Повышение точности моноимпульсной пеленгации в многолучевых антенных решетках

Введение

Измерение угловой координаты в моноимпульсных радиолокационных станциях (РЛС) основано на сравнении сигналов, принятых в двух (или более) пространственных каналах с разными характеристиками направленности [1][2]. Моноимпульсное измерение в одной плоскости в РЛС периода с 1940-х по 1960-е годы обеспечивалось обработкой сигнала двух направленных антенн [1][3]. Двухканальные угловые дискриминаторы (УД), реализующие данную обработку, формируют на выходе напряжение, пропорциональное угловому отклонению цели от равносигнального направления (РСН) двух диаграмм направленности (ДН) [1][3].

В РЛС с многолучевой фазированной антенной решеткой (ФАР) для обзора пространства формируется множество приемных лучей в разных угловых направлениях [3][4]. В таких РЛС для измерения угловой координаты в одной плоскости нередко применяется амплитудный метод моноимпульсной пеленгации с двухлучевой пеленгационной связкой [1][2]. При этом на вход УД подаются сигналы двух смежных лучей, сформированных в направлении на цель. В данном случае сигналы других лучей (с меньшей амплитудой) не используются, вследствие чего возникает вопрос о повышении точности пеленгации за счет их обработки.

Для ответа на этот вопрос в статье сравнивается точность измерения двухканальным и многоканальным УД. Потенциальная точность измерения угловой координаты в зависимости от числа каналов определяется нижней границей Крамера – Рао [2][5]. Проведение исследования вызвано растущими требованиями к точности измерения угловых координат целей. Данные требования могут удовлетворяться снижением случайных ошибок пеленгации при использовании многоканальных УД.

Модель сигнала точечной цели в многолучевой антенной решетке

Принимаемый в L диаграммах направленности сигнал многолучевой ФАР выразим умножением матрицы весовых коэффициентов W на вектор s:

y = Ws = aWx + ψ, (1)

где ψ – вектор случайных значений гауссова шума с нулевым средним и ковариационной матрицей R. Для станций с цифровым диаграммообразованием при условии идентичности приемных каналов матрица

где ε₁, …, ε_L – направления максимумов L диаграмм направленности, w₁, …, w_M – коэффициенты амплитудной весовой обработки, применяемые для снижения уровня боковых лепестков (УБЛ). Применение амплитудного взвешивания сигналов антенных элементов равносильно управлению амплитудным распределением поля в раскрыве ФАР. Далее в расчетах будут использоваться коэффициенты равномерного распределения w_M = 1 (m = 1, …, M) и коэффициенты распределения Тейлора при заданном УБЛ -30 дБ

w_M = 1 + 0,5853 v_1,m – 0,0316 v_2,m + 0,0044 v_3,m, (3)

где v_k,m = cos(πk (2m – M – 1) / M).

Пример многоканального углового дискриминатора

При гауссовой статистике шума максимально правдоподобная оценка угловой координаты θ̂ может быть рассчитана согласно выражению [6]

(4)

где argxmax (f(x)) – значение аргумента x в максимуме функции f(x).

С учетом свойств квадратичной формы в знаменателе (4) также справедливо

(5)

где – вектор весовых коэффициентов, зависящих от θ.

Возможная структура многоканального УД следует из выражения (5) и приводится на рис. 1.

Согласно структурной схеме на рисунке 1 сигнал приемных ДН y подается на K векторных умножителей, реализующих операцию r(θ) · y при разных значениях θ из множества θ₁, ..., θ_K. Результат K векторных умножений поступает на амплитудный детектор «|·|» и затем на блок сравнения «max». Данный блок вырабатывает оценку θ̂ = θ_i при определении максимума в i-м канале сравнения.

Число векторных умножителей для точ­ного поиска θ̂ может оказаться слишком большим. Поэтому целесообразно уменьшить число K, а полученную оценку дополнительно уточнить в окрестности θ_i. Алгоритм уточнения зависит от технической реализации и может использовать метод половинного деления, метод градиентного спуска либо приближение функции |r(θ) · y| в окрестности θ_i.

Нижняя граница Крамера – Рао оценки угловой координаты в многолучевой антенной решетке

Известная из работ [3][4] формула потенциальной точности измерения угловой координаты эквидистантными антенными решетками не учитывает особенности измерения по сигналу множества лучей. Точный расчет ошибок измерения в многолучевых ФАР возможен при учете коэффициентов амплитудного распределения, количества и направлений приемных ДН. Для оценки величины ошибок выразим нижнюю границу Крамера – Рао (НГКР) [2][5]. Проведем замену u = sin(θ),A = |a|, ϕ = arg(a) и определим коэффициенты матрицы Фишера [2][5].

Сравнение ошибок пеленгации на примере двухканального и четырехканального угловых дискриминаторов

Используем полученную формулу (7) для сравнения точности двухканального и четырехканального УД. Для моделирования зададим следующие параметры ФАР: число элементов M = 32, расстояние между смежными элементами d = λ/2, число лучей L = 4, направления лучей ε₁, …, ε₄ = –6, –2, 2, 6 градусов. Для снижения УБЛ применим амплитудное распределение Тейлора (3). На рисунке 2 приводится график зависимости коэффициента усиления (КУ) в полученных ДН. Смежные лучи направлены с разницей 4° и пересекаются по уровню минус 3 дБ.

Согласно (7) рассчитаем нижнюю границу СКО измерения угловой координаты по сигналу двух центральных лучей √D[ θ̂ |L = 2] и по сигналу всех четырех лучей √D[ θ̂ |L = 4]. Данные случаи определят предельную точность измерения, соответственно, двухканальным и четырехканальным УД. Кривые полученных зависимостей при отношении сигнал/шум 20 дБ в максимуме ДН приводятся на графике рисунка 3.

Зависимость нижней границы СКО измерения угловой координаты по сигналу четырех лучей от направления приема θ изображена на графике рисунка 3 в виде пунктирной кривой. Аргументом W формулы (7) при построении данной кривой являлась матрица с размерностью 4 × 32. При подстановке в (7) новой матрицы W, составленной из двух центральных строк прежней, получим зависимость нижней границы СКО измерения по двум центральным лучам (с углами –2° и +2°). Данная зависимость изображена на графике рисунка 3 в виде сплошной кривой. Третья кривая, приведенная на графике, определяет потенциальную точность измерения угловой координаты эквидистантной ФАР и построена по формуле (8) [3][4].

Из графика на рисунке 3 видно, что кривые ошибок измерения двухканальным и четырехканальным УД расположены выше кривой потенциальной точности. В равносигнальном направлении смежных ДН ошибка пеленгации минимальна иприближается к потенциальной точности ФАР. В направлении максимумов ДН ошибка пеленгации возрастает. Данная особенность в литературе объясняется снижением чувствительности моноимпульсной системы в крайних точках пеленгационной характеристики [1]. Из графика на рисунке 3 также следует, что четырехканальный УД точнее двухканального: в направлении максимумов ДН (–2° и +2°) выигрыш в точности измерения четырехканальным УД выше, чем в равносигнальном направлении (0°).

Обобщение результатов сравнительного анализа

Сравним ошибки измерения угловой координаты двухканальным и N-канальных УД. Для этого определим среднюю ошибку N-канального УД в равносигнальном направлении

среднюю ошибку в направлениях максимума ДН

и усредненную ошибку в угловом секторе обзора при ε_N > ε_l > ε₁, l

Значение σ_РСН на примере четырехканального УД поясняется как среднее арифметическое по ординатам точек с треугольной отметкой на графике рисунка 3. Значение σ_MAX по тому же графику поясняется как усредненная ордината точек с круглой отметкой.

В приведенных для σ_РСН, σ_MAX и σ_СР выражениях используется умножение на cos(α) для приведения СКО к величине, рассчитанной в нормали ФАР.

Определим выигрыш в точности измерения угловой координаты многоканальным УД (N > 2) относительно двухканального УД в трех случаях:

k_РСН(N) = σ_РСН(2) / σ_РСН(N) ),
k_MAX(N) = σ_MAX (2) / σ_MAX(N),
k_СР(N) = σ_СР(2) / σ_СР(N), (9)

где k_РСН(N) – выигрыш N-канального УД по точности пеленгации в равносигнальном направлении, k_MAX(N) – выигрыш N-канального УД по точности пеленгации в направлении максимума ДН и k_СР(N) – средний выигрыш N-канального УД в угловом секторе обзора.

Найдем, согласно (9), значения k_РСН, k_MAX, k_СР, рассчитав их в зависимости от количества элементов M и количества каналов УД N при соблюдении следующих условий: M ≥ N > 2, смежные ДН пересечены по уровню –3 дБ. Результаты расчета при использовании разных амплитудных распределений приведены в таблице 1. В ячейках таблицы через запятую указаны значения k_РСН, k_MAX, k_СР, выраженные в процентном отношении как (k – 1)∙100%.

При пеленгации цели в равносигнальном направлении антенной решеткой с равномерным амплитудным распределением не наблюдается выигрыша в точности измерения многоканальным УД по сравнению с двухканальным. При использовании спадающего к краям решетки амплитудного распределения Тейлора (3) снижение ошибок измерения в равносигнальном направлении зависит от числа каналов УД и лежит в диапазоне 5–18 %.

Среднеквадратическая ошибка измерения угловой координаты за счет применения многоканальных УД значительно снижается при наблюдении цели в максимуме ДН. Трехканальные, четырехканальные и пятиканальные УД точнее двухканальных, соответственно, на 20, 30 и 40 %. Предельное повышение точности, согласно таблице 1, соответствует случаю N = M и составляет 50 % для ФАР с равномерным распределением и 2,5 раза для ФАР с распределением Тейлора (3). Значительное повышение точности при N = M объясняется реализацией измерительного потенциала антенной решетки. Поскольку при N = M также справедливо L = M, то точность пеленгации в этом случае определяется потенциальной точностью эквидистантной ФАР (8), [3][4].

Усредненный в секторе обзора выигрыш в точности пеленгации при использовании многоканального УД ограничен 17 % для ФАР с равномерным амплитудным распределением и 59 % для ФАР с распределением Тейлора (3). В последнем случае при использовании трех-, четырех- и пятиканального УД достигается повышение точности относительно двухканального УД на 11, 16 и 19 % соответственно.

Выводы

В статье исследовано повышение точности измерения угловой координаты многолучевой ФАР при использовании многоканального УД. Определена нижняя граница Крамера – Рао для оценок угловой координаты по сигналу приемных ДН. Достоверность результата подтверждается приведением полученного выражения нижней границы к аналитическому выражению, известному из литературы. На основании рассчитанных нижних границ СКО сформирована справочная таблица со значениями выигрыша в точности пеленгации при использовании многоканального УД.

Применение многоканального УД позволяет снизить среднеквадратическую ошибку пеленгации в равносигнальном направлении до 18 %, а в направлении максимума ДН – до 2,5 раза. Наибольший выигрыш достигается в ФАР со спадающим амплитудным распределением и при увеличении количества каналов УД до количества антенных элементов. В последнем случае реализуется потенциал точности эквидистантной ФАР.