа исключительно кинематических свойств методов.

Постановка задачи. Необходимо выполнить сравнительный кинематический анализ четырех приведенных в различных зарубежных и отечественных источниках методов пропорциональной навигации (PPN, TPN, IPN, PPN-I) при самонаведении ЗУР на маневрирующую баллистическую цель (типа головная часть тактической баллистической ракеты) в верхних слоях стратосферы. Исходными данными для оценки методов являются известные параметры траектории цели (модель цели), высотный диапазон перехвата цели, дальность начала самонаведения ЗУР (определяется потенциалом головки самонаведения (ГСН)), а также ошибки в исходных данных на начальном этапе самонаведения ракеты на цель, обусловленные погрешностями вывода ракеты в точку начала работы ГСН и самонаведения.

Для выполнения сравнительного анализа методов необходимо выбрать и обосновать показатели качества наведения, разработать модель управляемого движения ЗУР, и, далее, оценить значения и характер изменения показателей качества наведения для разных методов в зависимости от траекторных параметров рассматриваемой цели.

Сравнительный анализ необходимо выполнить с учетом возможностей технической реализации методов.

1. Кинематика ракеты и исследуемые методы пропорциональной навигации

Предварительно, с целью задания математического базиса для анализа, опишем кинематику неуправляемой ракеты при абсолютном и относительном (относительно цели) движении в инерциальной системе координат (ИСК).

Прямоугольная ИСК Oxyz задается следующим образом: ее центр совпадает с точкой расположения радиолокатора, осуществляющего выведение ЗУР в точку начала работы ГСН для последующего самонаведения на цель, ось Ox направлена по линии горизонта координат до правой тройки.

ЗУР и цель рассматриваются как материальные точки. При этом с целью анализа только кинематики ЗУР, обусловленной управлением, не рассматриваются силы, определяющие движение ЗУР: тяга двигателей, гравитация и аэродинамические силы. Для цели, движущейся на заключительном участке Кеплеровой траектории, учитываются действие гравитации и лобовое сопротивление воздуха.

Траектория ЗУР в ИСК в каждый момент времени определяется радиус-вектором и вектором скорости :

где х_р, y_р, z_р – координаты ЗУР в ИСК.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в текущей точке.

Текущая дальность до ракеты и ее скорость определяются как модули соответствующих векторов:

Вектор ускорения ракеты определяется как производная по времени от вектора скорости:

Вектор рассматривается как сумма тангенциальной и нормальной составляющих:

Нормальная составляющая вектора ускорения является управляющей и задается метом наведения. Влияние вектора , создаваемого по различным методам наведения, на траекторию ракеты оценивается в настоящей работе. При этом учитывается техническая возможность формирования управляющего ускорения.

Общее уравнение для вектора нормального ускорения имеет вид:

(1)

где – вектор угловой скорости вращения вектора ;
× – знак векторного произведения.

Вектор в текущей точке траектории определяется следующим образом [20]: он лежит в плоскости, перпендикулярной вектору , его модуль равен угловой скорости вращения вектора , а направление таково, что совместно с вектором и единичным вектором нормали, направленной по радиусу кривизны траектории, он образует правую тройку.

Изменение вектора обеспечивает изменение направления полета ЗУР. Для этого применяются аэродинамические или газодинамические способы создания управляющих моментов и сил в поперечном к продольной оси ракеты направлении. Скорость ЗУР V_р (составляющая формулы (1)) не используется для управления направлением полета – понадобилось бы при наведении на маневрирующую цель как ускорять ракету, так и замедлять ее движение, что неприемлемо.

Опишем кинематику движения ракеты относительно цели. При этом траекторию цели считаем известной. Она характеризуется радиус-вектором цели и вектором скорости цели .

Введем векторы относительной дальности и относительной скорости

цели (относительно ракеты) как разности соответствующих векторов цели и ракеты:

Их абсолютные величины равны, соответственно,

.

Для удобства описания и отображения введем вектор скорости сближения ракеты с целью

Вектор угловой скорости вращения вектора относительной дальности (линии визирования ракета – цель) рассчитывается, как показано в [8], с использованием векторного произведения векторов и по формуле

.

Вектор перпендикулярен двум векторам – и , его направление определяется по правилу правой руки. Поясняющая схема приведена на рисунке 1. Вектор на практике измеряется ГСН ЗУР [21][22].

Описание кинематики управляемой ракеты включает приведенные выше уравнения для описания относительного движения неуправляемой ракеты и уравнение для управляющего ускорения, формируемого в соответствии с одним из анализируемых методов пропорциональной навигации.

Идея пропорциональной навигации как закона наведения заключается в управлении полетом ракеты таким образом, чтобы вектор скорости ракеты поворачивался с угловой скоростью, пропорциональной угловой скорости вращения линии визирования ракета – цель и в том же направлении:

(2)

где – требуемый вектор угловой скорости вращения вектора скорости ракеты;
К_м – коэффициент пропорциональности (коэффициент метода, навигационная постоянная),
К_м > 1, на практике К_м = 2,5 – 8.

Для управления полетом ракеты по закону пропорциональной навигации (2) необходимо создавать соответствующее управляющее (нормальное) ускорение. Общая формула для расчета требуемого управляющего ускорения ракеты, формируемого по закону пропорциональной навигации, имеет вид

(3)

где – векторная величина, имеющая физический смысл скорости.

На основе рассчитанного по формуле (3) управляющего ускорения вырабатываются команды управления полетом ракеты, реализуемые газодинамическими или аэродинамическими органами управления.

Формула (3) в зависимости от способа определения вектора (его направления и величины) задает семейство методов пропорциональной навигации.

Дадим описание отдельных известных методов пропорциональной навигации.

Метод PPN. Для этого метода

= , требуемое управляющее ускорение равно

(4)

Формируемое управляющее ускорение соответствует нормальному ускорению ЗУР (1) – оно ортогонально вектору скорости ЗУР. Взаимосвязь векторов, используемых для формирования управляющего ускорения по методу PPN, показана на рисунке 2.

На рисунке 2а (общий вид) изображено: вектор (направлен вглубь рисунка) перпендикулярен векторам и , обеспечивая, в соответствии с (4), поворот вектора и связанного с ним вектора в сторону вектора (линии визирования ракета – цель). В итоге при совпадении направлений векторов и , реализуется метод параллельного сближения.

На рисунке 2б для упрощения восприятия показан вид векторов со стороны конца вектора (обозначен точкой в кружке). Принято, что векторы скорости ,

и вектор лежат в одной плоскости (в общем случае это не так) – в плоскости рисунка. Для показанного случая расположения векторов , и вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка в сторону наблюдателя, круговой стрелкой показано направление вращения вектора (и связанного с ним вектора ) относительно вектора .

На практике вектор , используемый в методе, может быть измерен бортовой инерциальной системой наведения (ИНС) ракеты.

Метод TPN. Для этого метода , где – единичный вектор относительной дальности цели. Требуемое управляющее ускорение равно

и формируется ортогонально линии визирования ракета – цель (рис. 3). Требуемое управляющее ускорение метода ТPN в общем случае не ортогонально вектору скорости ЗУР.

На практике единичный вектор (направление на цель) измеряется следящей угловой системой ГСН.

Метод IPN. Для этого метода . Требуемое управляющее ускорение равно

и формируется ортогонально вектору скорости сближения ракеты с целью (рис. 4). Требуемое управляющее ускорение в общем случае не ортогонально вектору скорости ЗУР.

Не имеется технических способов измерения вектора . На практике на борту ЗУР он может быть рассчитан по данным ИНС о векторе скорости ракеты и результатам траекторной обработки измерений, выполняемых доплеровской ГСН. В оптической ГСН техническая реализация измерения относительной скорости цели затруднена (необходимо использовать активный лазерный канал).

Метод PPN-I. Для этого метода =, где – единичный вектор скорости ракеты. Требуемое управляющее ускорение равно

Оно направлено ортогонально вектору скорости ракеты, как в методе PPN (рис. 2), но, в отличие от этого метода, пропорционально величине относительной скорости цели V_сбл, как в методе IPN. Техническая реализация метода, как и метода IPN, в общем случае требует траекторных расчетов по данным доплеровской радиолокационной ГСН. В частном случае в качестве оценки параметра V_сбл может использоваться значение скорости изменения относительной дальности , получаемое доплеровским приемником ГСН.

Как видно из приведенных описаний, в методах PPN и PPN-I формируемое управляющее ускорение ортогонально вектору скорости ракеты, что обеспечивает «чистое» управление ракетой в смысле соотношения (1), то есть управляющее воздействие изменяет направление вектора скорости ЗУР, не требуя изменения его величины.

В методах TPN и IPN управляющее ускорение в общем случае не ортогонально вектору скорости ракеты . Реализация требуемого управляющего ускорения вследствие этого предполагает изменение как направления скорости ракеты, так и ее абсолютной величины, то есть необходимо управлять работой двигателя ракеты, причем в некоторых случаях тормозить ракету. Ясно, что в чистом виде методы TPN и IPN не реализуемы. Реализация этих методов без управления скоростью ракеты приводит к изменению их свойств. Ниже исследуются свойства этих методов без управления скоростью ракеты.

Анализ уравнений четырех исследуемых методов показывает, что, при их общности, для каждого из них свойственна своя техническая реализация.

Общность технической реализации методов определяется тем, что во всех случаях для измерения вектора угловой скорости линии визирования ракета – цель используется ГСН (радиолокационная или оптическая). Она же, сопровождая цель, измеряет относительное направление на цель, то есть измеряет вектор , необходимый в методе TPN. Общей является также необходимость использования ИНС для измерения вектора скорости ракеты (для использования его в качестве множителя в уравнении метода или для вычисления вектора).

Особенности технической реализации методов определяются возможностью использования ГСН определенного типа.

Сопоставительные данные по рассмотренным методам с учетом возможности их технической реализации сведены в таблицу 1.

Отметим, что помимо четырех рассматриваемых методов возможны и другие варианты реализации закона пропорциональной навигации (2). Так, работоспособным является аналог метода IPN, в котором вместо вектора используется скаляр V_сбл:

Однако качество такого метода, как показывает анализ, ниже, чем у метода IPN.

Метод этого вида использовался в системах наведения ракет 60-х годов прошлого века. При этом взамен величины V_сбл использовалось оценочное значение скорости изменения относительной дальности на момент встречи ракеты с целью, которое рассчитывалось по результатам прогнозных траекторных оценок движения ракеты и цели и поступало в бортовой вычислитель команд управления ракеты перед ее стартом. Использование приведенного метода можно объяснить недостаточным развитием технологий 1950-х годов и отсутствием элементной базы для построения бортовых измерителей вектора скорости ракеты . Недостатки системы наведения ракеты компенсировались повышением мощности боевой части, что гарантировало поражение цели.

2. Показатели качества наведения

Для оценки качества наведения выберем следующие показатели: величину нормальных ускорений, мгновенный промах и характеристическую управляющую скорость ракеты.

Нормальные ускорения W_р.н, вырабатываемые с учетом возможности технической реализации метода наведения, характеризуют маневренные возможности ракеты, потребные для компенсации начальных ошибок ракеты. При использовании для управления полетом ракеты двигателей поперечного управления (ДПУ) величина W_р.н характеризует потребное значение импульса тяги ДПУ. При аэродинамическом способе управления параметр W_р.н характеризует требования к аэродинамике корпуса ракеты и эффективности ее аэродинамических рулей.

Величина W_р.н определяется величиной требуемого управляющих ускорения и рассчитывается по результатам моделирования с учетом отсутствия управления абсолютной скоростью ракеты.

Более предпочтительным будет тот метод наведения, для реализации которого требуются меньшие управляющие ускорения (при прочих равных).

Мгновенный промах характеризует точность наведения ракеты на цель. Мгновенный промах представляет собой проекцию вектора относительной дальности на плоскость, перпендикулярную вектору (см. рисунок 5).

При наведении ракеты на цель по методу параллельного сближения и равномерном и прямолинейном полете цели и ракеты мгновенный промах на протяжении всего времени движения ракеты равен нулю (направления векторов и совпадают). При использовании для наведения ракеты на маневрирующую цель закона пропорциональной навигации мгновенный промах равен нулю, как правило, в конце наведения.

Основные соотношения для вычисления мгновенного промаха и параметров, связанных с ним, приведены ниже.

Мгновенный промах определяется как разность векторов:

где τ_п – время полета, оставшееся до встречи ракеты с целью при их дальнейшем равномерном и прямолинейном движении.

Фазу мгновенного промаха определим как угол между векторами и :

Большое значение показателя φh в конце наведения свидетельствует о низкой эффективности метода наведения: с учетом наличия задержек в контуре самонаведения при отработке команд управления, ракета пролетит мимо цели. Напротив, нулевая фаза является индикатором того, что сигнал ошибки в контуре самонаведения равен нулю ( = 0), то есть реализуется наведение по методу параллельного сближения. В целом показатель φ_h позволяет судить о динамике сближения векторов и при движении ракеты к цели.

Величина мгновенного промаха равна

Скорость изменения относительной дальности до цели равна

Оставшееся время полета τ_п (в предположении равномерного и прямолинейного движения ракеты и цели) равно

.

Характеристическая управляющая скорость ракеты представляет собой интеграл по времени полета ракеты от функции W_р.н(t):

,

где t_п – продолжительность полета на участке самонаведения.

Этот показатель численно равен величине добавочной скорости, которую приобрела бы ракета под действием только управляющей силы и при отсутствии прочих сил.

Данный показатель позволяет оценивать затрачиваемые ресурсы двигателей (разгонного и/или ДПУ) для управления полетом ракеты. При аэродинамическом способе управления показатель Vхар.упр характеризует степень снижения скорости ракеты из-за потерь, связанных с созданием требуемой подъемной силы. При управлении полетом с помощью ДПУ показатель V_{хар.упр} определяет потребный запас топлива ДПУ и, косвенно, массу ракеты. Ясно, что чем меньше показатели h и V_{хар.упр} в конце наведения, тем лучше метод наведения.

3. Оценка методов при наведении на баллистическую цель

3.1. Модель движения баллистической цели

Моделируется движение головной части тактической баллистической ракеты на заключительном участке траектории в верхних слоях стратосферы. При построении траектории цели учитываются наиболее значимые факторы: гравитация и лобовое сопротивление воздуха (действие которых воспринимается как маневрирование цели, главным образом вдоль продольной оси), а также маневр цели в поперечном направлении.

Начало траектории цели задается точкой и вектором скорости в ней .

Вектор силы лобового сопротивления направлен противоположно вектору скорости . Ускорение, создаваемое силой лобового сопротивления, равно , где m_ц – масса цели. Величины с_x и ρ зависят, соответственно, от скорости и высоты.

Маневр цели задается вектором ускорений

,

являющимся функцией времени.

Система дифференциальных уравнений, описывающих движение цели, имеет вид:

Интегрирование данной системы по времени при заданных исходных данных и известных функциях дает траекторию цели и ее скорость .

3.2. Определение направления вывода ракеты

Примем, что ракета выводится с начальной (опорной) траектории на участок самонаведения на цель таким образом, чтобы вектор скорости ракеты был направлен в упрежденную точку встречи, рассчитанную исходя из предположения о равномерном движении ракеты и цели, что позволяет реализовать метод параллельного сближения. В связи с неточностью определения координат цели и ракеты радиолокатором, поддерживающим инерциальное управление полетом ракеты до начала самонаведения, и ошибками ИНС, определяющей положение ракеты, вывод ракеты осуществляется с некоторой угловой ошибкой Δα, вследствие чего существует начальный мгновенный промах. Величина угловой ошибки вывода ракеты, как показано в статье [25], зависит от взаимной ориентации радиус-векторов ракеты и цели и точностных характеристик радиолокатора и ИНС и может быть оценена по полученным в статье формулам. В процессе самонаведения ЗУР на цель угловая ошибка вывода ракеты отрабатывается используемым методом самонаведения.

Рассчитаем направление в упрежденную точку встречи из точки начала самонаведения, относительно которого в последующем, задавая угловые ошибки вывода ракеты, будем оценивать качество их отработки при использовании различных методов наведения.

Для упрощения выкладок и большей наглядности положим, что цель и ракета в начале самонаведения находятся в одной плоскости Оху, то есть начальные координаты по оси Оz равны z_ц0 = 0, z_р0 = 0, V_цz0 = 0. Такое предположение не означает перехода к моделированию в одной плоскости, так как в последующем, за счет ненулевой составляющей ускорения маневра W_цмz, движение цели и ракеты приобретает трехмерный характер в системе координат Охуz.

На рисунке 6 показан треугольник сближения «ракета (Р) – цель (Ц) – точка встречи (ТВ)», в котором находятся ракета и цель при их равномерном и прямолинейном движении. Стороны треугольника имеют величины r_отн, r_р-тв, r_ц-тв. Углы напротив этих сторон обозначены, соответственно, γ, β, α.

Известными данными для моделирования являются:

• угол α_ц0, характеризующий наклон траектории цели относительно плоскости горизонта в начальной точке (задается вектором );
• начальные координаты ракеты и цели, то есть радиус-векторы и .

Необходимо рассчитать угол α_р0, характеризующий направление вектора скорости ракеты в начале самонаведения в упрежденную точку встречи, относительно которого будет задаваться угловая ошибка вывода Δα.

Используя теорему синусов, запишем равенство

откуда

где t_п – время полета цели до перехвата ракетой; β = αр-ц – α_ц0.

Угол α_р0 рассчитывается как сумма

(5)

где

Одновременно из треугольника сближения найдем время t_п, оставшееся до встречи, при равномерном и прямолинейном движении ракеты и цели. Это позволит задавать время моделирования перехвата цели при использовании различных методов наведения. С учетом маневрирования цели оно будет не меньше времени t_п.

По теореме косинусов

где γ = π – (α + β).

С учетом того, что r_ц-тв = t_пV_ц0 и r_р-тв = t_пV_р0, получаем уравнение

,

откуда

(6)

3.3. Моделирование движения ЗУР при наведении на цель

Начало траектории ракеты задается точкой , в которую выведена ракета для последующего самонаведения на цель, и вектором скорости в ней .

Начальное направление вектора скорости α_р0 определяется по формуле (5) и с учетом угловой ошибки вывода Δα, рассчитываемой по формулам, приведенным в статье [25].

С целью выполнения сравнительного кинематического анализа методов наведения принимаем, что на ракету не действует никаких других сил, кроме управляющих ускорений. Начиная с точки вывода ракета наводится на движущуюся цель по одному из методов пропорциональной навигации, описываемых формулами расчета требуемых управляющих ускорений .

Система дифференциальных уравнений, описывающих управляемое движение ракеты к цели, имеет вид:

При описании в п. 1 существа методов наведения было показано, что реализация методов TPN и IPN в общем случае требует изменения скорости ракеты. В связи с тем, что в современных ЗУР отсутствует управление скоростью ракеты, при моделировании необходимо устранить влияние управляющего ускорения на скорость ракеты. С этой целью для методов TPN и IPN при вычислении координат ракеты (четвертое уравнение системы уравнений) используем нормировку скорости ракеты в виде:

(7)

Полученная система уравнений, дополненная функциями с_x(V_ц), ρ(y_ц) и для вычисления входящих в ее состав переменных, является замкнутой. При известных исходных данных она дает траектории ракеты и цели и их скорости .

Решение системы уравнений (моделирование движения) осуществляется численными методами в координатной форме в ИСК Oxyz.

Время моделирования tм задается исходя из неравенства t_м ≥ t_п, где величина t_п рассчитывается по формуле (6). Интервал моделирования равен Δt = t_м/n, где n – количество шагов моделирования.

Результатом моделирования для ракеты в дискретные моменты времени являются значения ее радиус-вектора и скорости , где i = 0,…, n–1. Отметим, что для методов TPN и IPN ввиду нормировки (7) значения вектора скорости должны определяться по формуле

С использованием полученных значений и вычисляются текущие значения:

• величины скорости ;
• вектора ускорений
• вектора тангенциального ускорения , где
  
  
• вектора нормального ускорения , или

Аналогичные вычисления выполняются для цели.

3.4. Оценка качества наведения ракеты

Оценку качества наведения ракеты при использовании различных методов наведения выполним, опираясь на следующие исходные данные.

Цель имеет начальные координаты:

= (30 000, 60 000, 0)^т (в метрах). Скорость цели в начальной точке равна V_ц0 = 3000 м/c, угол наклона траектории α_ц0 = 30º.

Начальные параметры ракеты равны:

= (0, 35 000, 0)^т (в метрах), V_р0 = 2500 м/c.

Начальный угол наклона вектора скорости ракеты и время полета ракеты, рассчитанные, соответственно, по формулам (5), (6), равны α_р0 = 51,598º, t_п = 7,227 с.

Коэффициент метода принимается равным К_м = 5.

А. Скорость ракеты постоянна

Ввиду принятого предположения об отсутствии действия на ракету сил (кроме управляющих), скорость ракеты в процессе наведения на цель остается неизменной, равной начальной скорости V_р0.

Для сравнительного анализа вначале выполним расчеты для случая, когда на цель также не действуют никакие силы ( ). Моделирование полета цели и ракеты при наведении по разным методам в этом случае дает траектории, приведенные на рисунке 7.

В рассматриваемом случае наведение для всех методов свелось к методу параллельного сближения. Все методы дают одинаковые результаты (траектории полета ракеты по разным методам наведения на рисунке 7 совпали и накрыты красной траекторией метода PPN). Перехват цели происходит в точке с координатами (11 212, 49 145, 0)^т. На протяжении всего полета нормальные ускорения W_р.н, мгновенный промах и характеристическая управляющая скорость V_{хар.упр} равны нулю.

При тех же условиях введем начальную угловую ошибку вывода ракеты, равную 1º, при этом α_р0 = 52,598º. Графики показателей качества наведения для этого случая приведены на рисунке 8.

Для этих условий начальный промах составляет 300 м. Для его отработки для разных методов требуются ускорения на интервале самонаведения порядка 0,2–3,5 g₀, в конце – до 14,5 g₀. Величина характеристической управляющей скорости в конце наведения при этом составляет 63–87 м/с.

Из графиков видно, что методы, использующие в качестве параметра для вычисления управляющих ускорений относительную скорость сближения V_сбл (методы IPN и PPN-I), отрабатывают начальную ошибку значительно быстрее, чем методы PPN и TPN, не учитывающие ее. Метод PPN-I, имеющий наилучшие результаты по быстроте отработки начальной ошибки, при этом не требует больших управляющих ускорений и высокой характеристической управляющей скорости.

В методах TPN, IPN, в которых вектор управляющего ускорения в отличие от PPN и PPN-I формируется не ортогонально вектору скорости ракеты, требуемое управляющее ускорение вблизи цели (за 0,5 с до точки встречи) интенсивно возрастает (в случае отсутствия нормировки скорости (7) этого роста нет, однако в этом случае необходимо управлять абсолютной скоростью ракеты).

Далее, приняв начальную угловую ошибку вывода ракеты равной 3º (начальный промах равен 925 м), получаем, что требуемые ускорения для отработки промаха на интервале самонаведения возрастают до 4,1–8,6 g₀, характеристическая управляющая скорость – до 164–270 м/с, при этом соотношения показателей, показанные на рисунке 8, для разных методов сохраняются.

Учтем действие на цель сил гравитации и лобового сопротивления воздуха. Графики показателей качества для этого случая, при начальной угловой ошибке равной 1º, приведены на рисунке 9.

При том что показатели качества, показанные на рисунке 8, ухудшились в среднем в 1,5–2 раза, тенденции их изменения и соотношения между ними сохранились.

Далее дополнительно введем боковой маневр цели с ускорением 6g₀ в направлении оси Oz. Траектории цели и ракет, наводимых по разным методам, для этого случая приведены на рисунке 10, графики показателей качества – на рисунке 11.

Как следует из приведенных графиков, тенденции показателей и соотношения между ними сохраняются.

Для управления полетом (прежде всего для отработки поперечного ускорения цели 6g₀) для разных методов потребны управляющие ускорения до 10–30 g₀, а величина характеристической управляющей скорости в конце наведения возрастает до 570–800 м/с. Так как для рассматриваемых высот перехвата цели аэродинамическое управление полетом невозможно, то двигатели поперечного управления для обеспечения полученных значений показателей W_р.н и V_{хар.упр} должны иметь достаточно высокие тяговые показатели и сохранять их в течение всего времени наведения. Ориентировочный расчет показателей ДПУ и запаса топлива может быть выполнен по методике, приведенной в статье [26].

Б. Переменная скорость ракеты

Оценим свойства методов вне рамок кинематического анализа, с учетом действия на ракету сил гравитации и лобового сопротивления воздуха.

С этой целью модифицируем систему дифференциальных уравнений, описывающих управляемое движение ракеты к цели, – третье уравнение запишем в виде

,

где – вектор силы лобового сопротивления для ракеты;
m_р – масса ракеты.

Результаты моделирования полета ракеты для этого случая, для наведении по разным методам, при отработке начальной угловой ошибки 1º, действии на цель сил гравитации и лобового сопротивления и боковом маневре цели с ускорением 6g₀, приведены на рисунке 12.

Из полученных графиков следует, что при переменной скорости ракеты описанные выше соотношения между показателями качества для разных методов наведения имеют тот же характер, что и при выполненном кинематическом анализе.

В. Результаты оценки методов при варьировании исходных данных

Для оценки степени влияния различных факторов на качество наведения выполнено моделирование наведения ракеты на цель по четырем разным методам пропорциональной навигации с варьированием исходных данных в широких пределах.

Космические исследования и ракетостроение | Для моделирования с учетом возможных параметров траекторий баллистических целей, описанных в [27], принимались следующие значения исходных данных:

• угол наклона траектории цели α_ц0: 30º, 50º, 80º;
• ускорение бокового маневра цели: 0, 4, 6g₀;
• начальная скорость цели V_ц0: 3000, 4000, 5500 м/c;
• начальная скорость ракеты V_р0: 2000, 2500, 2800 м/с;
• угловая ошибка вывода ракеты: 0º, 1º, 3º;
• начальная высота цели (координата y_ц0): 50 000, 60 000, 70 000 м, при этом начальная высота ракеты (координата yр0), соответственно – 25 000, 35 000, 45 000 м;
• коэффициент метода К_м: 3, 5, 6, 10.

Моделирование выполнено для наиболее представительных комбинаций перечисленных исходных данных. Ввиду большого объема результатов моделирования графики показателей качества наведения не приводятся.

Во всех случаях характерной тенденцией является существенное (скачкообразное) возрастание формируемых методами TPN и IPN управляющих ускорений вблизи цели (за 1–2 с до встречи ракеты с ней).

Для методов PPN и PPN-I вблизи цели характерен плавный рост управляющих ускорений или даже их постоянство (выход на метод параллельного сближения) – в зависимости от интенсивности маневра цели в соотношении с величинами скорости ракеты и коэффициента метода К_м.

Проведена также оценка метода PPN-I при использовании вместо текущей величины относительной скорости сближения V_сбл ее начального значения V_сбл.0, получаемого по данным наземной РЛС (имитация отсутствия информации от доплеровского приемника ГСН ввиду воздействия на него помех). Также выполнена оценка качества метода при использовании на конечном участке наведения ЗУР вместо параметра V_сбл величины , которая может быть рассчитана по измерениям доплеровского приемника ГСН. Моделирование показало практическую идентичность получаемых результатов, что позволяет отнести повышенное качество метода PPN-I, представленное на приведенных выше графиках, на счет эквивалентного увеличения коэффициента метода К_м пропорционально отношению V_сбл/V_р, используемому в методе.

Для различных вариантов исходных данных во всех методах лучшее качество наведения достигается при больших значениях коэффициентах К_м (наведение приближается к наведению по методу параллельного сближения). На практике большие значения коэффициента К_м не используются ввиду усиления шумов в каналах управления и снижения вследствие этого точности наведения, а также в связи с ростом неустойчивости контура управления (появление переколебаний управляющих ускорений). Вместе с тем, как следует из расчетов, при увеличении коэффициента К_м в определенных пределах наблюдается снижение характеристической управляющей скорости ракеты. Коэффициент метода К_м, таким образом, является своеобразным параметром компромисса между качеством наведения и ресурсами двигателей ракеты, затрачиваемыми для управления.

Заключение

Выполненный сравнительный кинематический анализ четырех методов пропорциональной навигации (PPN, TPN, IPN, PPN-I) для использования в системе управления ЗУР при наведении на высокоскоростную маневрирующую цель (типа баллистической маневрирующей цели на заключительном участке ее полета) показал предпочтительность методов, формирующих управляющее ускорение ортогонально вектору скорости ракеты – это методы PPN и PPN-I.

Методы TPN и IPN, формирующие управляющее ускорение ортогонально, соответственно, линии визирования ракета – цель, и вектору относительной скорости ракеты, имеют резкий рост управляющих ускорений и рост фазы промаха в конце наведения на маневрирующую цель, что приведет в реальных (не кинематических) системах наведения, которым свойственно наличие ограничений на управление по располагаемым перегрузкам, к росту динамической ошибки наведения и промаху в точке встречи ракеты с целью.

Анализ возможности технической реализации методов показал, что предпочтительными являются методы PPN и TPN, так как они используют меньший набор параметров для формирования управляющего ускорения по сравнению с методами IPN, PPN-I, и эти параметры в любом случае измеряются ГСН и ИНС (это вектор угловой скорости линии визирования ракета – цель , направление на цель , и вектор скорости ракеты ). Методы IPN и PPN-I в дополнение к параметрам и требуют вычисления вектора относительной скорости . Использование в методах параметра может привести к ухудшению качества наведения при наличии помех по доплеровскому каналу измерения радиальной скорости цели, которая требуется для вычисления вектора .

Таким образом, по совокупности показателей качества наведения и возможности технической реализации, предпочтительным является метод наведения PPN. Кроме этого, данный метод является универсальным – он может применяться в системах неведения как с оптическими, так и радиолокационными ГСН.