С помощью математического моделирования можно проверить правильность работы проектируемой следящей системы перед технической реализацией, однако линейные модели не позволяют оценить влияние конструктивных ограничений, учет которых приводит к появлению нелинейностей. Представлен подход, позволяющий спроектировать и реализовать модель динамической следящей системы с учетом нелинейностей по моменту и переменных состояния, при котором используются коэффициенты желаемой передаточной функции. Приведены результаты моделирования в среде MATLAB/Simulink с учетом различных нелинейностей
Mathematical modelling makes it possible to verify correct operation of the system being designed before actually implementing it, but linear models do not enable us to evaluate the effect of structural constraints, taking which into account makes irregularities appear. We present an approach that allows us to design and implement a model of a dynamic tracking system using the coefficients of the desired transfer function to account for irregularities in the momentum and state variables. We present results of modelling in the MATLAB / Simulink environment taking various irregularities into account
Во время проектирования следящих систем необходимо убедиться в правильности работы разрабатываемой системы. Моделирование - эффективный инструмент для оценки параметров следящей системы, выбора технических решений и предъявления требований к составным частям следящих систем. Для объекта управления [
Обычно для моделирования работы следящей системы с учетом нелинейностей используют следующий подход: в классе линейных систем по заданному объекту управления и рассчитанной желаемой передаточной функции синтезируется устройство управления, затем в модели объекта управления устанавливаются нелинейности и оцениваются показатели качества следящих систем с учетом имеющихся конструктивных ограничений [
В настоящей статье представлен подход к созданию модели, позволяющей учесть конструктивные ограничения на переменные состояния (скорость и ускорение) и нелинейность по моменту нагрузки. Для применения предложенного подхода не требуются конкретные знания об объекте управления, в нем используются коэффициенты желаемой передаточной функции линейной системы. Такой подход удобен на ранних стадиях проектирования.
За основу линейной модели следящей системы, как было указано ранее, взята желаемая передаточная функция замкнутой следящей системы, имеющая вид
где Δi - коэффициенты стандартной передаточной функции, получаемые в соответствии с таблицей коэффициентов стандартной передаточной функции;
k, l - порядок полинома числителя и знаменателя желаемой передаточной функции замкнутой системы соответственно;
ω0 = tmp/tp - временной масштабный коэффициент, учитывающий время регулирования; tmp - табличный параметр; tp - время регулирования.
Передаточная функция (1) описывает работу замкнутой следящей системы (рис. 1, а). Желаемую передаточную функцию можно рассчитывать разными методами при различных критериях к качеству функционирования следящих систем. Так, например, можно задаться показателями качества (временем регулирования и перерегулированием) и требованиями по отработке с нулевыми ошибками полиномиальных воздействий различной степени для астатических систем.
На практике часто возникает необходимость моделирования систем, структуры которых соответствуют разомкнутым следящим системам, подобно приведенной на рис. 1, б.
Рис. 1. Структурная схема замкнутой (а) и разомкнутой (б) следящей системы: ε - сигнал ошибки; g - входное воздействие; у - реакция системы
Передаточная функция такой следящей системы имеет вид
где η, δ - коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы соответственно, значения которых определяются коэффициентами желаемой передаточной функции (1);
m, n - порядок полинома числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы соответственно.
Для получения возможности накладывать ограничения и учитывать нелинейности переменных состояния и момента нагрузки необходимо найти представление системы в виде системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши [
Дифференциальному уравнению (3) соответствует система дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши
или матричном виде
i = 1,..., n вычисляются с помощью рекуррентной формулы
в которой
а Fk рассчитываются следующим образом:
При таком выборе переменных состояния матрицы системы имеют вид
На рис. 2 представлена структурная схема, построенная по системе дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши (4).
Рис. 2. Структурная схема системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши; коэффициенты Anj и Bj - элементы матрицы A и вектор-столбца B
Теперь рассмотрим математическое описание типовых нелинейностей, которые предполагается использовать при моделировании конструктивных ограничений (переменных состояния и нелинейности момента нагрузки привода).
Модель нелинейности типа «насыщение» по отношению к переменной состояния y(k) имеет вид
Приведем модель ограничения на минимальное значение переменной состояния у(k)
и модель нелинейности по моменту
где Мн0 - номинальное (среднее) значение момента нагрузки;
k - коэффициент зависимости момента нагрузки от выходной переменной (например, от угла поворота вала привода).
Также рассмотрим модель сухого трения на валу привода. Момент статического сопротивления механизма представляется как нелинейная функция четырех переменных [6, 7]:
где Mтр - момент сухого трения скольжения (постоянная положительная величина);
Мд - момент двигателя.
Функция (6) представляется в виде
Такое представление момента позволяет учитывать нелинейные свойства сил трения и неупругой деформации как при движении, так и в покое, включая условия трогания и остановки механизмов.
В среде MATLAB/Simulink на основе описанного выше алгоритма была спроектирована и реализована модель следящей системы, учитывающая ограничения скорости и ускорения системы, а также нелинейности момента нагрузки привода. В качестве параметров могут быть заданы коэффициенты дифференциального уравнения, параметры ограничений, конструктивная постоянная электропривода и момент инерции. Модель Simulink приведена на рис. 3.
Рис. 3. Схема модели Simulink: Мдин - динамический момент
В качестве примера рассмотрим астатическую следящую систему порядка l = 3, обладающую порядком астатизма по входному воздействию vg = 2, которая в соответствии с формулой (1) и численными значениями коэффициентов [
Ставятся задачи оценки показателей качества астатической следящей системы с учетом нелинейностей и ухудшения этих показателей по сравнению с линейной.
Рассмотрены конструктивные ограничения и параметры системы:
С учетом (2) и (7) перейдем к передаточной функции разомкнутой системы
Передаточной функции (8) соответствует дифференциальное уравнение
Тогда, согласно описанному выше алгоритму, матрицы системы дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, соответствующей дифференциальному уравнению (9), имеют вид
а систему запишем следующим образом:
По системе (10) в среде MATLAB/Simulink была построена модель (см. рис. 3), где, согласно (10), A(3,1) = 0, A(3,2) = 0, A(3,1) = -5,1, B(1) = 0, B(2) = 6,35, B(3) = -31,385.
В схеме использованы следующие блоки:
Рис. 4. Subsystem (а), Subsysteml (б) и Subsystem1 (в): STl - нелинейность в соответствии с нелинейной функцией (6); Mc = F(у) - нелинейность по моменту в соответствии с уравнением (5)
С помощью реализованной модели было проведено несколько экспериментов с разным набором нелинейностей.
Рис. 7. Поведение системы с нелинейностью вида Mh = F(у) (а) и зависимость момента Mc = F(у) от координаты угла (б)
Разработана математическая модель динамической следящей системы, учитывающей нелинейности переменных состояния. В отличие от других известных следящих систем она основана на линейной модели замкнутой следящей системы в виде системной функции, а именно, желаемой передаточной функции.
Желаемая передаточная функция может быть построена по различным критериям, например, для астатических систем с заданным временем регулирования и перерегулированием. Модель можно применять для моделирования работы следящих систем с различными нелинейностями переменных состояния, системотехнических расчетов на ранних стадиях проектирования, предъявления требований к составным частям следящих систем (например, к параметрам исполнительного механизма, минимальной скорости системы, неравномерности механической части и т. п.).
В среде MATLAB/Simulink реализована программная параметрическая модель с возможностью исследовать поведение как линейных, так и имеющих следующие нелинейности переменных состояния:
Проведено математическое моделирование, иллюстрирующее применение описанного подхода для практической задачи - оценки качества работы следящей системы.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.