Использование импедансной аппроксимации для электродинамического моделирования тонких диэлектрических и резистивных оболочек

Развитие радиолокации и радиотехники требует решения задач дифракции электромагнитных волн (ЭМВ) на радиолокационных целях и в элементах антенно-фидерного тракта радиотехнических устройств. В настоящее время методы решения подобных электродинамических задач достаточно хорошо развиты для идеально проводящих тел – в виде строгих решений методом интегральных уравнений (ИУ) и асимптотическими методами – методом краевых волн (МКВ) или методом геометрической теории дифракции (ГТД). Однако на практике реальные радиолокационные объекты и элементы антенно-фидерного тракта наряду с металлической поверхностью могут содержать диэлектрические элементы. При решении подобных задач методом ИУ существенно возрастает размерность численной модели исследуемого объекта и, как следствие, ее вычислительная трудоемкость, а методы МКВ и ГТД в части электродинамического анализа структур, содержащих диэлектрические элементы, не развиты. Вместе с тем существует обширный класс задач из области радиолокации и антенной техники, когда объектом исследования являются металлические тела с электрически тонкими диэлектрическими или резистивными оболочками (покрытиями, антенными обтекателями, изоляторами и др.). Анализ возможностей метода ИУ показывает, что для электродинамического анализа тонких диэлектрических оболочек возможно использование импедансной аппроксимации диэлектрических слоев на основе интегральных уравнений I рода, при этом существенного усложнения и увеличения вычислительной трудоемкости не происходит.

При дальнейшем выводе формул в качестве значения абсолютной магнитной проницаемости используется абсолютная магнитная проницаемость свободного пространства (μ = μ₀), то есть рассматриваемые тела и среды не являются магнетиками. При последующем изложении предполагается, что диэлектрическое тело является изотропным, а также диэлектрическая проницаемость и электрическая проводимость не зависят от напряженности электрического поля.

Для вывода интегрального уравнения, соответствующего дифракционной задаче на диэлектрическом теле, воспользуемся четвертым уравнением Максвелла в дифференциальной форме, записанным для комплексных амплитуд гармонических величин [1]:

(×H) = iωε_a E, (1)

где – векторный дифференциальный оператор «набла»; H – вектор напряженности магнитного поля; (×H) – векторное произведение векторов и H, соответствует операции «ротор» векторной величины H; ω – угловая частота; ε_a – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; E – напряженность электрического поля; i – мнимая единица, в данном уравнении соответствует операции дифференцирования по времени для комплексных гармонических величин.

В выражении (1) и далее по тексту символы, выделенные жирным шрифтом, обозначают векторные величины.

Уравнение (1) можно представить в виде:

(×H) = iωε₀E + iω(ε_a – ε₀)E, (2)

где ε₀ – абсолютная диэлектрическая проницаемость свободного пространства.

Первое слагаемое в (2) определяет зависимость (×H) от напряженности электрического поля E в свободном пространстве, второе слагаемое – зависимость (×H) от разницы (отличия) диэлектрической проницаемости среды ε_a и диэлектрической проницаемости свободного пространства ε₀.

Таким образом, при одном и том же значении (×H) наличие диэлектрика (влияние диэлектрической проницаемости среды) можно учесть двумя способами: увеличением значения производной по времени напряженности электрического поля E (уравнение (1)) или введением дополнительного электрического тока (тока поляризации, уравнение (2)) [1][2]:

 ^э_пол = iω(ε_a – ε₀)E, (3)

где  ^э_пол – объемная плотность тока поляризации в диэлектрике.

Введение токов поляризации в (2) с учетом наличия в (2) не зависящего от ε_a первого слагаемого означает, что данное уравнение формально записано для свободного пространства (вакуума) [2] и во всех последующих выкладках (в том числе в интегральных уравнениях) используется волновое число и функция Грина свободного пространства. Это позволяет использовать полученные интегральные уравнения в том числе для анализа дифракции на неоднородных диэлектрических телах.

Под воздействием внешнего (первичного) электрического поля суммарное электрическое поле в диэлектрике определяется как

E = Eⁱ + E^s, (4)

где Eⁱ – вектор первичного электрического поля; E^s – вектор электрического поля, возбужденного токами поляризации (вектор рассеянного поля).

Электрическое поле, возбужденное токами поляризации в каждой точке диэлектрического тела, можно определить через векторный A^э_пол и скалярный Ф^э_пол потенциалы объемной плотности токов поляризации и объемной плотности электрических зарядов в диэлектрике, по аналогии с [1]:

(5)

где

(6)
(7)

В формулах (5), (6), (7) используются обозначения:

 ^э_пол(r') – объемная плотность тока поляризации диэлектрика в точке интегрирования r';

ρ^э_пол(r') – объемная плотность электрических зарядов в диэлектрике в точке интегрирования r';

– векторный оператор «набла» скалярной величины (оператор градиента скалярной величины), дифференцирование осуществляется в точке наблюдения;

V – объем диэлектрического тела;

k – волновое число свободного пространства;

r – координата точки наблюдения;

r' – координата точки интегрирования;

R – модуль расстояния между r и r' (рис. 1).

Здесь и далее по тексту величины и операции с индексом ' (штрих) относятся к точке интегрирования r', величины и операции без штриха относятся к точке наблюдения r.

Как было отмечено ранее, формально потенциалы A^э_пол(r) и Ф^э_пол(r) введены для свободного пространства, поэтому в (7) в качестве ε_a используется значение ε₀.

В условиях калибровки Лоренца объемная плотность электрических токов поляризации  ^э_пол(s') и объемная плотность возникающих в процессе поляризации диэлектрика зарядов ρ^э_пол(s') будут связаны уравнением непрерывности:

(8)

где ' – скалярный оператор «набла» векторной величины (оператор дивергенции векторной величины), дифференцирование осуществляется в точке интегрирования.

Подставляя (8) в (7), можно избавиться от ρ^э_пол(s') и получить уравнение
c одной переменной  ^э_пол(s'):

(9)

Подставляя (3) и (9) в (4), получим:

(10)

На основании (10) получаем интегральное уравнение:

(11)

Физической интерпретацией уравнения (11) можно считать дифракцию ЭМВ на искусственном диэлектрике, который в своем объеме с относительной диэлектрической проницаемостью ε_r, близкой к 1, содержит вкрапленные проводящие элементы малого электрического размера [3][4].

К вопросу о наличии решения интегрального уравнения (11), соответствующего рассматриваемой дифракционной задаче, необходимо отметить следующее. Интегральное уравнение (11) удовлетворяет уравнениям Максвелла, поскольку получено из них. Также оно удовлетворяет условиям в диэлектрике (3) в каждой точке диэлектрического тела и условиям излучения на бесконечности. Дополнительно отметим, что наличие в (11) слагаемого повышает устойчивость его численного решения, так как в соответствующем матричном уравнении данное слагаемое увеличивает значения диагональных элементов матрицы взаимных сопротивлений и, соответственно, уменьшает ее число обусловленности.

Полученное уравнение содержит объемные интегралы, что делает его решение достаточно трудоемким в вычислительном отношении. Однако для определенного класса имеющих практическое значение электродинамических задач трудоемкость численного решения может быть существенно уменьшена.

При дальнейшем изложении под понятием «электрически тонкая оболочка» будем понимать оболочку, толщина которой Δt (рис. 2), как минимум в 10 раз меньше длины волны в диэлектрике λ_d данной оболочки, или:

Δt ≤ λ_d / 10. (12)

В последующих выкладках под термином «оболочка» будем понимать электрически тонкую оболочку. Рассмотрим возможность упрощения уравнения (11) для подобных оболочек. Для этого для (11) выберем систему ортогональных координат для трехмерных интегралов таким образом, чтобы одна координата была перпендикулярна к поверхности оболочки в каждой ее точке, а две другие были бы касательными в каждой точке оболочки (рис. 2). Тогда формулу (11) можно представить в виде:

(13)

Если значение относительной диэлектрической проницаемости материала оболочки ε_r велико, то, по аналогии с законом преломления в геометрической оптике (Снеллиуса), можно предположить, что будет выполняться точное или близкое к нему условие:

sin α / sin β = n₂ / n₁, (14)

где α – угол падения ЭМВ к нормали к оболочке (рис. 3); β – угол распространения преломленной ЭМВ в оболочке по отношению к нормали к ней; n₁, n₂ – показатели преломления в свободном пространстве и в материале оболочки, n = √ε_r, то есть направление распространения преломленной на внешней границе оболочки ЭМВ в среде оболочки будет разворачиваться к нормали раздела двух сред (рис. 3). Следует отметить, что полной аналогии с законом Снеллиуса (справедливом точно, когда дифракция носит оптический характер) в резонансном диапазоне может не быть. Вместе с тем, как следствие, можно предположить, что основными компонентами тока  ^э_пол(r) в оболочке будут касательные составляющие тока поляризации  ^{э l}_пол и  ^{э k}_пол (рис. 2).

Если оболочка электрически тонкая (то есть выполняется условие (12)), можно предположить, что влияние компонента тока, перпендикулярного к поверхности оболочки ( ^{э t}_пол (рис. 2)), на дифракцию ЭМВ будет незначительным, что означает:

 ^{э t}_пол ≈ 0, (15)

то есть данной составляющей тока поляризации пренебрегаем.

В электрически тонкой оболочке изменение касательных к поверхности оболочки компонентов тока ( ^{э l}_пол и  ^{э k}_пол (рис. 2)) и подынтегрального выражения (11) в целом вдоль координаты t будет незначительным, т.е.:

 ^э_пол(t) ≈ const. (16)

При выполнении условия (16) переменные интегрирования t и S в (13) разделяются, а интеграл по t можно вычислить приближенно, заменив объемную плотность токов поляризации  ^э_пол(r') на поверхностную плотность эквивалентных поверхностных токов поляризации диэлектрика  ^э,S_{пол экв} (s'_средн) на некоторой эквивалентной поверхности S_средн (рис. 2):

(17)

где:

(18)

а величина Δt – толщина оболочки.

Как следствие, уравнение (13) можно записать в виде:

(19)

В выражении (19) и далее по тексту в переменной s в  ^э_пол(s'_средн) и в обозначении предела интегрирования по эквивалентной поверхности S_средн нижний индекс «средн» опущен. Уравнение (19) содержит две неизвестные величины:  ^э_пол (r) и  ^э,S_{пол экв} (s'). Умножим числитель и знаменатель первого слагаемого (16) на Δt, получим:

(20)

В уравнении (20) диэлектрическая проницаемость ε_а может быть комплексной величиной ε^*_a = ε_a + , где σ – удельная электрическая проводимость диэлектрика.

Мнимая составляющая ε^*_a характеризует потери в диэлектрике. В случае комплексного ε^*_a интегральное уравнение (20) соответствует задаче дифракции на диэлектрической оболочке с электрическими потерями. Случай с σ = 0 соответствует идеальному диэлектрику (диэлектрическая оболочка не имеет электрических потерь), при ε_а = ε₀, но σ ≠ 0 оболочка является резистивной, при больших σ оболочка соответствует проводнику с реальной проводимостью, при этом Δt по своему значению близко к толщине скин-слоя. Заметим, что величина токов поляризации в диэлектрике в соответствии с (3) зависит не только от ε_а, но и от частоты ω. По этой причине при σ ≠ 0 с ростом частоты ω по электрическим свойствам оболочка будет приближаться к диэлектрической. При ε_а ≈ (то есть на частотах, когда токи поляризации соизмеримы с токами проводимости) оболочка по характеру электрического сопротивления и рассеяния электромагнитных волн на ней является полупроводником [5]. Заметим, что настоящая статья не посвящена средам с анизотропной проводимостью и проблемам материаловедения диэлектриков и полупроводников. Отметим, что уравнение (20) позволяет решать задачи дифракции на неоднородных диэлектрических оболочках с переменной диэлектрической проницаемостью и переменной толщины (c переменными по координате оболочки параметрами ε_а и Δt).

Источниками погрешности решения электромагнитной задачи с использованием уравнения (20) является нарушение условий (12), (14), (15) и (16).

Анализируя (20), можно прийти к выводу, что алгоритмы и модели импедансной аппроксимации тонких диэлектрических слоев можно легко создать на основе алгоритмов и моделей рассеяния на идеально проводящем теле.

Приведенный выше способ импедансной аппроксимации тонких диэлектрических оболочек в методе ИУ типа не является оригинальным, данный подход был изложен, например, в [6]. Однако следует отметить, что приведенные в [6] примеры являются иллюстративными и не определяют диапазон практической применимости метода.

Для оценки применимости импедансной аппроксимации сравним результаты решения задачи дифракции плоской ЭМВ на оболочках с различными электрическими и геометрическими параметрами методом ИУ на основе (20) и ее точное решение. Объектами исследования являются сферические оболочки, полученные результаты сравниваются с результатами Ми [7][8]. Методика решения уравнения типа (20) для тел произвольной формы и для тел вращения приведена в [9]. Поскольку моностатическое (однопозиционное) рассеяние на сфере не является достаточно информативным, в качестве примеров рассматривается бистатическое (двухпозиционное) рассеяние. Для решения Ми используются геометрические параметры оболочки r_внутр и r_внешн, для решения ИУ используется геометрический параметр – средний радиус, соответствующий радиусу эквивалентной импедансной поверхности, r_средн = (r_внутр + r_внешн) / 2, и толщина оболочки Δt (рис. 4). Для проверки сходимости полученных решений по условию (16) применялось сравнение результатов, полученных при моделировании бистатического рассеяния на однослойной оболочке с результатами, полученными на двухслойных и четырехслойных оболочках такой же суммарной толщины (рис. 5).

Далее приведены результаты расчета бистатической эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) сферических оболочек с параметрами: радиус r_внутр = 1,0 м, Δt = 0,02 и 0,08 м; ε_r = 1,5 и 6,0 без диэлектрических потерь, длина волны λ = 1,0 м. Направления векторов поляризации компонентов напряженности электрического поля падающей Eⁱ_θ, Eⁱ_φ и отраженной E^S_θ и E^S_φ волн приведены на рисунке 6. Значения эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) σθθ и σφφ соответствуют данным компонентам, первый индекс относится к падающему полю, второй – к рассеянному. Все значения ЭПР приведены логарифмической шкале, в децибелах по отношению к квадратному метру.

Следует отметить, что значение ε_r в диапазоне от 1 до 6 соответствует значениям диэлектрической проницаемости большинства реальных конструкционных материалов.

Для ε_r = 6 для оболочек с толщиной Δt = 0,02 наблюдается практически полное совпадение рассчитанной на модели бистатической ЭПР компонента σφφ с его точным значением (рис. 7). Для компонента σθθ значения ЭПР для углов θ = 0° и180° совпадают с точным решением, но в узком секторе углов для θ около 140° наблюдается расхождение. Результат расчетов компонента σθθ для однослойной оболочки практически не отличается от результатов для 2- и 4-слойных оболочек (достигнута сходимость по условию (16)).

Для значений ε_r = 6 и Δt = 0,08 для однослойной оболочки наблюдается расхождение рассчитанного компонента σφφ с его точным значением, которое не удается полностью устранить даже при использовании четырехслойной аппроксимации (рис. 8.1). При увеличении количества слоев наблюдается сходимость результатов в секторах углов θ = 20°–160°, при этом в секторе 0°–20° максимальное расхождение σφφ составляет до 5 дБ, в секторе θ = 160°–180° расхождение составляет до 2,5 дБ. Очевидно, что в данном случае многослойная аппроксимация диэлектрической оболочки удовлетворяет условию (16) в каждом слое, но при толщине Δt = 0,08 уже не выполняется условие (15).

Для компонента σθθ расхождение результатов импедансной аппроксимации диэлектрической оболочки с точным решением более существенное, при этом сходимость решения методом ИУ задачи рассеяния ЭМВ на импедансных слоях наблюдается уже для двойного слоя (рис. 8.2).

На рисунках 9.1–2, 10.1–2 приведены аналогичные результаты для оболочки с ε_r = 1,5, Δt = 0,02 и Δt = 0,08. Очевидно, что для оболочек с малой диэлектрической проницаемостью ε_r условие (15) нарушается при меньших значениях толщины оболочек Δt. Вместе с тем следует отметить, что для таких оболочек решение задачи на одном импедансном слое практически не отличается от решения на 4-х слоях.

На рисунках 11 и 12 приведены индикатриссы бистатического рассеяния резистивных оболочек с параметрами: r_внутр = 1,0 м, Δt = 0,01, r_средн = 1,005 м, ε'_r = 0, ε"_r = 15,926525 и r_внутр = 1,0 м, Δt = 0,02, r_средн = 1,01 м, ε'_r = 0, ε"_r = 7,95755968. Данные параметры соответствуют поверхностному сопротивлению эквивалентной импедансной оболочки ρ_s= 377 Ом. Можно отметить достаточно хорошее приближение импедансной аппроксимацией точного решения.

В качестве иллюстрации применимости разработанной модели для решения ряда практических задач приведем результаты расчетов снижения эффективной поверхности рассеяния с помощью покрытия Солсбери. Данное покрытие представляет из себя резистивный слой с поверхностным сопротивлением ρ_s= 377 Ом, расположенный на расстоянии четверти длины волны от металлической поверхности. Моделировался диск радиусом R_диска = 2,0 м, длина волны λ = 1,0 м, радиус закругления кромки диска r_кромки = 0,01 м (рис. 13), результаты расчета моностатической ЭПР приведены на рисунках 14.1–2. Данное средство снижения ЭПР является узкополосным, зависимость ЭПР диска при нормальном облучении от расстояния, на которое резистивный слой удален от поверхности при фиксированной длине волны, приведена на рисунке 15.

На рисунках 16.1–2 приведены индикатриссы рассеяния металлического конуса с покрытием Солсбери и без него. Угол при вершине конуса α = 15°, высота конуса равна 1,983 м, радиусы закругления носика конуса и стыка «боковая поверхность – дно» равны 0,002 м, длина волны λ = 0,2 м. Для конуса без покрытия присутствуют ярко выраженные лепестки с направлений θ = 0° и θ = 97,50°, соответствующие зеркальному отражению от «блестящих точек» дна конуса и его боковой поверхности. У конуса с покрытием уровень лепестков данных «блестящих точек» уменьшился на 20 дБ, то есть, в отличие от оптически «зеркальной» поверхности идеально проводящего конуса, поверхность конуса с покрытием Солсбери является оптически «шероховатой».

Как следует из приведенных на рисунках 16.1–2 результатов, использование импедансной аппроксимации для моделирования тонких резистивных оболочек позволяет оценивать эффективность «зачернения» радиолокационных объектов.

Таким образом, приведенная методика импедансной аппроксимации электрически тонких диэлектрических оболочек позволяет достаточно легко реализовать алгоритмы решения электродинамической задачи на основе ранее разработанных алгоритмов и моделей для идеально проводящих тел. Для оценки точности получаемых результатов целесообразно проводить сравнение решений для аналогичных по толщине и электрическим параметрам оболочек, геометрия которых позволяет получить аналитически точные решения (например, решение Ми для сферических оболочек). Приведенная методика может быть использована для электродинамического анализа радиолокационных объектов, имеющих диэлектрические элементы, в том числе с комплексной диэлектрической проницаемостью, и для электродинамического анализа элементов антенно-фидерного тракта радиотехнических устройств, включая оценку влияния диэлектрических элементов фидерных линий и антенных обтекателей.