Слоистое течение, индуцированное горизонтальным источником линейного типа на свободной границе бесконечного слоя жидкости

Введение

Конвективные вихревые движения вязкой несжимаемой жидкости широко распространены как в природных явлениях, так и в процессах, протекающих в технических системах [1–3]. Известно, что авиационные и ракетно-космические изделия при полетах испытывают большие нагрузки. Очень часто в процессе работы изделия возникают высокие температуры, вызванные нагревом, поэтому приходится осуществлять принудительное охлаждение некоторых элементов конструкции. Это влечет за собой значительные перепады температур, которые при проектировании изделий требуется заранее предусмотреть. Обычно для моделирования и выявления теплонапряженных областей при проектировании используют специализированные численные комплексы, а где возможно, критериальные эмпирические зависимости. Разработанные аналитические алгоритмы и методы расчетов конвективных течений для авиа- и ракетостроения, построенные с использованием накопленной базы классов точных решений, помогут усовершенствовать существующие численные алгоритмы расчетов и уменьшат потенциальные неудачи при отработке новых изделий. Изучение и исследование краевых задач, описывающих слоистые конвективные потоки, необходимо для описания трехмерных неустановившихся течений сред при помощи теории гидродинамической устойчивости.

Математически конвективные движения описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных Навье – Стокса в приближении Обербека – Буссинеска. Данная система состоит из уравнения Навье – Стокса, уравнения теплопроводности и уравнения несжимаемости. Система уравнений в приближении Обербека – Буссинеска хорошо отражает особенности, присущие тепловой конвекции, несмотря на то что является приближением, допустимым при условиях, когда сжимаемость среды несущественна. Основная идея приближения заключается в линейной зависимости плотности от температуры, именно данная зависимость приводит к возникновению конвекции [4].

К наиболее распространенным случаям исследования точных решений системы уравнений Навье – Стокса [5] относятся слоистые течения. Характерной особенностью таких течений является наличие только одной отличной от нуля компоненты скорости [5]. К первым точным решениям таких течений относятся течение Куэтта и Хагена – Пуазейля [6][7]. Данные точные решения имеют практическое применение, это и вискозиметр Куэтта, и использование решения Хагена – Пуазейля в приборах для эхокардиографии.

Построение точных решений конвективных течений является куда более сложной задачей. Одним из первых точных решений для естественной (свободной) конвекции является решение Остроумова – Бириха. Точное решение Остроумова – Бириха относится к классу решений с линейной зависимостью по части координат [8][9]. Решение Остроумова – Бириха подробно исследуется до сих пор [10–26] и многократно обобщалось [12–15][19–26]. Точное решение Остроумова – Бириха позволяет описать противотечения [19–22][25][26], имеющие застойную критическую точку [27].

В работе [25] исследуется случай идеального скольжения Навье при нулевом расходе жидкости и неоднородном распределении поля температуры.

В настоящей работе рассматривается слоистое течение вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости, вызванное градиентом температуры на верхней свободной границе при постоянном (нулевом) расходе жидкости.

Постановка задачи

Рассмотрим стационарное слоистое течение вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном горизонтальном слое толщины h, индуцированное нагревом (охлаждением) верхней границы источником линейного типа T = Ax + By (ось Oz направлена вверх). Верхняя граница слоя свободная, недеформированная. Модель конвекции Обербека – Буссинеска включает в себя уравнение теплопроводности, уравнения импульсов, спроецированные на оси координат, и уравнение неразрывности:

(1)

В (1) V_x, V_y – продольные составляющие скорости; P – отклонение давления от гидростатического, отнесенное к постоянной средней плотности жидкости ρ; T – отклонение от средней температуры; ν, χ, β – коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности, теплового расширения; g – ускорение свободного падения.

При рассматриваемом движении жидкости скорости зависят только от поперечной координаты z, а поля давления и температуры трехмерны. Система уравнений (1) переопределена, решение будем искать в классе функций [5], являющихся частным случаем класса Линя – Сидорова – Аристова и принимающих следующий вид [19–26]:

V_x = U(z), V_y = V(z), V_z = 0,
T = T₀(z) + T₁(z) x + T₂(z) y,
P = P₀(z) + P₁(z) x + P₂(z) y. (2)

Подставим класс функций (2) в систему уравнений (1), для этого выпишем частные производные функций по пространственным координатам, описывающих поле скоростей, поля давления и температуры:

(3)
После подстановки вычисленных частных производных (3) в исходные уравнения системы (1) получим систему вида:

(4)

В системе (4) используются обозначения для обыкновенных производных, поскольку все неизвестные функции точного решения (2) зависят от одной координаты z.

Используя метод неопределенных коэффициентов, преобразуем систему (4) и приведем ее к следующей линейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих вид неизвестных функций (2), которые зависят от вертикальной координаты z:

(5)

Конвективное движение жидкости индуцируется граничными условиями:

z = 0: V_x = V_y = 0, T = 0,
z = h: P = S, T = Ax + By, (6)

с нулевым расходом жидкости [25][28]:

(7)

Граничные условия (6) с условием (7) в силу структуры выражений (2) принимают следующий вид:

z = 0: V = U = 0, T₀ = 0, T₁ = 0, T₂ = 0,
z = h: P₀ = S, P₁ = 0, P₂ = 0, T₀ = 0, T₁ = A, T₂ = B,

(8)

Систему (5) проинтегрируем, получим общее решение с произвольными постоянными:

(9)

Постоянные интегрирования найдем, используя граничные условия (6), (7):

(10)

Подставляем их в (9) и получаем решения для заданных граничных условий:

(11)

Перепишем (11) с учетом замены Z = z/h:

(12)

Анализ точного решения для поля скорости

Проанализируем точное решение

Кубический многочлен f(Z) может иметь либо три действительных корня, два из которых могут быть (могут не быть) кратными, либо один действительный и два комплексных (мнимых) корня. Данный полином имеет один вещественный нуль на интервале [ 0,1], выявленный при выполнении условия: f (0) f (1) < 0 – получен Z = 0,64465 (рис. 1).

Отметим, что двумерное поле скоростей

описывает фактически однонаправленное течение. В этом легко убедиться, если совершить преобразование поворота на угол φ, который определяется соотношением:

Очевидно, что можно выбрать систему координат так, что ось абсцисс будет направлена вдоль вектора градиента температуры. Это позволит рассматривать течения жидкости как однонаправленные. Тем не менее при совместном задании градиентов температуры на обеих границах слоя течение жидкости будет существенно двумерным. Для сравнения гидродинамических полей при различных видах распределения температуры на границах поле скоростей будем записывать и анализировать в виде (12).

При движении жидкости возникают касательные напряжения [29–32]:

где η = νρ – динамическая вязкость.

Касательные напряжения для продольных скоростей отличаются только параметрами A и B соответственно. Вычислим на твердой нижней границе касательные напряжения:

Для более глубокого понимания характера течения введем в рассмотрение функцию тока.

(13)

Интегрируя второе уравнение (13) и учитывая (2), получим выражение для функции тока

ψ = –V(Z)x + ψ₁(y, Z).

Данное выражение определяется с точностью до некоторой функции ψ₁. Для того, чтобы найти функцию ψ₁, подставим в первое уравнение (13) функцию ψ, получим

В силу (2) имеем равенство:

ψ₁(y, Z) = U(Z)y + C,

где C есть некоторая произвольная постоянная. Учитывая условие прилипания на нижней твердой границе, полагаем C = 0. Таким образом, функция тока принимает следующий вид:

(14)

Вычислим компоненты вектора завих­ренности:

Рассматривается вихревое течение, поэтому в общем случае координаты вектора завихренности не нулевые.

Анализ точного решения для поля температуры

Горизонтальный градиент температуры T₁ = AZ в зависимости от значения параметра A монотонно возрастает (при A > 0) либо монотонно убывает (при A < 0). В силу особенности линейной функции он может принимать только одно нулевое значение при Z = 0, причем вне зависимости от значения параметра A.

Вертикальный градиент T₂ = BZ зависит от значения параметра B: монотонно возрастает (при B > 0) либо монотонно убывает (при B < 0). Он может принимать только одно нулевое значение при Z = 0, причем вне зависимости от значения параметра B.

Распределение полной температуры принимает следующий вид:

Таким образом, распределение полной температуры является функцией следующих переменных: координаты Z, координаты x, координаты y, параметра A, параметра B, параметра d, в качестве примера приведем распределение изолиний полной температуры в пространстве xyZ (рис. 3).

Анализ точного решения для поля давления

Рассмотрим для начала горизонтальный градиент давления являющейся параболой с зависимостью от координаты Z. Нулями этого полинома являются значения Z = –1, Z = 1, проведем замену так как данный параметр не влияет на наличие и количество нулей на рассматриваемом интервале [ 0,1] (рис. 4).

Вертикальный градиент давления тоже является параболой и зависит от координаты Z. Отличаются горизонтальный и вертикальный градиент давления только параметрами A, B. Нули полиномов совпадают; соответственно, профиль вертикального градиента давления на рассматриваемом интервале будет выглядеть аналогично профилю горизонтальной компоненты профиля давления P₁.

Далее изучим поведение фонового давления P₀:

Выражение фонового давления содержит слагаемое S, которое является значением фонового давления на верхней границе слоя. Ниже приведем возможные варианты, которые может принимать значение S.

При S = 0 фоновое давление примет следующий вид:

Необходимо отметить, что при S ≠ 0 возникнет сдвиг профиля фонового давления относительно величины S, что может привести к дополнительным нулевым значениям. В данном случае очевидным является вариант при S = 5245, внутри слоя появляется корень кратности два Z = 0 – это значение, отвечающее положению нижней границы рассматриваемого слоя [ 0,1]. Фоновое давление P₀ увеличивается внутри слоя (рис. 6).

Далее изучим распределение итогового полного поля давления, которое определяется в силу (2), (10).

Распределение полного давления принимает следующий вид:

В самом очевидном случае, когда параметры A = 0, B = 0, горизонтальный и вертикальный градиент давления равны нулю P₁ = 0, P₂ = 0, а значение фонового давления P₀ равняется постоянному значению S, если данные условия будут выполняться, то стратификации поля давления наблюдаться не будет.

Далее предположим, что параметры A, B отличны от нуля, а значение фонового давления на верхней границе слоя S = 0.

Тогда давление примет следующий вид:

При значении на верхней границе Z = 1 зависимость от горизонтальной и вертикальной координаты, а также от параметров b, c исчезает, и исследование поля давления сводится к анализу фонового давления.

Таким образом, распределение полного давления является функцией следующих переменных: координаты Z, координаты x, координаты y, в общем виде параметра k, параметра b, параметра c, величины S, в качестве примера приведем распределение изолиний полного давления в пространстве xyZ (рис. 7).

Так же, как и для фонового давления, величина S влияет на сдвиг изолиний полного давления относительно величины S, таким образом, внутри рассматриваемого интервала возможно увеличение количества корней.

Заметим, что при k = 0, b = 0, c = 0 горизонтальный градиент давления P₁ = 0, вертикальный градиент давления P₂ = 0, фоновое давление принимает постоянное значение P₀ = S.

Заключение

В настоящей работе исследовано слоистое конвективное течение в бесконечном слое с твердой нижней границей и свободной верхней в рамках класса точных решений с полями скоростей, температуры и давления линейного типа относительно координат x, y.

В ходе проведенного анализа выявлено, что поля скоростей, температуры и давления зависят от краевых условий. Возможно расслоение поля скоростей на зоны относительно нулевого значения. Рассмотренное течение является вихревым. Исследованы градиенты температурного поля. Приведены профили температурного поля. Исследованы градиенты давления. Приведены профили давления.

Используемая методика нахождения аналитических решений применима для решения краевых задач, описывающих слоистые конвективные установившиеся течения при других граничных возмущениях. Нахождение точных решений необходимо для построения новых методов исследования гидродинамической устойчивости конвективных течений. Использование подходов, связанных с исследованием устойчивости, позволяет рассчитывать и анализировать трехмерные гидродинамические поля при помощи введения нестационарных возмущений для исходного одномерного или двумерного установившегося поля скоростей. Кроме того, точные решения уравнений Обербека – Буссинеска могут быть использованы при тестировании численных методов и верификации компьютерных программ для расчета конвективных процессов в несжимаемых средах.